УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Рассмотрим произвольную консервативную систему с голономными п стационарными связями, имеющую одну степень свободы. Положение системы будем определять обобщенной координатой д, отсчит1>1ваемой от положения устойчивого равновесия. Предположим, что система отклонена на небольшую величину от положения равновесия и ей сообщена небольшая начальная скорость. Тогда вследствие устойчивости положения равновесия система будет совершать движение вблизи этого положения равновесия, т. е. обобщенная координата 7 и ее скорость ц будут все время малы по модулю. Это обстоятельство дает возможность применить приближенный метод исследования движения, основанный на том, что нелинейные в общем случае дифференциальные уравнения движения упрощаются и заменяются на приближенные. линейные уравнения. Для этого, очевидно, достаточно выражения для кинетической и потенциальной энергий разложить в ряды по степеням д к ц, сохранив в них члены не выше второго порядка малости. [c.464]

Весьма вероятно, что всегда существует устойчивое стационарное вращение, но доказательство пока неизвестно. Такого рода доказательство не может быть чересчур общим, вспомним трудности, возникающие при попытках обращения теоремы Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия. Нетрудно указать натуральные консервативные системы, у которых все движения компактны, но все равновесия неустойчивы. Пусть, например, потенциальная энергия V x), х е К растет на бесконечности, то есть V x) +сх) при ж +сх). Тогда все движения компактны. Можно так выбрать функцию V x), чтобы у нас было лишь одно критическое значение, а именно — минимум, и оно достигалось бы на некоторой кривой Е. Тогда равновесиями будут точки этой кривой, и только. При этом все они неустойчивы, хотя инвариантное множество Е устойчиво. Такую функцию V x) можно считать С°°-гладкой, когда Е — незамкнутая кривая (ведро с днищем в виде отрезка) и даже аналитической, когда Е — замкнутая кривая (представим себе автомобильную шину с отрезанной верхней половиной, лежащую на горизонтальной плоскости). [c.289]

Если исследуемая механическая система не обладает свойством консервативности (из-за действия сил трения или неконсервативных позиционных сил), теорема Лагранжа—Дирихле неприменима и для суждения об устойчивости состояний равновесия, а также стационарных режимов необходимо исследовать характер возмущенного движения. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...