Возмущения в нулевом приближении

Поскольку твердые тела состоят из громадного числа частиц (электронов и ядер атомов), то возможно только приближенное квантовомеханическое описание таких систем. Основным приближением, используемым в теории твердого тела, является адиабатическое. Оно базируется на малости массы электрона т по сравнению с массами М ядер атомов. Отношение т/М 10 , поэтому в операторе энергии кристалла оператор кинетической энергии ядер является малым возмущением. В нулевом приближении можно считать, что электроны движутся в поле неподвиж- ных ядер, занимающих определенные положения в пространстве. [c.9]

В заключение отметим, что точно также методом теории возмущений можно найти уточненные поправки к температуре твэла, учитывая изменения коэффициента теплоотдачи от а до а. В рассматриваемой задаче этот случай достаточно тривиален ввиду постоянства а по периметру твэла. Гораздо более интересен для практики случай учета методом теории возмуще.чий азимутальной зависимости коэффициента теплоотдачи a (/"s, ф) вместо постоянного значения d(rs) в нулевом приближении [c.66]

B>Q,y,>k Qнулевом приближении компоненты е,,, е,, тензора скоростей деформации постоянны, а =6,, =0. Последующие приближения обусловлены двумерным автомодельным возмущением гидродинамического и теплового полей, причем параметр возмущения г однозначно связан с нелинейными свойствами жидкости (2.46). [c.70]

Предположим, что члены с источниками шума в уравнениях (9.3.1) можно считать малыми возмущениями. Тогда в нулевом приближении эволюция системы описывается [c.242]

Широко известный метод возмущений сводится к приближенному нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы где — невозмущенная матрица — матрица возмущения б — малый параметр возмущения. Собственные векторы и собственные значения матрицы М ищутся в виде разложений по малому параметру 6, причем в нулевом приближении собственные векторы и собственные значения совпадают с решениями для невозмущенной матрицы. [c.159]

Энергетический спектр изотропного ферромагнетика при малых возбуждениях. В приближении малого числа возбуждений fx fxn)< l) оператор (17.24) можно рассматривать как возмущение. Тогда в нулевом приближении энергетический спектр спиновых возбуждений определяется оператором [c.108]

Приближение почти свободных электронов. Предположим, что в уравнении Шредингера, определяющем одноэлектронные состояния, периодический потенциал W имеет малую амплитуду, тогда его можно учесть методами теории возмущений. В нулевом [c.134]

Существует также альтернативный подход, который был недавно разработан и должен быть, по-видимому, применим как к изоляторам, так и к валентным кристаллам. Этот подход, естественно, вытекает из теории псевдопотеициалов для переходных металлов, о которой мы уже говорили раньше. Мы строили волновые функции зоны проводимости с помощью теории возмущений в одноволновом OPW приближении. Однако, суммируя OPW и проходя через резонанс, мы для каждого из присутствующих резонансов опускали по одному члену. Затем мы возвращались к этим неучтенным состояниям, выражая их в нулевом приближении через линейную комбинацию атомных орбиталей (сильно связанных состояний) и затем подмешивая к ним по теории возмущений плоские волны. В точности тот же подход, которым мы пользовались для определения состояний d-типа, может быть, по-видимому, непосредственно применим и к валентным состояниям в изоляторах и полупроводниках. На самом деле в последнем случае задача существенно упрощается, так как плоские волны, которые мы должны добавить, отвечают энергиям в нулевом порядке, значительно отличающимся [c.501]

Мы видим, что в нулевом приближении (по параметру малости o) поля малых возмущений гидродинамических элементов потока распадаются уже на три не взаимодействующих между собой компоненты. Этими компонентами являются вихревая несжимаемая компонента, описываемая полем вихря /(J ). не меняющимся во времени (или переносящимся без изменений невозмущенной скоростью и), энтропийная компонента, описываемая также неподвижным (или перемещающимся со скоростью ) полем энтропии S(x), созданным первоначальными неоднородностями поля температуры, и потенциальная (или акустическая) компонента, связанная с пульсациями потенциальной части поля скорости и пульсациями давления и представляющая собой совокупность волн, распространяющихся с невозмущенной скоростью звука ао. [c.73]

Как и для рассеяния на дискретных препятствиях, придется еще наложить условие малости рассеянного поля по сравнению с первичным. Тогда рассеянное поле можно найти методом малых возмущений. За нулевое приближение примем первичную волну в однородной среде, а рассеянную волну будем считать поправкой первого порядка. Для этой поправки можно написать приближенные уравнения мы увидим, что они отличаются от уравнений нулевого приближения только наличием правой части, зависящей как от первичной волны, так и от неоднородностей среды. Правые части уравнений можно рассматривать как сторонние воздействия — сторонние силы и сторонние объемные скорости. В результате задачу о рассеянии удается свести к задаче об излучении в однородной среде. [c.375]

