Поверхность лагранжева

В процессе деформирования пластины лагранжевы координатные оси Оа, 2 меняют свою ориентацию, будучи жестко связанными с материальными точками пластины (см. 5.1). Пусть в деформированном состоянии орты осей Oai и Оа есть и т, которые выражаются через о, 2 о и т . Наиболее просто эту связь можно получить из геометрических построений. Предположим, что вращение малого элемента ASq срединной плоскости вокруг оси z мало, что следует из малости деформаций срединной поверхности. Рассечем поверхность So плоскостью Ога . Получим картину, изображенную на рис. 16.6, а, из которой в силу малости Wi и (Oj [c.371]

В своей названной работе (в статье 18) Гаусс выводит уравнение (40.4) из принципа кратчайшего пути. Здесь нам хотелось лишь указать на то, что гауссов метод криволинейных координат на поверхности (40.2) совпадает с лагранжевым методом механики системы. Оба метода инвариантны по отношению к любому преобразованию координат и зависят только от внутренних свойств поверхностей или, соответственно, механических систем. [c.287]

Сферический маятник. Материальная точка Р скользит под действием силы тяжести по гладкой поверхности сферы радиуса а с центром в точке О. В качестве лагранжевых координат выберем полярные углы 0, Ф, где 0 — угол между вектором ОР и направленной вверх вертикальной осью Oz, а ф — азимутальный угол между плоскостью POz и координатной плоскостью xOz. В данном случае [c.60]

Рассмотрим двойной маятник, составленный из двух стержней АВ, ВС, соединенных вместе в точке В, и свободно подвешенный в неподвижной точке А. Такая система может совершать движение в вертикальной плоскости, проходящей через точку А. (Вместо двух стержней мы могли бы взять легкую струну AB , подвешенную в неподвижной точке А, с массивными грузами в точках В и С.) В качестве лагранжевых координат возьмем углы 0 и ф, которые стержни АВ и ВС составляют с направленной вниз вертикалью. Пространство конфигураций такой системы гомеоморфно поверхности тора при этом 0 играет роль азимутального угла, а ф — углового перемещения в круговом поперечном сечении, отсчитываемого от центральной плоскости тора. [c.556]

Возьмем на различных траекториях те точки, для которых гамильтоново действие в момент времени i имеет то же значение 5, как в точке А. Тогда (98) показывает, что для всех этих точек лагранжево действие будет одинаково 5 -р Ш. Следовательно, точки равных значений гамильтонова действия в данный момент времени будут покрывать поверхность равного лагранжева действия. Это имеет место для всех моментов времени и для всех точек на траектории. [c.875]

Таким образом, поверхности равного гамильтонова действия 5 совпадают во всякий момент времени с поверхностями равного лагранжева действия V. [c.875]

Полные функционалы лагранжевой серии с разрывными полями. Вводя в функционал Лагранжа 5л1 — Эпв (табл. 3.7) с множителями Лагранжа все дополнительные условия, в том числе и условие отсутствия кинематических разрывов на поверхности D, [c.92]

Следуя лагранжеву подходу, выделим в теле до деформации бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, ограниченный шестью поверхностями [c.472]

Функции, задающие обратное преобразование (от эйлеровых координат к лагранжевым), обозначим Ф и 4 х =Ф (Х ), g a(xa ). Для определения восьми неизвестных (2.6), (2.7) помимо шести уравнений равновесия (по три для каждой оболочки ) служат два условия контакта. Первое из них выражает тот факт, что в области контакта обе оболочки лежат на одной поверхности в пространстве, т. е. возвышение У — одна и та же функция эйлеровых координат для обеих оболочек [c.134]

Формулы для отсчетной конфигурации оболочки с некоторой опорной поверхностью п, на которой введены лагранжевы координаты х , получаются из (2.8) при Л > О и заменой прописных букв на -строчные. [c.135]

Классификация поверхностей разрыва была дана Адамаром [9], который ввел понятие порядка поверхности разрыва исходя из лагранжева способа изучения движения жидкой среды. Как известно, разрыв будет иметь порядок ш, если [c.213]

