Идея метода конечных элементов

Основные положения. Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину (температуру, давление и перемещение) можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве ку-сочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. [c.197]

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что непрерывная величина, то есть величина, определенная бесконечным числом значений, на рассматриваемой области аппроксимируется дискретной моделью. Последняя строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Непрерывная величина может быть скалярной функцией (например, [c.21]

Введение Bl. Идея метода конечных элементов [c.7]

Идея сплайновой интерполяции во многом близка идеям метода конечных элементов, Область определения функции разбивается на ко- [c.13]

Четвертая глава посвящена важнейшему вариационно-разностному методу решения краевых задач — методу конечных элементов. Изложена основная идея метода и особенности его программной реализации на примере решения двумерного стационарного уравнения теплопроводности в области сложной формы. Материал данной главы не связан с последующей. [c.5]

Метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой эффективный численный метод инженерных задач. Основная идея метода состоит в том, что любую непрерывную величину (например, перемещение) можно приближенно представить в виде набора отдельных более простых функций, разбив область определения этой величины на конечное число участков (элементов). [c.104]

Коротко упомянем о весьма эффективном численном методе, получившем большое распространение в последнее время, — методе конечных элементов [34, 64]. В основе метода, являющегося, по сути дела, одним из вариационных методов, лежит идея дискретизации. В настоящее время он применяется к решению разнообразных задач механики сплошной среды. На основе его проведены многочисленные исследования задач прочности оболочечных систем. Следует отметить, что первые работы по методу конечных элементов были осуществлены исследователями в области строительной механики. [c.17]

В последние годы для сложных конструкций создан ориентированный на использование ЭВМ метод конечных элементов. Этот метод изучается в курсе строительной механики. Он реализован в виде универсальных программ для ЭВМ, которые позволяют рассчитать напряженно-деформированное состояние сложных конструкций. Один из вариантов метода конечных элементов базируется на идеях метода сил. [c.290]

Идея возможности разбить область на подобласти, причем при выборе функций не обязательно удовлетворять всем граничным условиям, позволила создать общие алгоритмы решения, при реализации которых отпадает необходимость весьма искусственного подбора функций, т. е. функции задаются для всех задач одинаковые, а точность решения достигается введением достаточного числа подобластей. Такой алгоритм принято называть методом конечных элементов. Ввиду того, что практическая реализация решения почти всегда связана с применением ЭЦВМ, метод конечных элементов рассмотрен в гл. VII (см. п. 64). [c.99]

В случае областей О со сложной геометрией, когда задачу на собственные значения не удается решить точно, обращаются к методу конечных элементов [226]. Указанный метод основан на том, что дискретизацию исходной краевой задачи можно строить на функциях, лежащих за пределами —области определения оператора Ь. Идея метода состоит в замене пространства конечномерным подпространством пробных функций, лежащих в которое строится следующим образом. Область О делят на части, в каждой из которых прибегают к полиномиальному или даже линейному представлению пробных функций с соблюдением условий непрерывности на границах раздела. В связи с этим уместно отметить, что метод Галеркина применяется и к решению задач на собственные значения Ьи = %и. Идея состоит в использовании отношения Рэлея [c.12]

Эта идея очень стара. Новым является лишь выбор пробных функций в методе конечных элементов они кусочно полиномиальны. Именно этим выбором определяется успех метода. Каждая функция ф - равна нулю на большей Части области и отлична от нуля только в окрестности одного узла. В этой окрестности ф составлена из полиномов небольшой степени, и все вычисления становятся максимально простыми. Интересно, что преимущества кусочно полиномиальных функций одновременно и совершенно независимо были замечены в математической тео рии аппроксимации. Идея их применения оказалась весьма плодотворной, и она появилась как раз в нужное время. [c.7]

Вторая идея специфична для метода конечных элементов и состоит в использовании специальных свойств полиномов. Мы уже отмечали, как к полиномиальным решениям применяется кусочное тестирование. Ситуация аналогична численному интегрированию, где точность зависит от степени полиномов, интегрируемых точно. Отметим еще одно свойство, полезное для анализа изменений области полиномы не могут значительно меняться в полосе между заданной областью Й и ее аппроксимацией Й . [c.204]

Идея и область применения метода конечных элементов. Основные этапы практической реализации [c.19]

