Взаимность деформаций

Другой приближенный метод [87] также основывается на уравнениях (2.52). Он заключается в том, что уравнения относительно У1 умножаются последовательно на уравнения относительно ф, умножаются на с ц и результаты суммируются. Применяя теорему о взаимности деформаций и обозначая через [c.60]

Из условия взаимности деформаций вытекает, что и следующая перестановка индексов не должна менять величины компонент [c.35]

Взаимность деформаций 158, ХШ. Взмет 732, XIV. [c.480]

Отсюда легко установить механический смысл коэффициентов жесткости каната, а именно коэффициент А есть жесткость каната при чистом растяжении В — жесткость при чистом кручении. Коэффициент С может быть назван коэффициентом взаимности деформаций растяжения и кручения в канате. [c.133]

Из свойства взаимности касательных напряжений легко установить свойство взаимности угловых деформаций. Действительно, если закрепить грань КО (рис. 111.3, а), то получим для угла сдвига [c.84]

Следовательно, угловые деформации двух взаимно перпендикулярных площадок равны по значению и противоположны по знаку (свойство взаимности угловых деформаций). [c.84]

Подобно тому как угловые деформации не зависят от нормальных напряжений, так же и линейные деформации не зависят от касательных напряжений. Это может быть довольно просто показано при помощи приведенных выше рассуждений. Кроме того, это следует также и из теоремы взаимности работ (см. 42). Если нормальные напряжения не вызывают сдвига, на котором касательные силы могли бы совершить работу, то и касательные напряжения не вызовут линейных смещений, на которых производят работу нормальные силы. [c.254]

Все сказанное остается правильным лишь для изотропного тела. Только для изотропной среды мы можем сделать вывод об отсутствии перекосов при простом растяжении. Мало того, все рассуждения могут быть приняты только в случае линейной зависимости между напряжениями и деформациями, так как теорема взаимности работ верна лишь для линейных систем. [c.42]

Принцип взаимности теорема Бетти). Пусть на тело действуют две системы поверхностных сил Лу, Ум и Лу % Напряжения, деформации и перемещения, соответствующие действию каждой из систем нагрузок, обозначим со- [c.43]

Это тождество может рассматриваться как выражение теоремы о взаимности работ, поскольку мгновенному полю скоростей пластической деформации е , отвечает единственное [c.116]

Рассмотрим четные итерации, в которых энергия деформации тела V складывается из работы сил на всей поверхности тела LUS. Итерационный процесс (3.15) минимизирует на S работу реакций на заданных из постановки задачи перемещениях 5 = и. Покажем уменьшение работы реакции на S при переходе от нулевой итерации (и =0,m s =u, p g =P5,M i =tPi, P l =0) ко второй (л = 2, Is = u, p s =Р5,м1л = ,pli =pi)- Из теоремы взаимности Бетти для этих двух состояний следует [c.75]

Деформации сдвига так же, как касательные напряжения, обладают свойством взаимности, то есть [c.96]

Для линейной несвязанной задачи термоупругости, описываемой (1.58) с граничными условиями (1.21) и (1.22), интегральная форма представления решения базируется на обобщении на случай неравномерного нагрева тела теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти—Максвелла). Пусть в одной и той же точке тела под действием двух различных систем нагружающих факторов fi (М), АТ (М) и f i (М), АТ" (М) при М V, Pi (М) и р с (N) при N ( S возникают два различных напряженно-деформированных состояния, характеризуемых компонентами тензоров ст /, ег/ и а с/, ц. С учетом (1.39), связывающим напряжения и деформации в линейно-упругом материале, получим [c.31]

Формулировка и доказательство теоремы взаимности (Бетти, 1872). Рассматриваются два состояния равновесия линейно-упругого тела, называемые далее первым и вторым. По векторам перемещений и, и", задающих эти состояния, определяются тензоры деформации [c.167]

В задание компонент деформации г в виде квадратичных форм координат войдет 36 коэффициентов, связанных шестью условиями совместности деформаций (2.1.5) гл. П. Использование теоремы взаимности в форме (3.1.5) [c.171]

Решение краевой задачи (5.3.8) для вектора w затруднено сложностью выражений объемных и поверхностных сил к, f. Применение теоремы взаимности позволяет определить по ним средние значения деформаций и напряжений этим можно довольствоваться во многих задачах, когда необходимость учета деталей распределения перемеш ений в теле отодвинута на второй план. [c.743]

Поясним физический смысл компонентов матрицы 1Ф (6.14), входящей в представление (6.11), и компонентов матриц еФ и т. д. в представлении (6.15). Компонента 1ц, воздействующая на функцию Ф, — это с точностью до множителя, стоящего перед интегралом (6.11), перемещение точки (g, ф) поверхности оболочки в направлении г-й координаты от единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке (gi, фц) в направлении /-й координаты. Направления г, /=1, 2, 3 соответствуют координатам g, ф и нормали п соответственно. Симметричность матрицы 1 соответствует согласию с принципом взаимности перемещений. Аналогичный физический смысл имеют матрицы деформаций, удельных усилий и удельных моментов (6.17). Первый индекс обозначает наименование де- [c.260]