Вначале рассмотрим представление виртуальной работы с5П в форме (3.2.2). Принятые допущения о малости удлинений и сдвигов по сравнению с единицей позволяют отождествить объемы, площади, линейные размеры элементов тела оболочки с соответствующими величинами после деформации. Из (3.2.3) видно, что в этом случае допустимо отождествление обобщенных напряжений с истинными напряжениями ст - в лагранжевых переменных. Принимая во внимание эти упрощения, учитывая отсутствие обжатия нормали и представляя, согласно (1.1.31), сдвиговые поперечные деформации компонентами в базисе г , отсчетной поверхности Q, приходим к следующему выражению для виртуальной работы (5П внутренних сил [c.49]

За лагранжевы (материальные) переменные примем гауссовы ко -ординаты на срединной поверхности оболочки и нормальную [c.53]

Рассмотрим нелинейные деформации произвольной оболочки [87] с учетом сдвига и изменения толщины оболочки при деформировании (обобщенная модель Тимошенко). Лагранжевы координаты 0а, а = 1, 2, введем на срединной или отсчетной поверхности St, радиус-вектор R(0i, 02, t) будет определять ее положение в пространстве. Лагранжеву координату 0з введем вдоль нормали п в начальном положении срединной поверхности, а в текущий момент времени t ей будет соответствовать направление вектора Т(01, 02, t). Тогда положение оболочки с координатами в t = = 1, 2, 3, выразится радиус-вектором [c.46]

Рассмотрим плоскую пластину толщиной h, срединная поверхность которой определяется в начальном состоянии векторами А] = в], Аг = ег материальный вектор у при t = to совпадает с ез. Для упрощения вида уравнений будем рассматривать деформирование пластины в плоскости ei, ез, полагая лагранжеву координату О2, введенную по направлению ег, неизменной. Обозначая через Oi лагранжеву координату вдоль направления ei, будем иметь [c.51]

Мощность внутренних сил волокон или волокнистой ткани, расположенной вдоль материальных поверхностей с лагранжевыми координатами 0i, 02 и объемным содержанием фе = 1 — 1)е, в дискретном элементе определяется выражением [c.142]

Проведем разбиение плоской панели на дискретные элементы в виде прямоугольных параллелепипедов с размерами (Аа )е, (Аг/)е, (Az)e = hg. Пологую панель можно разбить на дискретные элементы аналогично, используя сечения, параллельные срединной поверхности и двум координатным плоскостям xz, yz. При деформировании лагранжевы координаты 0i, 02 будем полагать совпадающими с координатами х, у, считая деформации в плоскости ху малыми, и учитывать квадратичную нелинейность, связанную с конечным прогибом панели и произвольным сжатием элементов по толщине. [c.144]

Отличие акустических радиационных сил от электромагнитных заключается не только в том, что уравнения гидродинамики нелинейны, но также и в том, что в акустическом случае ореда и поверхность препятствия, вообще говоря, совершают колебания под действием волны, в то время как в электродинамике типичным является случай, когда среда или поверхность препятствия неподвижны. Поэтому при рассмотрении акустического радиационного давления существенным является вопрос о том, в каких координатах определяется давление. Как всегда, радиационные силы в эйлеровой системе координат — постоянные силы, действующие на поверхность или объем, фиксированный относительно неподвижного пространства. Радиационные силы в лагранжевой системе координат — постоянные силы, действующие на поверхность или объ- [c.178]

Здесь Vo — оператор Гамильтона, и, q, п — векторы перемещений, напряжений и внешней нормали к поверхности среды соответственно, определенные в лагранжевой системе координат, ро — плотность материала среды. [c.44]

Касательные потоки. Пусть в формуле (1) п. 11.60 точка Zo обозначает точку свободной поверхности. При этом предполагается, что движение установившееся. Определим лагранжеву координату а частицы, находящейся на поверхности, из того условия, что —а является временем, в которое частица занимает положение zo. Чтобы перейти от положения Z, к Z, для всех частиц требуется одно и то же время Р при установившемся движении. Следовательно, функция z=f(a, р —а) не должна зависеть от а для каждого р. Отсюда [c.292]

Применим теперь лагранжевы дифференциальные уравнения гидродинамики к некоторым движениям несжимаемой жидкости, на частицы которой действуют силы, а на свободную поверхность производится постоянное давление. Первым расс.мотренны.м случаем будет тот, когда в тяжелой жидкости известны.м образом распространяются волны конечной высоты. Положим опять плотность равной единице, выберем ось 2 направленной вниз по вертикали и предположим, что движение всюду происходит параллельно плоскости хОг. Тогда, если положим Ь = у, уравнения (7) пятнадцатой лекции дадут [c.297]

