Деформация упругой неограниченной среды

Части машин, движущиеся по определенным циклам, передают путем непосредственного соприкосновения или через упругую окружающую среду механические импульсы другим конструктивным элементам, подвергая их вынужденным колебаниям, частота которых может быть близка к частоте свободных колебаний этих элементов. Совпадение периодов или частот свободных и вынужденных колебаний обусловливает возможность теоретически неограниченного возрастания амплитуды колебаний. Это явление называется резонансом. Опасность резонанса заключается в интенсивном возрастании деформаций (амплитуды) и соответствующем нарастании напряжений. [c.316]

Здесь мы ограничимся рассмотрением одномерных волн и для простоты будем говорить о распространении продольной волны в стержне, хотя правильнее было бы рассматривать плоский фронт в неограниченной среде. Те уравнения, с которыми мы будем иметь дело, совершенно точны для такого плоского фронта, тогда как для стержня они лишь приближенны, так как в них не учитываются поперечная инерция и деформация сдвига. Дифференциальное уравнение распространения волн в упругом стержне, как мы видели в 6.7, имеет следующий вид [c.608]

Ползучесть металлов и сплавов, как правило, носит ярко выраженный нелинейный характер. Модели нелинейной вязко-упругой среды, применяемые в теории ползучести, обычно таковы, что при сколь угодно малых напряжениях они дают деформацию ползучести, неограниченно возрастающую во времени. Поэтому, если задачу об устойчивости систем из таких материалов ставить строго, то будем получать неустойчивость для многих практически важных случаев. Между тем конструкции успешно эксплуатируются в условиях ползучести, если прочность материала не нарушается и если деформации не достигают нежелательных раз- [c.348]

Уравнение (4.26) отличается от уравнения (4.8) для неограниченной среды лишь постоянным коэффициентом ср. формулы (4.9) и (4.27)] различие обусловлено тем, что в случае неограниченной среды мы предполагали отсутствие поперечных перемещений V я т и соответственных деформаций, а это в свою очередь вызывает появление поперечных напряжений Уу и Z , в случае же стержня этих напряжений нет. Уравнение (4.27) дает возможность вычислить модуль упругости стержня Е, зная его плотность р и скорость распространения звука в нем а . [c.102]

Таким образом, скорость распространения продольных волн в неограниченном твердом теле несколько больше, чем скорость этих волн в стержне. Причина этого лежит в том, что упругость сплошной среды как бы больше, чем упругость в случае тонкого стержня. Действительно, боковые поверхности стержня свободны и не имеют по соседству среды, препятствующей их деформациям, тогда как если мы мысленно вырежем такой стержень в сплошной среде, его боковые поверхности будут находиться в соприкосновении с остальной массой тела. [c.444]

Встречаются, как исключение, и неограниченные среды, в которых нельзя произвести линеаризацию соотношения деформация — сила даже для малых деформаций, например сыпучие тела, порошки. Так, при сжатии песка или порошка упругие силы возникают, но при растяжении песчинки просто отходят друг от друга и сила упругости не возникает. Линейность соотношения деформация — сила получится, если песок уже сжат предварительно, как, например, в песчаном грунте на большой глубине, где песчинки прижаты друг к другу весом вышележащих слоев сжатие будет увеличивать, а разрежение — уменьшать уже имеющуюся упругую силу взаимодействия между песчинками и дополнительная сила будет линейно зависеть от деформации. [c.31]

В акустике встречаются два принципиально различных типа дисперсии. Один тип обусловлен физическими свойствами среды зависимостью упругих напряжений не только от деформаций, но и от скорости изменения деформации. В плоской звуковой волне в неограниченной среде возможен только этот тип дисперсии. Он всегда сопровождается поглощением звуковой энергии. Классические примеры таких сред—лед, вар. При малой скорости деформирования возникающие упругие силы малы, и за достаточно долгое время эти тела могут растекаться подобно жидкостям под действием собственного веса. Но при резком ударе возникающие силы — такие же, как в обычных твердых телах кусок льда или вара разбивается при таком ударе на осколки. Поэтому в таких телах при разной частоте колебаний скорость волн различна с ростом частоты всегда растут и упругие силы, [c.78]

