Уравнения равновесия в смещениях

Дифференциальные уравнения равновесия в смещениях могут быть по (учены из системы [c.214]

Изложим метод построения такого решения. Будем исходить из закона Гука (3.15) гл. II. После подстановки этих соотношений в уравнения (4.4) гл. II получаем уравнения равновесия в смещениях для анизотропной среды [c.662]

Дифференциальные уравнения равновесия в смещениях, обобщающие известные уравнения Ламе в теории упругости, можно составить следующим образом. Воспользуемся формулами [c.60]

Вариационное уравнение (20.8) заменяет собой граничные условия и дифференциальные уравнения равновесия в смещениях (17.2), обобщающие уравнения Ламе в теории упругости ( 17). Действительно, [c.68]

Обозначим через, U2, составляющие вектора смещения срединной поверхности оболочки по осям xj, Хг, Х3. Общие уравнения теории оболочек (уравнения равновесия в смещениях) можно записать в виде [c.132]

Изложенный здесь подход относится к линейным однородным вязкоупругим материалам. За исключением соотношений, связанных с историей нагружения, все другие полевые уравнения следуют непосредственно из линейной теории упругости с учетом зависимости всех переменных задачи от времени. Таким образом, уравнения равновесия в смещениях имеют вид [c.275]

Таким образом мы получим следующие уравнения равновесия в смещениях [c.405]

На части поверхности S перемещения заданы, поэтому на S 6и,- = 0 внутри тела и на поверхности Sp вариации 6u произвольны, и из (67.11) вытекают дифференциальные уравнения равновесия в смещениях (20.2) и соответствую-U И 11I ничные условия на Sp. [c.314]

От системы уравнений равновесия в напряжениях (1.4) можно перейти к системе уравнений в смещениях (системе уравнений Ламэ), использовав соотношения закона Гука (1.5) и определение деформации (1.1). Обычно систему уравнений Ламэ записывают в векторной форме [c.73]

Отсюда следует, что X J ,... будут постоянными соответствующее решение уравнений равновесия представляют смещении в шаре, материал когорт о находится в однородном напряженном состоянии. [c.282]

Искомая матрица [к] совпадает с полученной в разд. 5.1. Как было указано выше, определяющие дифференциальные уравнения, записанные в смещениях, т. е. дифференциальные уравнения равновесия, можно преобразовать с помощью метода взвешенных невязок в алгебраические уравнения относительно параметров перемещений с коэффициентами в виде интегралов. Этот подход обсуждается в гл. 6 и состоит в построении соотношений метода конечных элементов на базе рассмотрения потенциальной энергии. Соответственно определяющие дифференциальные уравнения, записанные относительно напряжений, можно преобразовать в уравнения метода конечных элементов как с помощью метода взвешенных невязок, так и с помощью подхода, использующего минимизацию дополнительной энергии. Результаты в обоих случаях совпадают. [c.145]

Поле смещений и (г) вокруг дислокации может быть выражено в общем виде, если известен тензор Грина уравнений равновесия данной анизотропной среды, т. е. функция, определяющая смещение Нц созданное в неограниченной среде сосредоточенной в начале координат единичной силой, направленной вдоль оси (см. 8). Это легко сделать с помощью следующего формального приема. [c.152]

Вообще в выборе основных неизвестных и метода получения уравнений для них можно провести аналогию с теорией расчета статически неопределимых систем, излагаемой в курсе строитель ной механики стержневых систем. Там, как известно, есть три основных метода метод сил, метод деформаций и смешанный метод. Неизвестные силы определяются из уравнений деформаций (канонические уравнения в методе сил), неизвестные перемещения (углы поворота и смещения узлов рам)—из уравнений равновесия. [c.30]

Уравнения (14.8) и (14.9) выражают закон Рауля, согласно которому относительное понижение давления насыщенного пара при растворении численно равно концентрации раствора. Эти выражения согласуются с принципом смещения равновесия. В самом деле, при введении в жидкую фазу нелетучего вещества должны происходить такие процессы, которые будут уменьшать эффект растворения нелетучего вещества, а именно часть паровой фазы (состоящая из паров растворителя) перейдет в жидкую фазу, чтобы скомпенсировать увеличение концентрации нелетучего вещества в растворе, результатом чего будет уменьшение давления пара над растворителем. [c.503]

Исследование проведем сразу на примере смешанной задачи (т. е. будем исходить из условий (1.2)). Рассмотрим множество тензоров, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и первому из условий (1.2). Обозначим это множество через /( ). Образуем теперь множество Кг тензоров, удовлетворяющих уравнениям совместности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами — Митчелла) ( 4 гл. И), причем соответствующие смещения должны удовлетворять первому из условий (1.2). [c.626]

Какой бы ни была связь между активностями и концентрациями, увеличение термодинамической константы равновесия соответствует смещению реакции вправо (в сторону продуктов реакции). Это позволяет интерпретировать уравнения (11-41) и (11-45) следующим образом. При увеличении температуры равновесие в реакции смещается в ту сторону, куда она идет с поглощением тепла, а при увеличении давления — в ту сторону, куда она идет с уменьшением объема. Эти утверждения представляют собой частный случай известного принципа Ле Шателье, определяющего смещение равновесия в любой системе при том или ином внешнем воздействии. [c.234]