Рассмотрим случай возмущенной линейной системы (1.1) когда в нулевом приближении [c.164]

Решение для статического случая можно найти методом Швингера [363], с одновременным построением схемы возмущения. Следует заметить, что в (55.33) используется разложение для получения нулевого приближения (статика). Схема возмущения не потребует дальнейших разложения Fn или р . [c.447]

Обратим внимание, что поправки к частоте в первом приближении зависят от гармоники возмущения с номером 2п. Это, в свою очередь, дает основания предполагать, что на изменение частот наиболее существенно влияет именно эта гармоника возмущения. Нулевая гармоника возмущения цо не нарушает строгой поворотной симметрии и ее влияние на частоты тривиально. [c.130]

Если в качестве нулевого приближения выбрать гамильтониан невзаимодействующих частиц как это делается в обычной теории возмущений, то оператор взаимодействия Жп даёт при V-f o асимптотически малый вклад (в пределе равный нулю) во всех приближениях термодинамической теории возмущений. Это позволяет ещё более [c.282]

Решение уравнения (1.18) в форме ряда (1.19) удобно своей простотой для проведения конкретных расчетов. Однако оно не дает возможности установить вид зависимости решения от параметра . Чтобы проанализировать искомую зависимость, можно воспользоваться методом возмущений. При = О решение г = О удовлетворяет граничным условиям и уравнению (1.18). Если принять его за нулевое приближение решения при О, то можно вычислить все интегралы Li. В результате уравнение (1.18) становится дифференциальным и для малых (р сводится к уравнению Эйлера третьего порядка. Решение последнего содержит члены вида ехр( / 1п ( ), свидетельствующие о неаналитическом характере зависимости от . Подстановка этого решения в (1.17) позволяет установить, что члены 1 и 2 соответствуют приведенным выше оценкам. [c.268]

В связи с малостью затухания эрмитова часть Д. п. EapS eap, поэтому найти собственные колебания плазмы можно методом теории возмущений. В нулевом приближении в подставляется е р, а в след, приближении, учитывая ортогональность собственных векторов эрмитовой задачи О, находится декремент затухания с помо1ЦЬЮ ф-лы [c.700]

Можно, однако, воспользоваться результатами приближения среднего или сильного поля, применив при расчете возмущения (Укр в первом случае и Уее во втором случае) вариант теории возмущений для группы близких уровней , известный под названием учет взаимодействия термов (для двух близких уровней см. теорию, например, в [37, стр. 198]). Этот вариант применим в случае, когда расщепления, вызываемые возмущением, сравнимы с интервалами между уровнями группы близких уровне (в нашем случае под такой группой следует понимать все уровни конфигурации d"), но малы но сравнению с интервалами до уровней других групп (других конфигураций) . В этом варианте теории возмущений в нулевом приближении можно исходить из приближения сильного поля [11—16, 20, 38, 39], либо из приближения среднего поля [19, 20, 40—43]. Оба способа эквивалентны, либо отличаются друг от друга лишь разным выбором (в пределах одноконфигурационного пространства функций 3d") полной [c.12]

Существенно отметить, что возможные значения общей функции (3), описывающие состояния двух электронов, выражаются как через антисимметричные, так и через симметричные решения и уравнения Шредин-гера, взятого в нулевом приближении. Из этого получается следующий важный вывод. В первом приближении, когда мы учтем взаимную потенциальную энергию электронов как малое возмущение, мы должны будем, [c.158]

Теперь рассмотрим подробнее возмущения, возникающие за счет различных членов гамильтониана. Каждый из таких членов отвечает связи между определенными степенями свободы, которые в нулевом приближении разделены. Члены, связывающие электронные координаты с вращательными и (или) колебательными координатами, приводят к нарушению приближения Борна— Оппенгеймера члены, связывающие колебательные и вращательные координаты, дают колебательно-вращательные взаимодействия члены, связывающие ядерные спины с другими степенями свободы, могут привести к так называемому ортопара смешиванию. Ниже дается анализ этих взаимодействий с использованием типов точной симметрии, а также базисных типов симметрии и типов приближенной симметрии. При первом чтении настоящей главы, вероятно, лучше опустить этот анализ н сразу перейти к разделу, посвященному оптическим правилам отбора. [c.323]