Необходимо отметить, что количество типов волн, возникающих в неограниченных средах, возрастает при переходе от жидких сред к твердым (сухим и насыщенным пористым). Так, в жидкостях и газах, имеющих только объемную упругость, существуют волны одного Р-типа. В твердых средах, обладающих еще и упругостью формы, одновременно могут возникать продольные и сдвиговые деформации, и, следовательно, распространяться Р- и 8-волны. В насыщенных пористых средах, в частности в осадочных горных породах, возможно одновременное существование четырех типов волн. Из них три типа Р-волн (первого, второго и третьего рода) связаны с распространением энергии упругих напряжений по скелету породы и порозаполнителю и один тип 8-волн - по скелету породы [2]. [c.12]

Стержень или труба определяются двумя размерами длиной и радиусом. В них могут возникать как осевые, так и радиальные упругие колебания, которые взаимодействуют между собой. Особенно сильное взаимодействие наблюдается при распространении звука вдоль оси, так как изменение поперечных размеров, обусловленное сжатием и растяжением, вызывает радиальные колебания. Поскольку деформация в радиальном направлении происходит свободно, вдоль стерл ня распространяется так Называемая волна растяжения, схематически изображенная на фиг. 376, г. При этом расширение в поперечном направлении вызывает уменьшение упругих сил, действующих в осевом направлении, что обусловливает уменьшение скорости распространения звуковых волн в стержнях по сравнению с распространением в неограниченной среде [см. формулу (298)]. Скорость распространения волны растяжения вдоль тонкого стержня определяется формулой [c.382]

Эта формула показывает, что скорость зависит от плотности и упругих постоянных среды. Модуль Юнга Е можно определить как отношение между величиной растягивающей силы, приложенной к некоторому стержню, и возникающей при этом деформацией. Коэфициент Пуассона представляет собой отношение изменения ширины тела к изменению его длины, если растяжение стержня производится по длине. Значения для скоростей распространения продольных волн в твердых неограниченных телах, в жидкостях и газах приведены в табл. 2. [c.21]

Наряду с упомянутыми гипотезами предлагались многие другие, среди которых заслуживают упоминания энергетические гипотезы. Так, в свое время делалась попытка принять в качестве критерия предельного состояния внутреннюю потенциальную энергию напряженного тела в точке. Эта попытка, однако, успеха не имела. При гидростатическом сжатии, как показывает опыт, потенциальная энергия деформации вследствие изменения объема накапливается практически неограниченно, а предельное состояние не достигается. Следовательно, такая гипотеза противоречит опыту. В связи с этим было предложено исключить из расчета энергию изменения объема, а в качестве критерия перехода из упругого состояния в пластическое принять только энергию формоизменения (7.24) [c.264]

Определить деформацию неограниченной упругой среды с заданным распределением температуры Т х, у, г) таким, что на бесконечности температура стремится к постоянному значению Tq и деформация отсутствует. Решение. Уравнение (7,8) имеет, очевидно, решение, в котором [c.36]

Определить распределение напряжений в неограниченной упругой среде с шаровой полостью, подвергаемой (на бесконечности) однородной деформации. [c.37]

Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упругие колебания или волны. Начнем с рассмотрения плоской упругой волны в неограниченной изотропной среде, т. е. волны, в которой деформация и является функцией только от одной из координат, скажем, от л (и от времени). Все производные по у и г в уравнениях (22,2) исчезают. и мы получаем для отдельных компонент вектора и следующие уравнения [c.125]

Для поликристаллических материалов сферическая форма является статистически средней по различным формам зерен и ее целесообразно принять в качестве первого приближения. Радиус сферы можно не конкретизировать, хотя для заполнения определенного объема поликристалла радиус сферических зерен должен меняться от некоторого конечного до исчезающе малого значения. Каждое зерно считаем однородным монокристаллом, обладающим в общем случае анизотропией теплопроводности, температурной деформации и упругих характеристик (см. 2.2). При хаотической ориентации анизотропные зерна образуют поликристалл с изотропными свойствами. Поэтому в первом приближении вместо взаимодействия анизотропных зерен между собой будем рассматривать взаимодействие отдельно взятого однородного анизотропного сферического включения с изотропной окружающей средой. Влияние такого включения на температурное и напряженно-деформированное состояния среды быстро уменьшается с увеличением расстояния от включения. Поэтому при малых размерах зерен объем окружающей среды в таком случае можно считать неограниченным. [c.70]

