Основные идеи метода конечных элементов

Основную идею метода конечных элементов можно наглядно проиллюстрировать на одномерном примере заданного распределения температуры в стержне (рис. 7.7). Рассматриваемая [c.197]

При построении дискретной модели непрерывной величины, определенной в двух- или трехмерной области, основную идею метода конечных элементов используют аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще всего рассматривают элементы в форме треугольника или четырехугольника (рис. 7.11). Функция элемента представляется плоскостью, если для данного элемента взято минимальное число точек, которое для треугольного элемента равно трем, а для четырехугольного —четырем. [c.199]

Основные идеи метода конечных элементов 21 [c.21]

ВВОДНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.30]

К сожалению, записанные выше уравнения чрезвычайно трудно использовать в практических расчетах, и поэтому целесообразно поискать другую конечноэлементную модель. Для иллюстрации одной из таких возможностей скомбинируем основные идеи метода конечных элементов и метода Канторовича ) [1933]. Предположим, что в области 2 функция / (х, V, Ь) приближенно представима в виде [c.182]

В нашей стране и за рубежом к настоящему времени разработано большое число программ и программных комплексов, реализующих идеи метода конечных элементов [2, 14, 26]. Большинство из них имеет проблемную ориентацию, на решение задач строительной механики ( Прочность , Лира , Каскад , Корпус и др.). Эти программы предназначены в основном для решения задач статики и динамики инженерно-строительных сооружений. Разработанные универсальные комплексы постоянно дополняются блоками, расширяющими их функциональные возможности. Вместе с тем требования универсальности вычислительного комплекса зачастую вступают в противоречие с числом предусмотренных в нем сервисных возможностей и удобства в эксплуатации, делают целесообразным использование разработанных программных комплексов лишь для решения типовых задач в области конкретной проблемной ориентации. Многие часто встречающиеся в расчетной практике случаи остаются при этом вне возможностей универсальных комплексов, а это, в свою очередь, вынуждает разрабатывать менее универсальные, специализированные программы, ориентированные на более-узкий круг задач, хотя они также должны в определенной мере удовлетворять требованиям быстродействия, удобства в эксплуатации, иметь широкие сервисные возможности и модульную структуру, позволяющую производить ту или иную компоновку программы в соответствии с физическим содержанием решаемой задачи. [c.40]

Введенная выше терминология известна читателям, знакомым с методом конечных элементов действительно, базисные функции, которые мы далее рассмотрим, общеприняты в обоих методах — и МКЭ, и МГЭ. Однако наше изложение материала несколько отличается от привычного, и мы надеемся, что оно окажется одновременно полезным и интересным даже для тех, кто уже усвоил основные идеи. [c.206]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Книга представляет собой руководство по широко используемому в настоящее время методу конечных элементов, позволяющему получать численные решения инженерных, физических и математических задач. Детальное обсуждение основных идей метода сопровождается примерами, иллюстрирующими технику его применения. Приводится большое число простых программ, написанных на алгоритмическом языке ФОРТРАН и служащих учебным целям. [c.4]

Эту книгу следует рассматривать как введение в метод конечных элементов в том его виде, как он применяется к задачам континуального типа. В ней приводятся основные идеи метода и способы их реализации. Изложенного материала более чем достаточно для первоначального ознакомления с методом студентов старших курсов и аспирантов. [c.7]

Следует отметить, что метод конечных элементов вносит ряд дополнительных преимуществ в расчет температурных напряжений. Последовательная методология конечно-элементного анализа задач теплопроводности пригодна для расчета распределения температуры в конструкции. Основные идеи расчета стационарных задач теплопроводности методом конечных элементов излагаются в разд. 5.4. В работах [3.7, 3.8] описывается более подробно применение метода конечных элементов в этой области, не связанной непосредственно с расчетом конструкций, включая решение нестационарных задач теплопроводности. Имеется возможность применить одну и ту же программу общего назначения, реализующую метод конечных элементов, как для расчета температур, вызванных тепловым потоком, так и температурных напряжений, возникающих из-за наличия температурного поля. Кроме того, в тех случаях, когда свойства материала зависят от температуры, можно задать характеристики для каждого элемента в зависимости от значения температуры в элементе. [c.90]

Я уверен, что метод будет развиваться дальше, и надеюсь, что Вы поможете этому и настоящая книга также. Ее цель — разъяснить основные идеи метода настолько просто и ясно, чтобы инженеры смогли строить и применять конечные элементы, а специалисты по численному анализу увидели вопросы, которые их касаются, и чтобы те и другие нашли общий язык [c.6]