В случае малых деформац Й линейно и нелинейно упругих сред определяющие уравнения, как это следует йз термодинамики [46], должны удовлетворять соотношениям взаимности [c.24]

Коэффициентом пропорциональности между напряженностью электрического поля и деформацией g при отсутствии механических напряжений в кристалле (а==0) является тот же пьезомодуль. Равенства (3.92) и (3.93) дают соотношение взаимности для пьезоэлектрического преобразователя в элементарной форме [c.75]

При этом модуль упругости Ев следует определить в отсутствие поляризации (0 = 0) у а не поля, и диэлектрическую постоянную — в отсутствие деформации (5 = 0), а не механических напряжений. Параметр взаимности / также будет другой. [c.77]

В этом разделе понятие энергии деформации будет использовано для вывода теорем взаимности перемещений и взаимности работ. Эти теоремы взаимности полезны во многих случаях и играют важную роль при исследовании конструкций. Более того, они включают некоторые основные теоретические концепции, применимые ко всем линейно упругим конструкциям. [c.446]

Учитывая соотношения взаимности касательных напряжений (10.17) главы I и обозначения компонент скоростей деформаций (5.5) главы 1, будем иметь д [, [c.89]

Докажем теорему, имеющую важные приложения, а именно, теорему о взаимности работ, или теорему Бетти — по имени итальянского ученого, который первым ее опубликовал. Для этого рассмотрим какую-нибудь линейно деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам (рис. VII. 16). Для простоты выкладок рассмотрим простую балку, нагруженную в обоих состояниях самой простой нагрузкой (по одной сосредоточенной силе). Нагрузка, внутренние усилия и деформации, соответствующие этим двум состояниям, отмечены индексами 1 и 2. [c.155]

Таким образом, метод решения задачи термоупругости, основанный на теореме взаимности работ, заключается в том, что определение тепловых напряжений, деформаций и перемещений сводится к задаче изотермической теории упругости о напряженном состоянии упругого тела под действием единичной сосредоточенной силы. [c.49]

Теорему взаимности можно использовать также для определения деформаций и дилатаций, возникающих в результате действия на тело внешних сил. [c.539]

Теодолит магнитный 760, XIV., Теорема о взаимности деформаций 158, XIII. [c.493]

Для того чтобы разобраться в этом вопросе, мы рассмотрим удлинение того же самого элемента под действием растягивающего напряжения (рис. 32). Понятно, что вследствие изотропности мы получим только осевое и поперечное изменение длины. Перекосов, т. е. угловых деформаций, не возникнёт. Правая сторона не лучше левой, левая — не хуже правой. Теперь сопоставим две обобщенные силы. Напомню, что под обобщенной силой мы понимаем любую группу сил, характеризуемую одним параметром. Четверка касательных напряжений на рис. 31 характеризуется величиной Тжг, а обобщенная сила, показанная на рис. 32, характеризуется напряжением а - И еще напомню обобщенным перемещением для данной обобщенной силы мы называем множитель при этой силе в выражении работы. Здесь обобщенное перемещение пропорционально удлинению е, а на рис. 31 — пропорционально углу сдвига Ухг-И теперь нам остается вспомнить теорему взаимности работ. [c.41]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

Соотношение взаимности для коэффициентов Lis = L31 показывает, что влияние изменения поверхностного натяжения на дислокационный ток определяется степенью воздействия напряжения на скорость изменения площади поверхности. Если эта скорость невелика (малая скорость деформации), то и вклад поверхностных эффектов в уравнении (206) мал, т. е. на механические свойства металла в таком случае не оказывают заметного влияния изменения величины поверхностного натяжения, и наоборот. Это согласуется с существованием оптимальной скорости деформации для г1роявления эффекта адсорбционного понижения прочности по П. А. Ребиндеру [108]. [c.137]

Метод Майзеля [43] основан на обобщении теоремы о взаимности работ на случай статической и квазистатической задач теории утгругих температурных напряжений. Суть его заключается в том, что определение температурных напряжений, деформаций и перемещений сводится к задаче изотермической теории упругости о напряженном состоянии упругого тела под действием единичной сосредоточенной силы. [c.215]