По существу, есть два классических способа вывода алгебраических уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения и решаемых численно метод конечных разностей и метод конечных элементов. Основное различие между ними можно сформулировать, по крайней мере качественно, следующим образом. При применении конечно-разностного метода все производные в дифференциальном уравнении заменяются конечными разностями между узлами внутри области, и сумма всех членов полученного разностного уравнения приравнивается нулю в каждом отдельном узле. При реализации метода конечных элементов в окончательной формулировке требуется, чтобы эта сумма, проинтегрированная по всей области, равнялась нулю. Алгебраически это достигается приравниванием нулю всех интегралов для каждого элемента, причем полагается, что решение в пределах элемента имеет вид некоторой простой функции. С нашей точки зрения, невозможно с уверенностью выбрать один из методов оба имеют свои преимущества и недостатки. Судя по литературе, многие известные авторы отдают предпочтение одному из них либо методу конечных элементов [15.1, 15.13, 15.20 - 15.22, 15.25, 15. 2, 15.70, 15.71, 15.119], либо методу конечных разностей [15.56, 15.66, 15,67, 15.78, 15,84, 15.85, 15.93, 15.94, 15.107 — 15.109, 15.121, 15.154]. Мы также сосредоточим свои усилия на конечных разностях, поскольку для разработки программ, основанных на методе конечных элементов, необходима, как нам представляется, более основательная математическая подготовка, чем при реализации метода конечных разностей. Некоторое интересное расширение возможностей метода конечных разностей было предложено в [15.2, 15.3]. Полностью следуя этим идеям, одно существенное преимущество метода конечных элементов — значительную гибкость при разбиении области — следовало бы распространить также и на метод конечных разностей. [c.404]

Основная идея МКЭ состоит в том, что некоторую непрерывную величину, такую как перемещение, температура, напряжение и т. п., в некоторой области можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Алгоритм метода конечных элементов может быть кратко определен следующим образом. [c.10]

МКЭ —. один из основных методов решения задач строительной механики, механики деформируемого твердого тела, теплопроводности, гидромеханики и др. Идея метода заключается в аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Например, аппроксимация несущей системы токарного полуавтомата совокупностью простых элементов (тонких пластин и стержней) обеспечивает максимальное приближение P к исходной (рис. 1.1). [c.8]

Развитие теории винтокрылых аппаратов на ранней стадии шло двумя раздельными путями, которые слились в 1920-х годах. (Термины импульсная теория и теория элемента лопасти имели тогда смысл, несколько отличный от современного, и в ранних работах означали отдельные и представлявшиеся независимыми методы исследования работы воздушного винта.) Ключевым фактором была идея индуктивного сопротивления, которую гидродинамики в первых десятилетиях XX в. еще разрабатывали и для крыльев, и для вращающихся лопастей. Прежде чем стал возможен достаточно точный расчет нагрузок несущего винта, необходимо было полностью выяснить смысл индуктивного сопротивления, т. е. сопротивления, неизбежного при создании подъемной силы крыла конечного размаха, и связать это сопротивление со скоростями, индуцируемыми на крыле следом. [c.60]

В настоящей книге основное внимание уделяется идеям метода конечных элементов. Делается попытка формализовать процедуру расчета, что удобно для применения ЭВМ и расчета элементов, отличных от стержней. Изложение базируется только на основных положениях механики и простейших понятиях линейной алгебры. Специальные понятия и представления, отно- [c.3]

Основные этапы рассматриваемого ниже расчета стержневых систем, основанные на идеях метода конечных элементов, состоят в расчленении сложной исходной системы на отдельные простые элементы с последующим их соединением в единое целое. Аналогичный подход систематически применялся для электрических систем и в общих чертах был перенесен на системы других типов, в том числе и на механические, в работах Г. Крона [13]. Там он был назван греческим словом диакоп-тика , что означает расчленение как систематический метод. Таким образом, метод конечных элементов и диакоптика родственны между собой их объединяет сходная процедура решения задач, основанная на анализе и синтезе сложных систем. [c.4]

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывнук величину (перемещение, температура, давление и т. п.) можно аппроксимировать моде лью, состоящей из отдельных элементов (участков). На каждом из этих элементов иссле дуемая непрерывная величина аппроксимируется кусочно-непрерывной функцией, кото рая строится на значениях исследуемой непрерывной величины в конечном числе точе рассматриваемого элемента. [c.20]

Отметим, что метод конечных элементов полностью ориентирован на применение ЭВМ, хорошо приспособлен для решения краевых задач в областях сложной формы, мало чузствителен к переменности коэффициентов дифференциальных операторов и виду правых частей. Наиболее бурное развитие этого метода относится к последним двум десятилетиям, но основы метода были заложены еще в работе Р. Куранта [17], где указано, что идея соответствующего алгоритма была навеяна работой Л. Эйлера примерно двухсотлетней давности, в которой исследуются условия минимума интеграла. [c.130]