Интересно отметить, что при ином выборе лагранжевых координат в данной задаче можно добиться фактического равенства линейных элементов пространства конфигураций и его тонологического эквивалента — поверхности цилиндра. Имеем [c.555]

Однако лгежду этими поверхностями существует одно существенное и важное различие. Поверхность равного лагранжева действия есть фиксированная поверхность, которая не меняет своего положения с течением времени. Что же касается поверхности равного гамильтонова действия, то она не остается фиксированной, так как мы видели, что величина гамильтонова действия в какой-либо фиксированной точке меняется с течением времени. [c.875]

Лагранжев случай движения весомого твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Симметричный гироскоп. Пусть весомое твёрдое тело S движется вокруг неподвижного полюса О, для которого эллипсоид инерции тела является поверхностью вращения. Пусть при этом центр масс тела лежит на оси вращения эллипсоида инерции, или, как говорят, на динамической оси симметрии тела ( 252). Этот случай движения тела носит название лагранжева случая движения весомого твёрдого тела, а само тело называется HMMeTpH iHbiM весомым гироскопом. Уравнения движения (46.21) на стр. 513 для названного случая примут вид [c.553]

Число п называется числом степеней свободы системы (для понимания дальнейшего достаточно представить себе двумерную поверхность в трехмерном пространстве Л =1, г=1, т. е. ограничиться движением точки по нешероховатой поверхности, о котором уже говорилось в теме 5). Локальные координаты на многообразии положений имеют специальное название — определяющие координаты (говорят также лагранжевы , или обобщенные координаты ). Смысл термина в том, что расположение системы точек rrii в пространстве однозначно определяется п величинами (фактически мы имеем частный случай (9)) [c.92]

Рессмотрим паракетризацию треугольных злементов. Наиболее часто используется Лагранжева интерполяция ректора г по заданным его Ж узловым значениям (координатак поверхности), принадлежащим данному элементу. Как упоминалось выше, в этом случае получаем гладкость лишь Причем, чаше всего огра- [c.87]

Выражения для деформаций-. Таким образом, получены точные в рамках ограничений, налагаемых гипотезой Кирхгофа — Лява, выражения для координат в произвольного вида фиксированной системе прямоугольных координат трех произвольных точек, расположенных на одинаковом расстоянии от верхней и нижней поверхностей оболочки и отличающихся только малыми изменениями координат аир. Координаты начальных положений этих точек можно найти из выражений, J[oлyчeнныx для координат при смещенном положении, если положить ц = у = ш = 0. Из этих значений легко вычисляются лагранжевы деформации (т. . деформации в точке и в направлении, связанных с оболочкой) для произвольной точки О, лежащей в цлоскости, определяемой тремя точк 1ми. [c.399]

Если отвлечься от уравнений (1.8), то можно заметить, что компоненты пе )емещеиия участвуют в указанной системе уравнений только тогда, когда составляющие внешних нагрузок F , F зависят от перемещений (или их производных по координатам). Эта зависимость отсутствует, например, в практически важном случае нормального к поверхности О давления, заданного как функция лагранжевых координат и времени. [c.129]

Таким образом, мы пришли к выводу, что любая корректировка лагранжевых координат построенная на них как Ка основном решении (1.2.216), в области движения композитной среды не приводит к необходимости построошя новых полей скоростей в областях движения каждой составляющей такой среды. Физически это объясняется тем, что корректировка в (1.2.216) предполагает отсутствие разрьшов кинзк(атических параметров на поверхности 5оф, разделяющш а- и р-среды. Однако в реальных условиях в общем случае такие разрывы допустимы. В этом случае скорректированные лагранжевы координаты в областях fip следует представлять в виде [c.83]

