Движение точки по неподвижной поверхности

Это — дифференциальные уравнения движения точки по неподвижной поверхности в форме Лагранжа со множителем. Они представляют собой четыре уравнения относительно четырех неизвестных X, у, Z, к. [c.294]

Движение точки по неподвижной поверхности. Движение по инерции. Рассмотрим случай, когда поверхность неподвижна, а на точку массы т кроме реакции R поверхности действует сила F. Если поверхность идеально гладкая, то ее реакция R ортогональна к поверхности в рассматриваемой точке. [c.113]

Случай несвободного движения. При несвободном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работа заданных (активных) сил FI и работа реакции связи. Ограничимся рассмотрением движения точки по неподвижной гладкой (лишенной трения) поверхности или кривой. В этом случае реакция N (см. рис. 233) будет направлена по нормали к траектории точки и N =0. Тогда, согласно формуле (44), работа реакции неподвижной гладкой поверхности (или кривой) при любом перемещении точки будет равна нулю, и из уравнения (52) получим [c.214]

Рассмотрим случай, когда F = О (движение точки по неподвижной гладкой поверхности но инерции). Из первого уравнения [c.295]

Для решения задач к этим уравнениям надо добавить еще уравнения связей. Например, при движении точки по неподвижной гладкой поверхности уравнением связи является уравнение данной поверхности [c.106]

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ ИЛИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ [c.410]

Примером голономной, двусторонне стационарной связи может служить абсолютно жесткий стержень ОМ длиной I, соединяющий материальную точку с неподвижной точкой О (рис. 54). Стержень ОМ ограничивает движение точки, допуская ее движение лишь по сферической поверхности радиусом I. [c.64]

Следовательно, изменение кинетической энергии материальной точки в этом случае равно сумме работ на соответствующем перемещении всех задаваемых сил, приложенных к точке. При движении материальной точки по неподвижной шероховатой поверхности действует сила трения F, направленная противоположно скорости точки. Работу этой силы можно определить по формуле (60.7) [c.169]

Ко второй группе относятся задачи, в которых рассматривается криволинейное движение точки по данной неподвижной поверхности. [c.261]

Пусть гладкая неподвижная поверхность, по которой двигается точка массой т под действием данной силы Р, задана уравнением / (х, у, г) == О, где х, у, г — координаты движущейся точки. Так как рассматриваемая поверхность является гладкой, то сила трения отсутствует. Обозначив /V неизвестную нормальную силу реакции поверхности, получим следующие дифференциальные уравнения движения точки по поверхности [c.225]

Так как в рассматриваемом примере (рис. 416) поверхность неподвижна (стационарная связь), то траектория действительного движения точки лежит на этой поверхности. В этом случае вектор действительного перемещения йг направлен в сторону движения точки по касательной к траектории, а следовательно, и к поверхности, а поэтому направление вектора йг совпадает с одним из направлений возможных перемещений ог. [c.755]

Точка на поверхности. Те же заключения справедливы и для движения точки по плоскости или по произвольной неподвижной поверхности, когда существует силовая функция. [c.500]

Мгновенная ось описывает в этом случае в пространстве неподвижную поверхность в то же время она описывает в теле поверхность, увлекаемую движением последнего. Эти две линейчатые поверхности касаются в каждый момент времени одна другой вдоль мгновенной оси, представляющей собой их общую образующую в этот момент. Чтобы осуществить непрерывное движение твердого тела в общем случае, нужно заставить подвижную поверхность, связанную с телом, катиться по неподвижной поверхности и одновременно скользить вдоль образующей соприкосновения. [c.85]

Качение и верчение неизменяемой подвижной поверхности по неподвижной поверхности. — Предположим, что при движении твердого тела некоторая неизменяемая поверхность связанная с телом, все время касается неподвижной поверхности в одной точке А, которая может при этом изменять свое положение от момента к моменту на каждой из этих поверхностей. В этом случае говорят, что подвижная поверхность 5 катится и вертится по поверхности 5,, если только скорость точки А поверхности S, совпадающей с точкой касания, в каждый момент равна нулю. [c.85]

ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ КРИВОЙ ИЛИ ПОВЕРХНОСТИ [c.181]

Дифференциальные уравнения движения. — Рассмотрим точку М массы /га, вынужденную двигаться по неподвижной поверхности заданной уравнением [c.192]

