Ортогональная траектория семейства

Направление роста кристаллита совпадает с направлением максимального теплоотвода, т. е. с нормалью к изотерме кристаллизации. Следовательно, ось кристаллита, определяющая форму и направление его границ, представляет собой ортогональную траекторию семейства изотерм плавления (см. рисунок). [c.448]

Дифференциальное уравнение ортогональной траектории семейства эллипсов (12.22) можно записать в виде [c.448]

Дифференциальное уравнение оси кристаллита как ортогональной траектории семейства изотер%1 получается исключением [c.448]

Волокна располагаются вдоль кривых, являющихся ортогональными траекториями семейств прямых. Следовательно, они располагаются вдоль параллельных (конгруэнтных) кривых] например прямых или концентрических окружностей. Расстояние между двумя кривыми одного семейства, измеряемое вдоль прямой нормальной линии, является одним и тем же для каждой нормальной линии. Таким образом, при любой кинематически допустимой деформации первоначально прямолинейные и параллельные волокна остаются параллельными, хотя и не прямолинейными. Расстояние между двумя волокнами остается таким же, каким оно было в недеформированном состоянии. [c.304]

Ортогональная траектория семейства кривых 271 [c.580]

Для удобства вывода уравнения оси кристаллита, как ортогональной траектории семейства изотерм, располагающихся в области охлаждения левее ММ, кривую МММ можно заменить дугой полуэллипса с полуосями ОМ и ОМ [c.524]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Лучевые свойства некоторого выделенного семейства механических траекторий ни в коем случае не являются тривиальными. Произвольное непрерывное семейство кривых в пространстве более чем двух измерений не может, вообще говоря, рассматриваться как семейство ортогональных траекторий по отношению к какому-нибудь семейству поверхностей. Аналитически лучевые свойства механических траекторий появляются лишь благодаря тому, что они подчиняются вариационным принципам. Без принципа наименьшего действия лучевые свойства механических траекторий не могли бы быть установлены. [c.306]

С ТОЙ же самой ситуацией, которая существует в оптике при изучении распространения света в оптически однородной среде. Оптические лучи являются прямыми линиями, т. е. кратчайшими линиями. Элементарные волны в построении Гюйгенса представляют собой сферы, причем не только в бесконечно малых, но п в конечных областях. Огибающие этих сфер, т. е. волновые поверхности, являются параллельными поверхностями, а оптические лучи—либо траектории механической системы — ортогональными траекториями для этого семейства параллельных поверхностей. Все это остается справедливым для произвольных оптических или механических систем при условии, что мы оперируем соответствующим образом определенным метрическим пространством. [c.329]

Ортогональная траектория пересекает кривые семейства под углом у =. [c.271]

Естественными называют ортогональные криволинейные координаты, в которых в качестве координатных линий выбираются линии тока и их ортогональные траектории (т. е. семейство линий, ортогональных к линиям тока). Если движение безвихревое,, т. е. существует потенциал скорости, то ортогональные траектории совпадают с эквипотенциальными линиями. [c.91]

Ортогональная траектория к семейству нормалей, если она замкнута, дает нам очертания контура С стержня. [c.128]

Резные поверхности впервые были исследованы Г. Монжем [7]. Плоскости геодезических линий кривизны резной поверхности огибаются некоторой торсовой поверхностью. Линии кривизны второго семейства являются ортогональными траекториями однопараметрического семейства касательных плоскостей торса. Геодезические линии кривизны резной поверхности называют меридианами, а их ортогональные траектории — параллелями. Если семейство плоскостей вырождается в пучок, то ортогональные траектории будут представлять собой окружности и резная поверхность будет поверхностью вращения. [c.213]

Рассмотрим прямую, проходящую через точку А перпендикулярно к направлению вектора касательного напряжения в этой точке. Вдоль прямой АВ в пластической области компонента напряжения, действующая по направлению, перпендикулярному к этой прямой, равна к, а компонента напряжения, направленная по прямой, равна нулю. Если построить траекторию, ортогональную к семейству полученных прямых, то компонента напряжения, действующая по нормали к этой ортогональной траектории, будет равна нулю. Следовательно на ней выполняется условие, которое должно иметь место на контуре, ограничивающем поперечное сечение стержня. Таким образом, если полученная ортогональная траектория будет замкнутой кривой, то она может быть контуром сечения некоторого стержня, подвергнутого упругопластическому кручению (рис. 3.4). [c.158]

Найдем ортогональную траекторию к семейству прямых, определяемых уравнением [c.159]

Простые примеры затухающих волн можно получить, рассматривая двумерные поля. Если задать семейство фазовых траекторий, то ортогональные траектории затухания определяются однозначно. Используя соответствующие ортогональные криволинейные координаты yi и V для обозначения двух семейств, имеем / =/ ( ) и / = 1 у). При этом уравнение (2.7.3) запишется в виде [c.78]