Выбор метода дискретизации тесно связан с выбором функционала. В частности, вариационно-разностные схемы могут быть построены на основе общей идеи расчленения сложной системы на элементы. При этом возникает понятие метода конечных элемен-70в (МКЭ). С математической точки зрения расчленение означает выбор определенного частного функционала и дополнительных условий к нему, т. е. расчленение всей разрешающей системы уравнений на две части, одна из которых (дополнительные условия) должна выполняться предварительно, до использования другой. Расчленение обычно сопровождается механической трактовкой, которая выражается в выборе так называемой основной системы (длд которой дополнительные условия выполнены) и неизвестных (отыскиваются с помощью частного функционала). [c.171]

Согласно идее метода заданная оболочка разбивается на ряд фрагментов (конечных элементов), сохраняющих основные свойства целой конструкции. В пределах каждого из элементов (на границах и внутри) назначается конечное число точек (узлов), перемещения которых принимаются за неизвестные. Вводя в рассмотрение специальные базисные функции, непрерывные в области конечного элемента, удается выразить все компоненты напряжен-яо-деформированного состояния элемента через перемещения его узлов. Вся совокупность конечных элементов соединяется в узлах, расположенных на границах. [c.188]

Книгу отличает более глубокий, чем обычно принято в учебной литературе, анализ оснований классической и релятивистской механики, выполненный с единым для этих парадигм подходом. Курс включает изложение элементов теории групп Ли, достаточное для понимания особенностей применения теоретико-групповых идей в современной механике и физике. Традиционные разделы теоретической механики подвергнуты серьезной методической переработке с целью, с одной стороны, максимально упростить введение основных понятий, доказательства теорем и основных методов, с другой стороны, заменить устаревшие представления более эффективными современными. Последнее относится, например, к аппарату теории конечных поворотов. [c.2]

Еще античным ученым бьшо хорошо известно, что каждый успешный метод исследований должен включать в себя три основных элемента опыт, математический расчет и логическое рассуждение. Физика с самого начала своего существования неизменно руководствовалась этим правилом, даже несмотря на то, что в древние времена она зарождалась еще как чистая натурфилософия. При этом математика оказывалась для молодой науки не только ценным инструментом, но и ключом к решению многих неясных проблем. Таким образом, физика одновременно получала и идею, и метод решения конкретной задачи, так что исследователю с помощью эксперимента оставалось лишь убедиться в правильности выбранного пути. Однако именно эксперимент как раз и являлся наиболее слабым звеном этой цепи. Не секрет, что античная наука питала непреодолимое отвращение к опытному подтверждению теоретических гипотез, хотя, конечно, само по себе это не могло служить явным поводом к отрицанию важности эксперимента. Кроме того, между научными исследованиями и практической жизнью в то время не наблюдалось фактически никакой связи. Сущность тогдашней науки заключалась в том, что она была частью философии природы, элементом общечеловеческого мировоззрения кроме того, она являлась средством развития духа человека-именно в этом большинство ученых усматривало ее главную миссию. [c.115]

Задачи на собственные значения, которые мы будем записывать в виде Ьи = Ки или, более общо, Ьи = ХВи, очень часто встречаются в приложениях. Назовем здесь лишь задачи о продольном изгибе стержней и выпучивании оболочек, колебании упругих тел и о многогрупповой диффузии в ядерных реакторах. К счастью, как и для стационарных уравнений Ьи = Д для этих задач также полезна идея Рэлея — Ритца. В самом деле, эта идея исходит из описания Рэлея основной частоты как наименьшего значения отношения Рэлея. Поэтому шаг, который был предпринят в последние 15 лет, вполне евтествен и неизбежен применить новые идеи метода конечных элементов к этой давно установленной вариационной форме задачи на собственные значения. [c.251]

В настоящее время метод конечных элементов широко используется как эффективный метод решения инженерных и физических задач. Будущий инженер должен изучить основные идеи мешда и современное его состояние. Именно изложению основ метода и и посвящена эта книга аспекты современного его состояния оставляются на усмотрение читателя. [c.374]

Такая популярность метода несомненно объясняется простотой его физической интерпретации и математической формы н гибкостью численного алгоритма, облегчающей программирование сложных задач математической физики. Этот метод в своей основе является вариационным, и история его возникновения и развития восходит к основополагаюпшм работам отечественных математиков Бубнова и Галёркина. В настоящее время метод конечных элементов перестал быть чисто теоретическим и стал эффективным средством вычисления благодаря идее использования многомерных сплайнов. Успех в развитии теории сплайнов в значительной степени стимулировал разработку математических основ метода конечных элементов. Эти две теории, развивавшиеся вначале параллельно, первая в основном усилиями математиков, а вторая — инженеров, в дальнейшем были объединены в создании столь мощного метода. [c.5]