Мы уже встречались со связями, наложенными на твердое тело и не являющимися голономными. Эю — классический случая качения и верчения без скольжения поверхности тела по неподвижной поверхности. Эта связь разлагается на две, одна из которых голономна, другая нет. Условие касания двух поверхностей ограничивает число возможных положений тела и голономно условие того, что скорость точки касания тела с неподвижной поверхностью равна нулю, ограничивает только совокупность движений, которые переводят тело из одного положения в другое, и это условие не является голономным. [c.304]

Если система сводится к одной точке, движущейся по неподвижной поверхности, то действительное движение, среди всех движений по поверхности, совершающихся с той же скоростью, есть такое движение, при котором точка переходит из своего начального положения в конечное положение в кратчайший [c.229]

Геометрическое место прямых линий, проведенных из точки А под углом фтр к нормали п опорной поверхности в точке А, образует коническую поверхность, которая называется конусом трения (рис. 83). Если при движении тела по неподвижной плоскости в любом направлении коэффициент трения скольжения имеет одно и то же значение, то конус трения будет, очевидно, круглым конусом. В некоторых случаях при движении тела по неподвижной плоскости в разных направлениях коэффициент трения скольжения имеет различные значения, например при скольжении по дереву вдоль волокон и поперек волокон. В этих случаях образующие конуса трения составляют с нормалью опорной поверхности различные углы, а потому конус трения не будет круглым конусом. Так как модуль Р силы статического трения не может быть больше / щах, то [c.127]

Однако во многих случаях движение точки приходится рассматривать относительно подвижной системы отсчета, т. е. системы, которая сама перемещается по отношению к земной поверхности. Рассмотрим движение какой-либо точки одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна будет неподвижной, а другая подвижной. Тогда, естественно, движение точки по отношению к этим системам окажется различным. [c.168]

Движение точки по гладкой неподвижной поверхности [c.127]

Когда колесо перекатывается без скольжения по неподвижной поверхности (рис. 28, е), например, в направлении стрелки Р, оно совершает одновременно два движения вращательное вокруг центра В1 и поступательное по поверхности. Вследствие сочетания этих движений скорость точки А равна нулю. Скорости всех остальных точек колеса не равны нулю, иначе оно не перемещалось бы. Если скорость точки А равна нулю, а скорости [c.46]

Предположим, например, что тело движется или катится под действием силы тяжести, соприкасаясь в одной точке с неподвижной поверхностью, которая либо абсолютно шероховатая, либо абсолютно гладкая, так что трения скольжения нет. Пусть тело каким-либо образом приходит в движение, и нам известна живая сила в начальный момент. Живая сила уменьшается или увеличивается в зависимости от того, поднимается или опускается центр тяжести по сравнению с его первоначальным положением. В то время как тело движется, давление его на поверхность изменяется, оно может обраш,аться в нуль и изменять знак. В последнем случае тело покидает поверхность. Тогда, согласно п. 79, центр тяжести будет описывать параболу, а угловая скорость тела относительно его центра тяжести будет постоянной. Вскоре тело, возвращаясь, может удариться о поверхность, но до тех пор, пока не произойдет такой удар, уравнение живых сил остается неизменным. Дело обстоит совершенно иначе, когда тело возвратится на поверхность. Чтобы пояснить это утверждение, предположим, что Р — реакция поверхности, А — точка тела, к которой приложена эта сила, а Р (11 ее элементарная работа (см. п. 138). Тогда, если тело катится по поверхности, то й/ равно нулю, а если тело покидает поверхность, то Р равно нулю, так что во время движения тела до удара элементарная работа Р с1( равна нулю по той или иной причине. Следовательно, реакция в уравнение живых сил не входит. Но если тело возвращается на поверхность, то точка А вжимается в поверхность, и реакция Р препятствует движению точки А, так что ни Р, ни не равны нулю. Здесь реакцию Р измеряют точно таким же образом, как и в начальный момент движения, считая ее весьма большой силой, резко изменяющей скорость точки А за очень короткое время (см. п. 84). В течение времени сжатия сила Р оказывает сопротивление движению точки А, и, стало быть, живая сила тела уменьшается. Но за время восстановления сила Р помогает перемещению точки А, и следовательно, живая сила увеличивается. В дальнейшем будет показано, что при ударе живая сила уменьшается, за исключением предельного случая абсолютно упругих тел, и будет исследована величина ее потери. [c.128]

Структура турбулентного движения. В зависимости от условий турбулентность может быть пристеночной , если она возникает при движении жидкости около неподвижной поверхности, и свободной , если является результатом вязкостного трения при движении отдельных слоев жидкости с различными скоростями. Если отсутствует внешний источник энергии, то турбулентное движение вырождается - турбулентность становится однородной (одинаковой в разных зонах) и изотропной (не зависящей от направления). В последнем случае осредненная скорость одинакова по всему течению. В большинстве практических случаев турбулентность зависит от направления, а осредненная скорость движения имеет градиент ( сдвиг скорости). Такие потоки определяют как турбулентность в потоке со сдвигом . [c.304]