Уравнения (4), (5) можно рассматривать только локально, так как в них фигурируют производные по направлениям, а не частные производные по координатам. Введем координаты, связанные с линиями тока. Обозначим через ф семейство линий тока, а через (р — семейство их ортогональных траекторий. Тогда [c.17]

Рассмотрим плоское течение — потенциальное или вихревое (осесимметричное и общее трехмерное течение рассматриваются в 7, 8 этой главы.) Пусть (f — семейства линий тока и их ортогональных траекторий. (В потенциальном течении в качестве (р выбираем потенциал скорости.) [c.54]

В криволинейной системе координат, образованной семействами линий тока и их ортогональных траекторий р, система уравнений газовой динамики для плоского безвихревого течения идеального газа имеет вид (1.4), (1.5), (1.6) [c.125]

По уравнению (2) можно определить для каждой точки выпучивание 1 (перемещение вдоль оси). При правильном разделении на полоски все точки, долевое перемещение которых одинаково, должны лежать на ортогональных траекториях к семейству линий, ограничивающих полоски эти траектории совпадают с линиями направлений касательных напряжений (траектории касательных напряжений). [c.67]

Проведенные в лаборатории технологической прочности многочисленные исследования показали, что в подавляющем большинстве случаев в качестве расчетной схемы для определения среднестатистической формы и взаимного расположения кристаллитов можно принимать условие ортогональности осей кристаллитов к поверхностям семейств фронтов кристаллизации. Исходя из этого, уравнения пространственных осей кристаллитов находят как уравнения ортогональных траекторий к семейству поверхностей, образованному поступательным смещением поверхности фронта кристаллизации вдоль оси ОХ. На рнс. 3, а показаны из всего семейства три поверхности, смещенные на величину г. [c.236]

Если определить луч как ортогональную траекторию к семейству волновых фронтов, или семейству равных фаз (6.12), то взятие про- [c.45]

Выберем на S следующую систему координат в качестве координатных линий возьмем лучи, составляющие S, другую систему координатных линий составят ортогональные траектории к этому семейству лучей, т. е. волновые фронты на S. [c.151]

Схема кристаллизации сварных швов. Рост кристаллитов в сварном шве происходит нормально к фронту кристаллизации, т. е. к изотермической поверхности кристаллизации (ИПК), соответствующей Гпл. Поскольку при сварке сварочная ванна перемещается, то ось растущего кристаллита является ортогональной траекторией к семейству ИПК, смещенных по оси шва. Определенные трудности заключаются в математическом описании ИПК методами теории тепловых процессов при сварке. Для инженерных решений ИПК аппроксимируют уравнением эллипсоида с полуосями L, Р, Н, которые соответствуют длине затвердевающей задней части сварочной ванны, половине ее ширины и глубине проплавления [1]. В зависимости от схемы нагреваемого тела и типа источника теплоты ИПК может быть эллипсоидом с двумя равными полуосями (точечный источник на поверхности полубесконечного тела, Р = Я), эллиптической цилиндрической поверхностью (линейный источник по толщине листа, Н = 6) или частью фиктивного эллипсоида (точечный источник на поверхности плоского слоя, р<Р и hпроцесс кристаллизации и оси кристаллитов являются Пространственными кривыми. При этом поскольку поперечное сечение сварочной ванны является кругом (P = Я = L), то форма осей всех кристаллитов аналогична форме кристаллитов на ее [c.100]

Основные соотношения, характеризуюш,ие процесс кристаллизации шва, получены путем решения дифференциального уравнения ортогональной траектории к семейству изотерм кристаллизации эллиптического типа и использования выражений [c.101]

Эта теорема имеет следующий смысл. Представим себе семейство механических траекторий, каждая из которых соответствует одной и той же полной энергии Е и все они начинаются на некоторой заданной поверхности 5 = 0. Для этих траекторий можно найти бесконечное семейство поверхностей S = onst, к которым траектории будут перпендикулярны. Мы говорим, что механические траектории обладают свойством лучей , потому что они ведут себя точно так же, как лучи света в оптике. Световые лучи характеризуются тем, что они везде перпендикулярны волновым поверхностям (фронту волны). То же самое справедливо для механических траекторий консервативной системы их можно рассматривать как ортогональные траектории семейства поверхностей S= onst. [c.305]

Из п поверхностей, пересечение которых определяет согласно (17) точку Q, все, кроме первой, закреплены (только первое из равенств (17) содержит время). Линия пересечения п — 1 закрепленных поверхностей определяет траекторию точки Q. Как нетрудно показать, эта линия пересечения является ортогональной траекторией семейства поверхностей W = onst. Функция W, по исходному предположению, удовлетворяет уравнению Гамильтона (Г) тождественно по Oj, .. ., а . Если продифференцировать теперь уравнение Гамильтона по (/с = 2, 3,. . ., п), то станет видно, что нормаль к [c.689]