Твердые тела, в отличие от жидкостей, наряду с объемной упругостью характеризуются также упругостью по отношению к сдвиговым деформациям. Поэтому картина упругих волн в твердых телах значительно богаче, чем в жидкостях. Уже в неограниченной твердой среде могут существовать не только продольные, но и поперечные волны, обусловленные сдвиговой упругостью. Наличие границ раздела приводит к появлению новых типов распространяющихся возмущений — поверхностных и граничных волн, волн в пластинах, стержнях и т. д. При описании свободных волновых движений изотропной твердой среды будем исходить из общего [c.193]

Рассмотрим неограниченный обьем упругой среды, в которой в направлении некоторой оси со скоростью dv действует возмущение, вызванное импульсом силы, приведшим к уплотнению (местной деформации) среды. Это возмущение перемещается в упругой среде с конечной скоростью с, величина которой зависит от свойств среды. [c.75]

Определить деформацию неограниченной упругой среды, к малому участку которой приложена сила F 1). [c.670]

Задача о равновесии полой сферы при произвольной ее деформации решена А. И. Лурье (1953) с помош,ью обш,его решения П. Ф. Папковича благодаря удачному выбору четвертой функции и применению гармонических векторов автору удалось существенно сократить объем вычислений как в случае второй основной задачи, так и в случае первой основной задачи для полой сферы. Результаты исследований Лурье по пространственным задачам теории упругости собраны в его монографии (1955), где oдepнiaт я также решения задач о тяжелом и о вращающемся шаре, о сферической полости в неограниченной среде и др. ). [c.22]

Прототипом задач линейной механики разрушения служит задача Гриффнтса о трещине отрыва в неограниченной среде при условиях плоской деформации (рис. 6.1). Трещина длиной 21 представлена в виде плоского математического разреза. На бесконечности заданы номинальные напряжения а, нормальные к плоскости трещины. Материал подчиняется закону Гука с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона V. Для того, чтобы размер трещины I увеличился на 1, необходимо затратить работу, значение которой пропорционально (И. Гриффитс связывал эту работу с энергией поверхностных сил. В действительности основная часть работы затрачивается на пластическое деформирование и другие необратимые явления. Все эти факторы учитываются в виде удельной работы разрушения V, отнесенной к единице площади вновь образованной трещины. Удельная работа у имеет размерность Дж/м = Н/м. Для конструкционных материалов удобна единица измерения кДж/м = кН/м. Согласно энергетической концепции Гриффитса трещина не растет, если значение потенциальной энергии системы П, высвобождаемой при продвижении фронта трещины на Л, меньше работы разрушения, т. е. — П < усИ. При — П > [c.159]

Ui( t — x), МЫ предлшагаем, что функции щ по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и Сг требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. [c.441]

Казалось бы, что простота расчетных зависииостей, физическая наглядность критерия и, наконец, соответствие с экспериментом должны были бы обеспечить гипотезе максимальных касательных напряжений полную монополию если не в теоретическом аспекте, то по крайней мере при решении практических задач. Этого, однако, не произошло, и в своеобразном естественном отборе, который происходил среди многих гипотез, предлагавшихся в конце прошлого и начале настоящего века, выжила и заняла место наравне с теорией Треска - Сен-Венана также и гипотеза Хубера - Мизеса. Она была сформулирована Хубером в 1904 г. в виде исправленного варианта критерия Бельтрами, согласно которому переход к пластическому состоянию связан с уровнем накопленной в единице объема потенциальной энергии деформации. Но принять в качестве критерия пластичности всю энергию деформации нельзя. Это противоречило бы экспериментально установленному факту, что при всестороннем давлении пластические деформации не возникают, в то время как потенциальная энергия неограниченно возрастает. В связи с этим Хубером было предложено исключить из рассмотрения энергию объема, а в качестве критерия перехода из упругого состояния в пластическое принять энергию формоизменения (7.28). [c.352]

Пример 7. Для иллюстрации рассмотрим классическую задачу Гриффитса об устойчивости трещин отрыва в неограниченной линейной упругой среде. Длину трещин обозначим 2/, номинальные напряжения (рис. 7.3.17). Рассмотрим задачу в предположении плоской деформации и заданных смещений на бесконечности . Тогда потенпиа-льная энергия упругой деформации для половины тела выражается формулой [c.485]