Если сумма работ сил положите.тьна, то t 2 > т. е, кинетическая энергия точки возрастает, если же эта сумма отрицательна, то V2 кинетическая энергия точки убывает. Применяя эту теорему к движению несвободной материальной точки, следует освободить эту точку от связей, заменив их действие соответствующими реакциями. При движении точки по неподвижной гладкой поверхности реакция этой поверхности направлена по нормали к этой поверхности, а потому ее работа при перемещении точки по поверхности равна нулю. [c.404]

Движение точки на поверхности. Пусть точка М движется по неподвижной поверхности под действием активной силы F (рис. 16.1), Oxyz — иперциальная (см. н. 1.2 гл. XIII) система координат, относительно которой поверхность неподвижна. Уравнение поверхности [c.293]

Движение точки по кривой. Допустим, материальная точка М движется ПО заданной неподвижной кривой под действием активной силы F (рис. 16.4). Пусть линия определена пересечением двух поверхностей и поэтому уравнения кривой в инер-циальной системе координат Oxyz зададим как [c.296]

Законы трения. До сих пор мы принимали, что связь оказывает реакцию по прямой, служащей основанием градиента функции /—О ( 118) эта реакция по направлению вполне определялась, когда нам было дано аналитическое уравнение связи. Но может случиться, что связь оказывает реакцию на материальную частицу также и в плоскости, перпендикулярной к градиенту тогда законы, управляющие такой реакцией, не могут быть найдены только из аналитической формы связи, а должны быть определены из других источников, например, при помощи наблюдений и опыта другими словами, реакции такого рода представляют собой, собственно говоря, заданные силы. К ним принадлежит и так на-31,1ваемая с и л а трения. Законы треиия относятся к взаимодействию двух тел, соприкасающихся друг с другом и движущихся друг относительно друга принимая, что материальная частица представляет собой весьма малое тело, мы можем результаты опытов над трущимися телами приложить и к материальной частице. Когда движение частицы по данной поверхности или линии сопровождается трением, то поверхность или линия называются шероховатыми. Законы трения для материальной частицы, находящейся на неподвижной шероховатой поверхности, следующие [c.225]

Закон площадей — прообраз и частный случай общего закона моментов количеств движения — был установлен впервые Кеплером для движения планет. Кеплер показал, что его второй закон справедлив как для теории Коперника, так и для теорий Птолемея и Тихо Браге. Возможно, что это обстоятельство побудило Ньютона к дальнейшему обобщению. В Началах он доказал и то, что закон площадей для планетных орбит является следствием закона тяготения (планет к Солнцу) в принятой Ньютоном форме, и то, что этот закон справедлив при движении тела под действием любой силы постоянного направления, проходящей через неподвижный центр. Но переход к более общей закономерности не был напрашивающимся, так как момент силы относительно этого центра тождественно равен нулю и в случае, который рассматривал Ньютон. Этот переход был облегчен развитием статики — оперирование моментами (сил) относительно ося или точки как алгебраическими величинами стало там обычным благодаря трудам Вариньона. Все же новое обобщение закона площадей было получено только в работах 40-х годов XVIII в. Все эти работы связаны с задачами о движении тел на движущихся поверхностях. Подобные задачи ставились и в земной, и в небесной механике. Иоганн и Даниил Бернулли начали изучение таких вопросов для случая, когда движущаяся поверхность — наклонная плоскость. Клеро немало содействовал успеху в этой тогда новой области механики своими результатами по теории относительного движения. Вслед за ним Эйлер в большой работе О движениях тел по подвижным поверхностям от- [c.125]

Таким образом, уравнения (5.11) —(5.13) в принципе дают возможность решить задачу о движении точки по гладкой неподвижной поверхности. Из уравнений (5.11) и (5.13) можно исключить реакции связей. Для этого обозначим равные бтношения [c.127]

Но по условию расстояние между частицами т, т не изменяется во время движения. Точка т неподвижна, следовательно, т движется не иначе как по поверхности шара, имеющего центр т, а радиус тт . Сила же Р идет по прямой тт , т. е. по радиусу шара следовательно, она всегда перпендикулярна к перемещению точки т , т. е. работа этой силы постояЛто равна нулю. Итак, обе силы дают работы, равные нулю, и наша теорема доказана. [c.257]