Идея представления конструкций в виде набора дискретных элементов восходит к раннему периоду исследования конструкций летательных аппаратов, когда, например, крылья и фюзеляжи рассматривались как совокупности стрингеров, обшивки и работающих на сдвиг панелей. Хренников [1941] ввел метод каркасов — предшественник общих дискретных методов строительной механики — и применил его, представляя плоское упругое тело в виде набора брусьев и балок. Топологические свойства некоторых типов дискретных систем изучались Кроном [1939] ), который разработал универсальные методы анализа сложных электрических цепей и строительных конструкций. Курант [1943] дал приближенное решение задачи кручения Сен-Венана, используя кусочнолинейное представление функции искажения в каждом из треугольных элементов, совокупностью которых заменялось поперечное сечение тела, и формулируя задачу с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Пример применения Курантом метода Ритца содержит в себе все основные моменты процедуры, известной теперь как метод конечных элементов. Аналогичные идеи использовал позже Пойа [1952]. Метод гиперокружностей , предложенный в 1947 г. Прагером и Сингом [1947] и подробно исследованный Сингом [1957] ), легко может быть приспособлен для конечноэлементных применений он проливает новый свет на приближенные методы решения некоторых краевых задач математической физики. В 1954 г. Аргирис и его сотрудники ) начали публикацию серии работ, в которых они далеко развили некоторые обобщения линейной теории конструкций и представили методы [c.12]

Основные идеи, используемые при выводе линейных форм уравнений в приращениях, описывающих поведение деформируемых тел, принадлежат Коши [1829] и Сен-Венану [1868] в последующем их неоднократно выдвигали заново. Современное полное изложение теории деформаций при приращениях дано Био [1965]. Техника приращений широко применяется в приложениях метода конечных элементов. Впервые она была использована Тэрнером [1959] и Аргирисом [1959] при исследованиях с помощью метода конечных элементов геометрически нелинейных задач теории упругости и упругой устойчивости. Обзор относящихся сюда работ вплоть до 1965 г. сделан Мартином [19666]. Многие из конечноэлементных формулировок в приращениях, полученные До 1968 г., неполны, поскольку они не учитывают надлежащим образом изме- [c.283]

Интуитивно можно ожидать и другое, а именно, что вывод граничных интегральных уравнений и их решение могут оказаться более сложными математически, чем прочие упомянутые выше методы. К счастью, это верно лишь отчасти, несмотря на то что методы граничных интегральных уравнений в прошлом развивались в основном математиками. Существующая литература, хотя и обширна, имеет очевидный математический уклон. При этом отсутствует конечное вознаграждение , состоящее в том, что в итоге получается универсальный метод, который можно единообразно использовать. Однако с практической точки зрения за последние несколько лет ситуация улучшилась. Теперь доступны методы граничных элементов (МГЭ), развитые, по существу, на основе идей интегральных уравнений. Эти методы широко применимы без использования доказательств существования и единственности для каждого отдельного решения. В результате они становятся уеперь чрезвычайно популярными и реализуются в алгоритмах для быстродействующих ЭВМ, непосредственно используемых практиками. [c.14]

Книга, предлагаемая Вашему вниманию, написана двумя известными американскими математиками — Гилбертом Стренгом и Джорджем Фиксом. Их работа — попытка наметить связь между инженерной теорией конечных элементов и математической основой метода. Этим объясняются особенности стиля книги, а также простота примеров, на которых рассматривается метод и иллюстрируются основные идеи. Вместе с тем в книге присутствуют все математические доказательства, необходимые для четкого обоснования оценок сходимости. Круг рассматриваемых задач весьма широк — эллиптические и параболические задачи, задачи на собственные значения. При этом не только обсуждаются теоретические вопросы, но и даются практические вычислительные рекомендации. Книга снабжена обширной библиографией. [c.5]

Из теории, изложенной в предыдущих параграфах, ясно, что статическое поведение конечных элементов при конечных упругих деформациях описывается большими системами нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Хотя системы нелинейных уравнений встречаются в прикладных задачах механики уже в течение нескольких веков, общих методов получения их точных решений не существует. Таким образом, неизбежно приходится использовать численные методы, и в общем случае решение можно пол5П1ить лишь с некоторой заданной степенью точности. В этом параграфе мы обсудим основные идеи, на которых основываются некоторые схемы численных решений больших систем нелинейных уравнений ). [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...