Идея представления сплошной среды в виде системы элементов конечных размеров восходит еще к Пуассону ). Однако лишь появление ЭВМ позволило построить на ее основе эффективные методы расчета конструкций ). К настояшему времени с помощью метода конечных элементов оказалось возможным решать многие трехмерные задачи для линейно-уиругих конструкций и упругопластические задачи для двумерных конструкций. Ниже мы дадим подробное описание метода конечных элементов для плоской задачи теории упругости, а также изложим основы более сложных методов. [c.552]

Метод конечных элементов. Этот метод, как и метод конечных разностей, имеет широкие возможности и хорошо приспособлен для машинной реализации. В основе его лежит идея расчленения конструкций на отдельные элементы. Наибольшее распространение в настоящее время получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Релея — Ритца и вариационно-разностными методами. В методе конечных элементов, в отличие от метода Релея — Ритца, аппроксимация перемещений производится не по всей области их определения, а в пределах отдельных элементов. Это позволяет оперировать с более простыми функциями. Минимизация потенциальной энергии при этом производится по узловым перемещениям, которые являются основными неизвестными. Возможность аппроксимации перемещений внутри элементов позволяет ограничиться сравнительно небольшим числом узлов, что является одним из преимуществ метода конечных элементов по сравнению с методом конечных разностей. Метод конечных элементов отчасти соединяет в себе преимущества методов конечных разностей и Релея — Ритца и в некоторой степени свободен от их недостатков. [c.82]

В основе метода конечных элементов лежит идея замены непрерывной функции ее дискретной моделью. Эта модель включает в себя множество значений указанной функ- ции на некотором конечном числе точек области ее определения В совокупности с куеочно гладкой ее аппроксимацией на некотором конечном числе подобластей. [c.203]

Идея испытания на расслоение у кромки зародилась у Пэйгано и Пайпса [38], которые предложили для определения межслойной прочности применять многонаправленный слоистый композит, нагружаемый растяжением. Последовательность укладки слоев выбиралась так, чтобы основной причиной расслоения у свободной кромки было межслойное растяжение. В работе [37] 3ja методика была распространена на исследование начала и развития расслоения в графито-эпоксидных слоистых композитах ( 302/90°/90°, подвергнутых одноосному растяжению. Для расчета скорости высвобождения энергии деформирования было использовано уравнение (73). В обеих работах образцы не имели инициирующих трещин. Поэтому рост трещин от кромок не был ни однородным, ни симметричным. Кромочная трещина не оставалась в срединной плоскости, а переходила с нее на поверхность раздела 90°/-30° и обратно, что приводило скорее к смешанному типу раэрушения, чем к чистому расслоению типа I. В работе [37] для разделения вкладов механизмов типов I и II был применен метод конечных элементов. [c.241]

Метод Ритца получил существенное развитие и видоизменение, а лежащая в его основе идея в модифицированной форме применяется в методе конечных элементов, который сегодня может рассматриваться, пожалуй, как важнейший численный метод вообще в теории поля. [c.128]

Метод конечных элементов для описания сплошных сред впервые был применен в середине 50-х годов XX столетия и с тех пор завоевал известность исключительно полезного инженерного метода. Он широко применяется в гидродинамике, теории поля, при расчете сложных напряженных состояний и в других областях. О распространенности метода конечных элементов можно судить, например, по работе Норри и де Ври [9], в которой приведено более 7 тыс. ссылок, содержащих указания на его применение в различных областях науки и техники. Хотя метод конечных элементов применяется для решения тех же задач, что и метод конечных разностей, основаны они на разных идеях. В методе конечных разностей проводится разностная аппроксимация производных, входящих в дифференциальные уравнения. Математическая основа метода конечных элементов — вариационное исчисление. Дифференциальное уравнение, описывающее задачу, и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается непосредственно. С этой точки зрения метод конечных элементов представляет собой неявное применение метода Ритца на отдельных отрезках. В методе конечных элементов физическая задача заменяется кусочно-гладкой моделью. В этом смысле метод конечных элементов позволяет инженеру использовать свое интуитивное понимание задачи. Чтобы изложить метод конечных элементов во всех подробностях, пришлось бы написать специальный учебник. Здесь мы ограничимся изложением лишь основ этого метода, практическое значение которого трудно переоценить. Более подробное описание метода конечных элементов можно найти в работах Кука [21 и Зенкевича и Чен- [c.125]