Разрывы вектора поворота <о и вектора перемещения и на барьере определяются по формулам Вейнгартена через векторы дисторсии с и 6 компоненты их Вольтерра назвал постоянными барьера. Для двусвязного тела формулировка теоремы Кирх-гоффа должна быть дополнена требованием задания шести постоянных барьера если упругая среда заполняет двусвязный объем и ее деформация правильная, напряженное состояние в ней определяется заданием не только внешних сил, но и шести постоянных барьера. Это доказывается в п. 5.2 построением напряженного состояния в ненагруженном теле по заданию векторов с, Ь. Измененная формулировка теоремы взаимности в двусвязном теле дается в п. 5.3, а в пп. 5.4 и 5.5 приводится выра-жение потенциальной энергии деформации, определяемой наличием дисторсии. Краевая задача теории дисторсии сформулирована в п. 5.6. Примеры, относящиеся к задачам дисторсий в полом цилиндре, рассматриваются ниже, в п. 7.3 и гл. V. [c.198]

Понятие особенностей, определяемых силовым тензором, было использовано Лауричелла (1895) для представления компонент тензора деформации упругого тела через внешние силы. Вывод формул Лауричелла основан на применении теоремы взаимности Бетти к двум состояниям 1) первое состояние создается поверхностными силами F (при отсутствии объемных), причем через и, Т обозначаются вектор перемещения и тензор напряжения в этом состоянии 2) второе состояние и, Т задается а) действием в точке Q силового тензора, определяющего вектор перемещения и тензор напряжения Т и и б) наложением на это действие напряженного состояния Нг, Та снимающего нагружение поверхности О тела. Вектор перемещения в этом состоянии и тензор напряжения равны [c.212]

В заключение отметим, что формулы (1.122) были получены первым из авторов этой книги в 1944 году [124] и почти одновременно Л. И. Балабухом [3]. При этом Л. И. Балабух искал такой простейший вариант связи между усилиями, моментами и параметрами деформации срединной поверхности, который удовлетворял бы теореме взаимности, а также шестому уравнению равновесия, и нашел его путем подбора. Первый из авторов этой книги искал такой вариант той же связи, который, будучи наиболее простым, одновременно гарантировал бы при решении любой задачи теории оболочек погрешность, не превышающую погрешность исходных гипотез. Оказалось, что результаты этих двух различно направленных поисков совпадают. [c.52]

Максвелла соотношения взаимности 21,—функции напряжений 370 Максимальная деформация,—разность напряжений,—упругая энергия, максима тьное наиряжение, см. теории прочности Массовые силы 366,--фиктивные, имеющие потенциал 409, 482пп [c.667]

Даже беглого взгляда на оглавление достаточно, чтобы увидеть, какие темы освещаются в этой книге. Сюда входят и методы расчета элементов конструкций при продольном нагружении, кручении и изгибе, и основные понятия механики материалов (энергия преобразование напряжений и деформаций, неупругое деформирование и т. д.). К частным вопросам, интересующим инженеров, относятся влияние изменения температуры, поведение непризматических балок, большие прогибы балок, изгиб несимметричных балок, определение центра сдвига и многое другое. Наконец, последняя глава представляет собой введение в теорию расчета конструкций и энергетические методы, включая метод единичной нагрузки, теоремы взаимности, методы податливостей и жесткостей, теоремы об энергии деформации й потенциальной энергии, метод Рэлея — Ритца, теоремы о дополнительной энергии. Она может служить основой для дальнейшего изучения современной теории расчета конструкций. [c.9]

При доказательстве теоремы взаимнести работ будем использовать ту же идею об энергии деформации, что и при доказательстве теоремы взаимности перемещений. Если обе системы нагрузок Р и 2 прикладываются к телу одновременно, то полная энергия деформации (равная работе, совершаемой силами) составляет [c.452]

ДвойсгБ нно Ть представлений энергии деформации и дополнительной энергии служит основанием для некоторых исключительно мощных методов расчета конструкций. Эти методы применяются к исследованию как линейного, так и нелинейного поведения конструкций, и к ним относятся принцип возможной работы (уравне-ние (11.1)) и метод единичной нагрузки в его основной форме (см. уравнение (И.З)). Однако теоремы взаимности, метод податливости и метод жесткостей основываются на использовании способа наложения и, следовательно, применимы только к конструкциям с линейным поведением, В случае же метода единичной нагрузки исследование начиналось с вывода уравнения (11.3) для конструкций с нелинейным поведением, а затем как частный случай рассмат- [c.481]

В последнее время появились работы, в которых рассматривается сопряжение нескольких физических полей. В работах [9, 13, 20Ь—(1, 21, 22, 24, 29, 33, 35е— , 36, 45, 58а] рассмотрено совместное влияние температурного, магнитного и электрического полей и поля деформаций. В этом направлении получено много общих результатов определены основные уравнения магнитотермоупругости, сформулированы энергетические принципы, получены вариационное уравнение и теорема взаимности, рассмотре ны вопросы единственности решения уравнений, в некоторых задачах исследованы волновые процессы. [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...