Заметим, что такая упрощенная схема определения возмущений первого порядка хотя внешне и похожа на схему вычисления возмущений кеплеровых элементов, но существенно отличается от последней. Действительно, во-первых, в случае кеплеровых элементов все величины а, е, I, (О, Q и Мд в нулевом приближении постоянны, в то время как в нашем случае только неугловые элементы являются постоянными, а угловые суть линейные функции независимой переменной. Во-вторых, при использовании элементов промежуточной орбиты параметр у имеет порядок 10 и выше, а в уравнениях для кеплеровых элементов у 10 . [c.146]

Итак, мы выполнили поставленную задачу — записали гамильтониан для электронов и фононов в представлении вторичного квантования. В большинстве приложений мы будем считать, что в нулевом приближении электроны и фононы не взаимодействуют, а элек-трон-фононное взаимодействие будем рассматривать как возмущение. [c.464]

Действие возмущения, обусловленного межмолекулярным взаимодействием (его мы будем описывать средним электрическим потенциалом У), проявляется в частичном или полном снятии этого вмрождения и в ввдо-ишмененяи формы вращательных волновых функций, которые описывают ориентацию молекулы. Если энергия возмущения V много меньше разности между энергиями различныж вращательных состояний свободной молекулы, то в нулевом приближении собственные функции будут заменяться 2/ + 1 линейными комбинациями [c.211]

В нулевом приближении (1.30) волны, падающие на границу среды, распространяются как бы в отсутствие нелинейности. В следующем приближении (1.31) в результате возбуждения волн нелинейной поляризации в среде изменяются поля на тех же частотах (эффект самовоздействия), возникают новые поля на комбинационных частотах (эффект взаимодействия). Видно, что при реализации метода возмущений приходится последовательно решать линейные уравнения Гельмгольца, в правых частях которых стоят поля, вычисленные в предыдущем приближении. Это несомненное преимущество метода. Однако этот метод хорошо работает, когда цоправки к нулевому приближению малы, т. е. возбуждаемые в среде волны малы по амплитуде по сравнению с амплитудами падающих волн, и можно ограничиться двумя первыми приближениями. Поэтому метод возмущений в форме (1.28) практически не позволяет исследовать эффекты самовоздействия, процесс генерации гармоник при большой перекачке энергии и т. д. В этих и подобных им случаях применяется другой метод, который в определенном смысле также можно назвать методом возмущений, но совершенно другого рода. [c.164]

Инвариантность централизованной системы относительно однопараметрической группы (1.17) можно принять в качестве ее определения и сформулировать полученный результат следующим образомг алгоритм асимптотической декомпозицрш ставит в соответствие возмущенной системе (1.4) в качестве эталонной системы централизованную (1.15) централизованная система инвариантна относительно однопараметрической группы преобразований (1.17), в то время как возмущенная система инвариантна относительно этой группы лишь в нулевом приближении. [c.96]

Во втором методе, предложенном Бриллюэнолг, потенциальная энергия ионов решетки рассматривается как малое возмущение, а в качестве набора волновых функций нулевого приближения берутся плоские волны де-Бройля, являющиеся решением волнового уравнения для свободных электронов (ириближение слабо связанных электронов). Энергия электрона зависит теперь не только от величины волнового вектора, как в соотношении (8.6), но и от его направления. При таком рассмотрении также получаются интервалы энергий, не содержащие собственных значений ( запрещенные зоны ). Возникновение запрещенных зон является следствием наличия разрывов функции, описывающей зависимость энергии от имиульса. Эти разрывы объясняются тем, что через кристалл не могут распространяться электронные волны, волновой вектор которых удовлетворяет условию Брэгга. [c.324]

Теперь решим эту же задачу методом теории возмуш,ений, отправляясь от нулевого приближения для температуры (2.110), соответствуюш,ей допущению Х= onst. Будем считать возмущением отклонение истинного значения коэффициента теплопроводности Л (г) в каждой точке цилиндрического твэла от постоянного значения Я, т. е. [c.62]

Следует здесь упомянуть еще о применении теории возмущений, связанном с проблемой регулирования тепловых процессов. Как известно, важное значение при разработке этой проблемы имеет исследование устойчивости объекта регулирования при малых и больших возмущениях параметров системы (так называемая устойчивость в малом и больщом [15]). Нам представляется, что полученные в настоящей работе формулы теории возмущений весьма подходят для исследования устойчивости объекта регулирования, при этом формулы теории возмущений нулевого приближения, по-видимому, соответствуют задаче об исследовании устойчивости в малом. Разумеется, приведенные выше соображения об оптимизации на основе использования функционалов теории возмущений относятся и к нестационарным характеристикам системы. Поэтому этот аппарат с успехом можно применять и при оптимизации динамических характеристик системы регулирования. [c.114]