Метод конечных элементов является аналитической процедурой интенсивная разработка которой велась в течение сравнительн( короткого промежутка времени. Ключевая идея метода при анализ( поведения конструкций заключается в следующем сплошная средг (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на об ласти (конечные элементы), в каждой из которых поведение средь описывается с помощью отдельного набора выбранных функций представляющих напряжения и перемещения в указанной области Эти наборы функций часто задаются в такой форме, чтобы удовле творить условиям непрерывности описываемых ими характеристи во всей среде. В других случаях выбранные представления полер не обеспечивают непрерывности и, тем не менее, дают возможное получить удовлетворительное решение. При этом в отличие от полностью непрерывных моделей, нет полной уверенности в схо димости решения. Если поведение конструкции описывается един ственным дифференциальным уравнением, то получить приближенное решение этого уравнения можно как методом конечных элементов, так и с помощью техники разложения в ряды или конечно разностных схем. Если же конструкция в целом неоднородна и со стоит из большого количества отдельных конструктивных элемен тов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно не посредственно применить лишь метод конечных элементов. [c.16]

Одним из особых преимуществ метода конечных элементов, давно выделенным специалистами, является возможность геометрического представления конструкции, т. е. задание используемой при расчете сетки разбиения существенно нерегулярным способом. Мы уже столкнулись с идеей введения в плоских задачах треугольных элементов, а в гл. 5 и далее будут выведены соотношения между перемещениями и силами для этих элементов. Универсальность задания сетки разбиения с помощью треугольных элементов совершенно очевидна. Весьма существенны, хотя и менее явно выражены, преимущества от представления сетки разбиения криволинейными элементами. В разд. 8.8 рассматривается частный случай, когда граничные кривые определяются полиномиальными выражениями. Этот случай задания сетки называется изопараметринеским. [c.89]

Основная идея проста. Предположим, что мы собираемся использовать обычный полиномиальный элемент, например один из тех, что определены на прямоугольниках или треугольниках в разд. 1.8. Предположим также, что области, на которые разбивается й, неподходящей формы, т. е. могут иметь одну и бдлее криволинейных сторон или быть непрямоугольными четырехугольниками. Выбирая новую систему координат т), можно привести элементы к правильной форме. Матрицы жесткости элементов тогда вычисляются интегрированием в новых переменных на треугольниках или прямоугольниках, а минимизация приводит к решению ФЦ,г]) метода конечных элементов, которое можно преобразовать обратно в переменные х и у ). [c.185]

Задачи на собственные значения, которые мы будем записывать в виде Ьи = Ки или, более общо, Ьи = ХВи, очень часто встречаются в приложениях. Назовем здесь лишь задачи о продольном изгибе стержней и выпучивании оболочек, колебании упругих тел и о многогрупповой диффузии в ядерных реакторах. К счастью, как и для стационарных уравнений Ьи = Д для этих задач также полезна идея Рэлея — Ритца. В самом деле, эта идея исходит из описания Рэлея основной частоты как наименьшего значения отношения Рэлея. Поэтому шаг, который был предпринят в последние 15 лет, вполне евтествен и неизбежен применить новые идеи метода конечных элементов к этой давно установленной вариационной форме задачи на собственные значения. [c.251]

Разложения, приведенные в разд. 8.1, предлагают модификацию пространств метода конечных элементов, позволяющую улучшить аппроксимацию сингулярных решений. Предположим, что мы можем построить такие независимые функции Ji,. .., ifs, что при подходящих (но неизвестных) коэффициентах Сь. .., Сз функция u — Yj будет гладкой, скажем будет принадлежать пространству Тогда почему бы не добавить грь. .., к пространству метода конечных элементов 5 Идея очевидна и заключается в том, чтобы около особенности аппроксимировать и сингулярными функциями xjji,. .., xjjs при обычных конечных элементах в других частях области. В результате необходимо определить сингулярные функции только в локальной подобласти около каждой особенности. Поэтому как для углов, так и для поверхностей раздела возьмем [c.304]

Другая важная идея состоит в использовашти принадлежащего Ж. Дени и Ж. Л. Лионсу основного результата относительно пространств Соболева, которосй буквально пронизывает математический анализ метода конечных элементов на фактор-пространстве Q)/P/ (Q) полунорма и —норма, экви- [c.115]

Естественно, следовательно, попытаться рассмотреть конеч-ноэлементпые аппроксимации этой двойственной задачи. Однако тогда наибольшая трудность будет заключаться в ограничениях, используемых в определении множества T f, g). Основная идея устранения этого затруднения состоит в применении техники теории двойственности. Эта методика составляет основу описываемых далее смешанных и гибридных методов конечных элементов. [c.397]