Известно, что Фобос (как и второй спутник Марса — Деймос) постоянно ориентирован на Марс, подобно тому, как Луна постоянно ориентирована на Землю. Иначе говоря, поверхность Фобоса неподвижна в орбитальной системе координат О 77, где О — центр масс Фобоса, движущийся по круговой орбите радиуса г вокруг Марса. Ситуацию на рис. 13 можно привести к рассматриваемой, если считать, что связывающая нить отсутствует, масса т пренебрежимо мала по сравнению с массой шо Фобоса (ш << шо) и потому точка шо и совпадает с началом О системы координат О г]. Поверхность Фобоса упрощенно примем сферической (в рассматриваемой здесь плоской задаче эта поверхность — окружность). Рассматривая движение точки вблизи этой поверхности, естественно предположить, что ее расстояние р от центра масс Фобоса существенно меньше радиуса г орбиты Фобоса (р << г) и тогда уравнения движения точки т описываются классическими уравнениями задачи Хилла, которые приведем здесь в безразмерной форме [c.227]

Рассмотрим ещё следующую задачу о движении точки по поверхности Земли. Предположим, что точка А движется равномерно к полюсу вдоль меридиана ВАР. Построим неподвижную систему осей координат O x y z f как показано на черт. 221. Введём полярные координаты точки А, которые будут R — радиус Земли, 0 — широта точки А и ср — долгота точки А, Так как точка А движется вдоль меридиана равномерно, то 0 = ]xt так как Земля вращается вокруг своей оси равномерно, то будет ср = со , где со есть угловая скорость вращения Земли. Если бы точка А не двигалась вдоль меридиана, то она имела бы одно переносное движение, в котором точка А описывала бы параллель с радиусом, равным Л = / соз0. Следовательно, переносное ускорение точки А равно ш / os 0 и направлено по радиусу параллели к её центру. Если бы Земля не вращалась вокруг своей оси, но точка А двигалась бы вдоль меридиана, то точка А имела бы одно относительное ускорение, равное [х / и направленное вдоль радиуса Земли к её центру. Если точка А участвует в обоих дви- [c.374]

Кристаллизация с протекающими растворами. В кристаллизационных баках кристаллы и раствор находятся в покое, и выравнивание убывающего около кристаллов насыщения идет только путем диффузии. Бокк [ 1 первый предложил способ выращивания кристаллов как на дне, так и на стенках сосуда при движении щелоков по неподвижным наклонным поверхностям в этих условиях получается возможность питать кристаллы и увеличивать их размеры до той величины, которая достигается в неподвижных баках. Качество и форма кристаллов зависят в сильной степени от температурных условий, при к-рых протекает кристаллизация выделяющиеся вначале при высокой t° кристаллы имеют совсем иной характер, чем те, которые получаются в конце процесса, когда сильно понижается. В желобах Бокка легко поддерживать температурные границы, необходимые для равномерной кристаллизации, и они нашли себе применение для многих случаев, например для кристаллизации растворов буры, причем в пределах от 60 до 35° получаются прекрасные друзы длинных кристаллов. После Бокка рядом изобретателей были предложены различные системы, основной идеей к-рых было создание неглубоких потоков, непрерывно протекающих по плоским поверхностям. На фиг. 3 показана в боковом разрезе и сверху установка Emil Passburg для кристаллизации растворов хлористого калия. Две громадные сковороды, сделанные из котельного железа, для ежедневной переработки 600—700 м раствора дают 100 ООО кг соли. Почти насыщенный раствор с ° = 90— 95° поступает на сковороду через конец о и медленно движется по сковородам, имеющим при ширине 4 м длину ок. 50 м. Сковороды помещены на бетонных каналах Ь, по которым, как показано стрелками, зигзагообразно протекает охлаждающая вода. Кро- [c.305]

Каркасные (кииематические) геометрические модели применяются для описания объемных фигур. Первый способ получения каркасных моделей подразумевает, что поверхность образуется непрерывным перемещением линии, называемой образующей, в пространстве по некоторому закону. Образующая при движении пересекает ряд неподвижных линий, называемых направляющими. Наряду с пересечением могут использоваться условия параллельности, касания и другие отношения образующих с направляющими. Множество точек или линий, определяющих поверхность и принадлежащих ей, называется каркасом. Непрерывному движению точки по поверхности фигуры соответствует непрерывное множество линий каркаса. В памяти ЭВМ при отображении поверхности на выводных графических устройствах она задается некоторым конечным количеством линий, называемых дискретным каркасом поверхности (скелетной моделью поверхности). На рис. 9.14 показан процесс получения каркасной поверхности. [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...