Лишь огранич. класс задач может быть решён точно, поэтому практически в каждой проблеме приходится исиользовать упрощённое описание, к-рое сводится к нахождению одного или неск. членов разложения искомого решения тто малому параметру. Малый параметр может явно содержаться в исходных ур-ниях, но в ряде случаев его приходится вводить искусственно, для удобства. В сложных задачах требуется преобразовывать исходные ур-ния и только после нетривиальных упрощений удаётся выделить малый параметр и использовать В. т. Если старшей из степеней малого параметра е, к-рая учитывается в решении, является s ", то говорят об го-м приближении В. т. Решение исходной невозмущённой задачи соответствует, т. о., нулевому приближению. Выбор нулевого приближения определяется критериями удобства и простоты, а также условием быстрой сходимости ряда по степеням е, к-рьп описывает вклад последоват. итеращш по возмущению. [c.302]

Основные методы расчёта зон. Б первых расчётах зонной структуры использовались приближения слабой и сильной связи. В методе слабой связи в качестве нулевого приближения берутся волновые ф-цпи свободного электрона (плоские волны), а пери-одич. поле кристалла рассматривается как возмущение. В этой модели электронный спектр /с) почти во всём А -пространстве описывается той же ф-лой, что и для свободного электрона [c.91]

При полной адэкватности математической модели и объекта и отсутствии помех процесс управления мог бы быть на этом закончен. В действительности это вряд ли возможно, так как существование нелинейных искажений в вибросистеме, погрешностей измерений и шумов приборов всегда приводит к существенным различиям спектральных характеристик выхода, измеренных после генерирования сигналов по нулевому приближению, от заданных. Для более точной настройки на требуемый режим следует воспользоваться итерационными процедурами, сходящимися к заданным значениям оценок спектральных плотностей при наличии случайных возмущений и нелинейных искажений. Такими свойствами обладают процедуры стохастической аппроксимации [15]. Оценки собственных и взаимных спектров можно представить [c.469]

Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Хотя его и можно использовать для оправдания закона Стокса, но нельзя непосредственно применить для получения поправки первого порядка к этому закону того же типа, что и в уравнении (2.6.5). Если обозначить решение уравнения Озеена через (vq, Ро), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмуш,ений типа Уайтхеда, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда — Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это — внутреннее и внешнее решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости. [c.63]

Очевидно, что, если скорость скольжения достаточно мала, так что частицы переносятся вместе с жидкостью, возмущение параболического профиля скорости жидкости, обусловленное наличием стенок, будет минимальным. Для условий, отличных от только что рассмотренных предельных условий (т. е. когда allY RJa) = О (1)), необходимо принимать во внимание как (2/Z, так я lIRq, Обсуждаемое ниже нулевое приближение в этом случае не будет применимо. [c.416]

Новейшие теории жидкостей, использзщ>щие теорию возмущений в применении к системе твердых сфер в качестве нулевого приближения, разработаны в статьях [c.321]

Дальнейшее развитие в дозвуковой аэродинамике получили методы Рэлея — Янцена и Прандтля — Глауерта, составившие основу теории малых воз-муш ений в газовой динамике. Обш,им для этих методов является разложение искомого решения в ряд по степеням величины возмуш ения. Обычно вычисляют первое приближение, представляюш,ее собой возмуш ение нулевого приближения (которым может оказаться равномерное параллельное течение). Если возмущения не настолько малы, чтобы можно было пользоваться теорией малых возмущений, то находят высшие приблЕжения (пренебрегают третьей степенью и более высокими степенями возмущений). [c.323]

Неравновесные уравнения состояния. Даже в случае теплового равновесия точное решение уравнений состояния возможно лишь для некоторых простых моделей. Обычно приходится применять приближенные методы, в частности, теорию возмущений по взаимодействию или плотности, рассматривая систему невзаимодействующих частиц как нулевое приближение. Если нельзя ограничиться несколькими первыми членами теории возмущений, то довольно часто задача состоит в том, чтобы выделить последовательность главных членов и выполнить ее суммирование. В этих случаях удобен формализм мацубаровских или температурных функций Грина, для вычисления которых разработана диаграммная техника [1]. Ниже мы покажем, как аналогичная техника может быть построена и для неравновесных систем. [c.10]

Уравнение поля в форме (П.III.25) (или, в более общей форме, учитывающей и старшие члены по степеням поля) удобно для решения по теории возмущений, в которой в качестве плиближения можно рассматривать поле 2 . Для наших целей достаточно первого приближения, чему соответствует подстановка в нелинейное слагаемое правой части (П. II 1.25) поля нулевого приближения. Такое приближение может быть использовано для написания соотношения, обобщающего (П, III.24) с точностью до членов четвертой степени по амплитудам электрического поля. С такой точностью получаем [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...