Идея представления конструкций в виде набора дискретных элементов восходит к раннему периоду исследования конструкций летательных аппаратов, когда, например, крылья и фюзеляжи рассматривались как совокупности стрингеров, обшивки и работающих на сдвиг панелей. Хренников [1941] ввел метод каркасов — предшественник общих дискретных методов строительной механики — и применил его, представляя плоское упругое тело в виде набора брусьев и балок. Топологические свойства некоторых типов дискретных систем изучались Кроном [1939] ), который разработал универсальные методы анализа сложных электрических цепей и строительных конструкций. Курант [1943] дал приближенное решение задачи кручения Сен-Венана, используя кусочнолинейное представление функции искажения в каждом из треугольных элементов, совокупностью которых заменялось поперечное сечение тела, и формулируя задачу с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Пример применения Курантом метода Ритца содержит в себе все основные моменты процедуры, известной теперь как метод конечных элементов. Аналогичные идеи использовал позже Пойа [1952]. Метод гиперокружностей , предложенный в 1947 г. Прагером и Сингом [1947] и подробно исследованный Сингом [1957] ), легко может быть приспособлен для конечноэлементных применений он проливает новый свет на приближенные методы решения некоторых краевых задач математической физики. В 1954 г. Аргирис и его сотрудники ) начали публикацию серии работ, в которых они далеко развили некоторые обобщения линейной теории конструкций и представили методы [c.12]

Поскольку метод Галёркина подходит в основном лишь для уравнений эллиптического типа, он непригоден для расчета обтекания решеток трансзвуковым или сверхзвуковым потоком, когда условия течения на входе в решетку и на выходе из нее существенно различны. Введение искусственной сжимаемости позволяет решить эту проблему. Такая идея была предложена в работе [6.28], где методом конечных элементов с использованием метода Галёркина получено вполне качественное решение уравнений течения сжимаемого газа в решетках. [c.177]

Темпы исследований, связанных с расчетом сосудов высокого давления, столь высоки, что зачастую в общих руководствах и справочниках трудно найти самые последние результаты,— ведь переиздавать большой справочный том ради внесения поправок в один его раздел вряд ли целесообразно. С другой стороны, разыскать нужную работу по расчету сосудов высокого давления в периодической печати нелегко, так как статьи на эту тему печатаются во многих журналах. В связи с 9fHM возникла идея собрать серию неопубликованных оригинальных статей по этой теме в одной книге, удобной для справок и использования в работе. Авторы этих статей являются признанными специалистами из организаций, хорошо известных своими достижениями в исследованиях, связанных с сосудами высокого давления. В книге представлены работы специалистов из Канады, Англии, Голландии, Италии и Японии. Они включают расчет ползучести конструкций, расчет оболочек методом коллокаций с использованием конечных элементов, трехмерный анализ напряженного состояния в зоне пересечения оболочек, приложение метода нижней границы предельной нагрузки, конструирование фланцев и накладок, подкрепляющих оболочки, расчет системы трубопроводов. Из перечисленного видно, что публикуемые в сборнике статьи охватывают широкий круг вопросов, [c.7]

Идея МКЭ и алгоритм решения задачи о напряженно-деформированном состоянии с помощью МКЭ демонстрируются в гл. 1 на примере элементарных задач об осевой деформации стержня. Далее МКЭ излагается в гл. 2—6 применительно к задачам теплопроводности и термоупругости, причем выбор рассматриваемых в книге типов конечных элементов обусловлен конфигурацией таких подлежащих исследованию деталей тепловых двигателей, как поршни и цилиндровые втулки дизелей различного назначения. Параллельно с изложением алгоритма МКЭ демонстрируются реализующие эти алгоритмы программные модули комплекса, созданного автором и предназначенного специально для расчета деталей тепловых двигателей. Программы и программные комплексы записаны на языке Фортран, так что книга предполагает знакомство читателя с этим алгоритмическим языком. В книге большое внимание уделено вопросам рационального использования всех ресурсов ЭВМ и эффективной организации всего процесса вычислений при решении больших по размеру прикладных задач приводятся программы вычисления матриц жесткости, инвариантные к виду конечного элемента. В 1л. 7—8 приводится компактная схема организации формирования глобальной матрицы системы уравнений МКЭ, подробно излагаются приемы организации исходных данных, опыт реализации с использованием периферийной памяти схем метода Холецкого и метода сопряженных градиентов для решения больших систем уравнений МКЭ, С помощью разработанных программных комплексов автором выполнены исследования температурных полей и напряженно-деформированного состояния ряда деталей тепловых двигателей. Результаты этих исследований приведены в гл. 9—10 книги. В. Н. Николаевым написан п. 5 гл. 9, гл. 10 — совместно с канд. техн. наук М. В. Се-менченко. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...