Достаточно простым и эффективным способом феноменологического моделирования процесса разрушения как для однородных материалов, так и для компонентов КМ с учетом их взаимодействия при реализации явных схем расчета являются корректировка напряжений в расчетных ячейках или дискретных элементах при превышении напряжений, деформаций или их комбинаций заданных предельных значений и последующее изменение жесткостных соотношений между приращениями деформаций п напряжений. Некоторые варианты таких способов моделирования разрушения в однородных материалах приведены в работах [100, 109, 136]. Образование в теле несплошностей или трещин требует использовать в расчетах трудоемкие алгоритмы перестройки сетки [52, 53] с выделением способных поверхностей и отслеживанием взаимного расположения границ образовавшихся пустот. Существенное упрощение таких алгоритмов достигается включением в расчет разрушенных элементов , которые представляют собой дискретные элементы или лагранжевы ячейки из материала с измененными (ослабленными) жесткостными свойствами. При этом не возникает необходимости в перестройке сетки и выделении свободных поверхностей. Описание разрушенного материала может быть проведено на континуальном уровне путем включения в определяющие соотношения — закона связи между напряжениями, деформациями и их приращениями — дополнительных параметров плотности, пористости, микроповрежденпп и других феноменологических величин, изменение которых задается функциональной связью, полученной в результате обработки экспериментальных данных, например по откольному разрушению [9, 19, 34, 50, 61, 70, 108, 153, 155-157, 187, 210]. К этим вопросам примыкают исследование и разработка моделей пористых материалов [108, 185, 211, 212], например, для определения зависимости давления от плотности и пористости, модуля сдвига и предела текучести от величины пористости материала. [c.30]

В [61] для задач импульсного деформирования упругопластических тел предложена модель, учитывающая изотропное вязкое разрушение металлов путем введения внутреннего параметра — объема микропор [210]. При расчете вводятся подвижные координатные сеткп и применяется конечно-разностная схема переменного порядка аппроксимации ( гибридная схема). В качестве критерия макрйразрушения [61] предлагается использовать некоторую предельную величину объема микродефектов в единице объема материала, при достижении которой в окрестности расчетной точки среды строится новая лагранжева сетка с двойным узлом и выделением свободной поверхности вдоль направле-ння площадки действия максимального главного направления. Сходная кинетическая модель, основанная на учете изолирован- [c.30]

Рассмотрим нелинейные осесимметричные диформации оболочек вращения. Введем лагранжевы координаты 0] — вдоль меридиана, О2 — вдоль параллелей но срединной поверхности оболочки Si. В текущий момент времени лагранжевый базис в касательной плоскости к St обозначим Аа, а = 1, 2. Третью координату 9з введем вдоль нормали п к поверхности Si (9з в общем случае не являются лаграпжевой координатой, например, для гипотез типа Тимошенко), 0з изменяется 01—HI2 до Я/2, где 7/(01, t)—текущая толщина оболочки, определяемая, например, из условия несжимаемости [91]. Рассматривая оболочку как [c.42]

Решение задачи осуществляется с использованием цилинд >и ских лагранжевых координат МКЭ. В случае незначительного искажершя меридионального сечения изменение геометрии при решении задачи теплопроводности может не учитываться. Задача теплопроводности может быть связана с задачей механики сплошной среды только через перемещения, определяющие новую геометрию области, а также граничные условия теплообмена на контактных поверхностях, которые определяются из решения контактной задачи. Задача механики сплошной среды ис1юльзует информацию температурной задачи в виде температурного поля, через которое определяются температурные деформации и свойства материала, зависящие от температуры. Для учета взаимовлияния задач друг на друга необходимо осуществить итерационный процесс, в ходе которого уточняется решение. Указанная постановка задач реализована в виде комплекса программ KROK составленных на языке PL/1 и ориентированных на машины серии ЕС. [c.90]

Течения возникают не только у неподвижных препятствий, помещенных в звуковое поле, но также и около колеблющихся с конечной амплитудой тел. Это будет видно далее на примере эккартовского потока. Это также следует из теоремы Вестервельта [18, 19], согласно которой скорость стационарного потока в лагранжевых координатах вблизи колеблющихся тел инвариантна относительно преобразований координат, приводящих к тому, что в новой системе координат поверхность тела неподвижна, а колебания совершает жидкость. Теорема Вестервельта справедлива для несжимаемого акустическою течения [c.221]

Долго разговаривали с prof. L. . Wellford. Он занимается близкими мне вопросами. В частности, методом конечных элементов решает задачи в постановке совместного эйлер-лагранжевого способа. Правда, для свободной поверхности. Поэтому мало что остается от лагранжевой поверхности. В другой работе он применяет уже преобразования координат, наподобие последних наших работ. Кроме того, есть процедура вычислений дробных ячеек. Обсуждения с ним были полезны для обоих. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...