Рассматриваемая в данной главе стохастическая краевая задача теории упругости является основой статистической механики композитов со случайной структурой. Начало систематическому изучению этой задачи положено работой И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга [160] применительно к поликристаллам, в дальнейшем многочисленные результаты были обобщены в монографиях [62, 130, 162, 172, 247, 296, 320 и др.]. При единой практически для всех работ в этом направлении постановке задачи, связанной с представлением упругих модулей микронеоднородной среды как случайных статистически однородных функций координат и выбором граничных условий в виде, обеспечивающим однородность макроскопических деформаций, а также общности подхода к решению с использованием метода функции 1 ина уравнений теории упругости в перемещениях для неограниченной изотропной или анизотропной среды существуют различия в получаемых результатах для эффективных свойств композитов и, в большей мере, для оценки полей напряжений и деформаций в компонентах композитов. Это обусловлено статистической нелинейностью исследуемой задачи и построением приближенных решений, которые неодинаково адекватны физической модели композита, в частности, его структуре. [c.39]

В неограниченном пластическом течении, например при прокатке металла, часто допустимо пренебрегать упругими деформациями и рассматривать материал как жестко-идеально-пластическую среду. Если течение в дальнейшем можно предполагать таким, как в случае плоской деформации, то получающееся поле скоростей можно изучать, пользуясь теорией линий скольжения. Пусть Xip , — плоскость течения тогда [c.261]

ШИ относительных перемещений точек при деформации можно пренебречь. Остальные гипотезы, к-рыми пользуется С. м., здесь устранены первоначально в развитии теории упругости они или подтверждаются вполне, или частью, с известным приближением, или отвергаются в связи с анализом отдельных деформаций. Элементарные теории растяжения, кручения круглых брусков, чистого изгиба вполне согласуются с теорией упругости. Изгиб в присутствии срезывающих сил, как оказывается, подчиняется закону прямой линии гипотеза Навье), но не закону плоскости (гипотеза Бернулли). Касательные напряжения при изгибе распределяются по закону параболы, но только в тех сечениях, которые имеют незначительную толщину при большой высоте (узкие прямоугольники). В других сечениях закон распределения касательных напряжений совершенно иной. Для балок переменного сечения, к к-рым в элементарной теории прилагают закон прямой линии и параболы, теория -упругости дает другие решения в этих решениях значения напряжений и деформаций гораздо выше, чем по элементарной теории следует. Общепринятый способ расчета пластин по Баху как обыкновенных балок не оправдывается теорией упругости. Ф-лы С. м. для кручения некруглых стержней не соответствуют таковым в теории упругости. Теория изгиба кривых стержней решительно не совпадает с элементарной теорией Баха-Баумана, но результаты расчета по строгой теории и на основании гипотезы плоских сечений достаточно близки. Поставлена и разрешена для ряда случаев задача о распределении местных напряжений (в местах приложения нагрузки или изменения сечения), к-рая совершенно недоступна теории С. м. Вопрос об устойчивости деформированного состояния, элементарную форму которого представляет в С.м. продольный изгиб, получил в теории упругости общее решение Бриана (Bryan), Тимошенко и Динника. Помимо многочисленных форм устойчивости стержня, сжатого сосредоточенной силой, изучены также явления устойчивости стержней переменного сечения под действием равномерно распределенных сил и другие явления устойчивости балок при изгибе, равномерно сжатой трубы, кольца, оболочек, длинного стержня при скручивании и пр. Теория упругого удара— долевого, поперечного—занимает большое место в теории упругости и включает все большее и большее чис-чо технически важных случаев. Теория колебаний получила настолько прочное положение в теории упругости и в практи-тсе, что методы расчета на ко.чебания проникают область С. м., конечно в элементарном виде. Изучены распространение волны в неограниченной упругой среде (решение Пуассона и Кирхгофа), движение волны по поверхности изотропной среды (решение Релея), волны в всесторонне ограниченных упругих системах с одной, конечно многими и бесконечно многими степенями свободы. В связи с этим находятся решения, относящиеся к колебаниям струн, мембран и оболочек, различной формы стержней, пружин и пластин. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...