Поэтому сетка ортогональных траекторий главных напряжений при чистом сдвиге, вызванном крутящим моментом Л4кр. обратится в сетку двух семейств винтовых линий (рис. 6.7), наклоненных на угол 45° к образующей трубы. [c.151]

Так как волокно Y = D после деформации совпадает с известной кривой, можно сразу построить перпендикулярные к нему прямые нормальные линии. В соответствующим образом выбранной полярной системе координат это будут радиальные прямые 0 = onst. Остальные волокна направлены вдоль ортогональных траекторий данного семейства нормальных линий и, следовательно, расположены на концентрических окружностях. Поскольку расстояние между любыми двумя волокнами после деформации должно быть тем же, что и до деформации, волокно У = onst лежит на окружности радиуса [c.305]

Поскольку импульс Р = т имеет направление касательной к траектории, мы получаем следующую теорему механическая траектория движущейся точки перпендикулярна поверхностям S = onst. При помощи этой теоремы, строя ортогональные траектории к поверхностям S= ons,i, получаем семейство возможных механических траекторий. [c.305]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Ряд материальных точек, не оказывающих никакого действия друг на друга, брошены в консервативном силовом поле нормально к заданной поверхности с одной и той же полной энергией Доказать, что их траектории будут ортогональны к семейству поверхностей равного действия и что скорости, с которыми точки пересекают эти поверхноови, обратно пропорциональны расстояниям между последовательными поверхностями. [c.290]

Волновая теория делает теорему Малюса очевидной, ибо любое семейство волновых поверхностей имеет ортогональные траектории, которые и являются лучами. Это означает, что теорема Малюса заключена в скрытом виде в волновой теории света. Гамильтон залгечает по этому поводу ... более всего удивительно, что важная и оспаривавшаяся теорема была открыта и как нечто обыкновенное употреблялась Гюйгенсом более чем сто лет назад и затем была так полно забыта ). [c.806]

В области, где ar tga < в < тг/2, поверхности в = onst, равномерно заполняющие объем вне тела, и можно взять за поверхности второго семейства. Третье семейство найдем, составив уравнение ортогональных траекторий к семейству поверхностей (4.1). Окончательно оно определится равенством [c.258]

Таккак диференциальное уравнениеДФ -О является од овреме11но и уравнением электрического потенциала, то форму линий тока рассматриваемого течения в первый момент его возникновения легко получить эксперимен-тальн1ям путем, если включить в электриче-скую цепь достаточно большой кусок листового железа, вырезанный так, как это показано на фиг. 118. При этом только необходимо края листа заправить в хорошо проводящие полосы, чтобы этим обеспечить постоянное напряжение вдоль краев листа. При помощи измерения соответствующим инструментом напряжений в отдельных местах этого листа можно определить кривые равного потенциала, а затем вычертить семейство ортогональных траекторий, которое и будет спектром линий тока. [c.162]

Преобразуем первое уравнение (3). Из дифференциальной геометрии известно, что (11уП1 = + Х2, где Х1, Х2 — кривизна взаимно ортогональных кривых на поверхности, ортогональной полю П1, причем выбор этих кривых произволен. (В плоском и осесимметричном течении эта поверхность существует, так как существует семейство ортогональных траекторий к линиям тока.) Итак, [c.16]

Ортогональныетраектории данного семейства пересекают все кривые его под прямым углом. Если семейство кривых дано ур-ием Е (х, у, у )==0, то ур-ие семейства его ортогональных траекторий будет F х, О [c.255]

Технрхчески важное значение ортогональных траекторий-видно уже из того, что к ним принадлежат семейства силовых линий и линий уровня плоского силового поля, почему мы встречаемся с ними при изучении напр, плоского течения жидкости, плоского магнитного и электрич. полей и т. д. Семейство поверхностей Ф х, у, Z, с) = О, зависящих от одного параметра с, имеет два типа огибающих 1-й тип— поверхность, образованная характеристиками. Ур-ие ее является результатом и ключения с из системы ур-ий [c.255]

Условие текучести (2.03), выражающее, что максимальное касательное напряжение постоянно, представится в таком же виде, если считать, что k = aJ2. Поверхности скольжения одного семейства будут цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны оси z, а другого семейства — плоскостями z = onst. Линии пересечения указанных цилиндрических поверхностей с плоскостями Z = onst называются линиями скольжения. Последние будут ортогональны траекториям касательного напряжения — линиям, касательные к которым в каждой точке имеют направление вектора напряжения. [c.134]

Слои векторного ноля п составляются из векторных линий ноля rot п следующим образом сначала выбирается поверхность, так чтобы векторы п касались ее в каждой точке, затем па этой поверхности строится семейство траекторий, ортогональных векторам п, и из каждой точки ортогональной траектории выпускаются векторные лпнпп поля rot п, образуя слой векторного поля п. [c.447]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...