Подставляя, как обычно, эти соотношения в уравнения равновесия и электростатики (49.3), получим систему трех дифференциальных уравнений относительно и х, z), шСж, z), ф(х, z). Пусть на бесконечности заданы постоянные напряжения = Сто, == о, которые в силу равенств (49.2), (49.3) соответствуют следующим значениям электрического потенциала, смещений и электрической индукции [c.400]

Решение. Рассмотрим равновесие вала с колесом. Связями являются подшипник и подпятник. Подшипник А воспринимает только радиальную силу давления в плоскости, перпендикулярной оси вала, и не препятствует смещению вала вдоль его оси. Поэтому реакцию подшипника заменяем двумя составляющими силами и 2 . Подпятник В кроме радиальной силы давления воспринимает и осевую силу, действующую вдоль оси вала, и поэтому реакцию подпятника заменяем тремя составляющими" Хд, ig и Составим уравнения равновесия (2.4) [c.55]

Для того, чтобы отличить мгновенно изменяемую конструкцию от механизма, необходимо исследовать уравнения равновесия конструкции в возмущенном состоянии (смещение из исходного состояния, не противоречащее связям). Если система уравнений имеет решение, то конструкция мгновенно изменяема, если нет, то это механизм. [c.540]

Записывая уравнения (10.3) для всех точек контакта и заменяя входящие в них смещения соотношениями (10.7), с учетом уравнений равновесия (10.6) получим систему линейных алгебраических уравнений. [c.184]

Метод обобщенной реакции. Рассмотрим контактную задачу статики для днух упругих тел (мембран, стержней, пластин, оболочек) с неизвестной областью взаимодействия. Пусть уравнения равновесия в смещениях для названных тел имеют внд [c.522]

Для оболочек короткой и средней длины необходима уже принцпиально иная схема упрощения, которая основывается на пренебрежениях касательными смещениями в формулах для изменений кривизны и кручения, а также перерезывающим усилием во втором из уравнений равновесия. В итоге расчет круговой цилиндрической оболочки на произвольную нагрузку может быть сведен к решению дифференциального уравнения вида [c.161]

Решение можно получить, идя различными путями. Во-первых, мы можем взять общие уравнения (14) или (16) и решать их с тем, чтобы прямо найти и, v, w. Во-вторых, мы можем комбинировать уравнения равновесия в напряжениях, данные в 285 главы VIII, с уравнениями совместности для деформаций , данными в 308 главы IX. А затем использовать получившиеся уравнения для того, чтобы вывести выражения для компонентов напряжения, не вводя явно компоненты смещения. Каждый из методов имеет свою область применения. [c.410]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Расчет статической прочности елочного замка. При расчете напряжений в условиях упругости обычно решают две самостоятельные задачи исследуют распределение усилий по зубьям без учета концентрации напряжений и определяют распределение напряжений в зонах концентрации при заданном распределении усилий. Использование такого разделения при решении задачи за пределами упругости и в условиях ползучести некорректно. А.А. Нигиным [275] была разработана методика расчета елочного замка методом конечных элементов (МКЭ) с использованием теории пластичности с трансляционным упрочнением [75] и теории ползучести с анизотропным упрочнением [76], свободная от указанных недостатков. Методика основана на решении задачи плоской де юрмации. Используются уравнения равновесия и смещения вдоль линии контакта. При этом трение в местах контакта не учитывается. [c.450]

В соответствии с указанными условиями однозначности скорости фаз на входе в канал равны (коэффициент скольжения фаз фг, = = 1), слой не продувается и находится под действием сил предельного равновесия в плотном состоянии. Последнее означает, что твердый компонент достиг такой объемной концентрации, при которой все соседние частицы обязательно кон-тактируются друг с другом. Движение плотного слоя возникает за счет периодического нарушения предельного равновесия, приводящего к конечным деформациям сдвига без разрыва контактов. Однако согласно граничным условиям на стенке канала скорость частиц не падает до нуля. Так как для газовой среды (и)ст = 0, то Фг с,т= ( т/ )ст—>-оо. Наконец, условие ф1,= 1 на входе в канал не означает, как это обычно полагают, автоматического равенства скоростей фаз непродуваемого слоя по длине канала. Предварительные опыты показали, что при определенных условиях и в ядре движущегося слоя возможно небольшое проскальзывание фаз потока. Если пренебречь отмеченными смещениями скорости компонентов слоя, т. е. если положить фч,= 1, то v vi = v n-Если дополнительно принять, что концентрация (пороз-ность) движущегося плотного слоя неизменна (p = onst), то тогда взамен уравнения сплошности (1-30) приближенно получим [c.288]

Написать дифференциальные уравнения равновесия для днслокацион-кой деформации в изотропной среде, выраженные через вектор смещения ). [c.155]

В ряде случаев закрепления стержня внутренние силовые факторы М и Q можно найти, не прибегая к дифференциальным уравнениям равновесия как при симметричном, так и несимметричном нагружении. Считая, что as ao= onst и D = Z)o= onst (т. е. пренебрегая деформацией пружины в уравнениях равновесия), проецируем все показанные на рис. 5.9,6 силы и моменты на связанные оси. В результате получаем шесть алгебраических линейных уравнений равновесия с шестью неизвестными Q, и Mj (/=1, 2, 3). Эти уравнения равновесия справедливы для любого угла ао (как постоянного, так и переменного). В этом случае для определения осадки пружины АН и угла взаимного поворота торцов Агр можно (опять не прибегая к дифференциальным уравнениям) воспользоваться методом Мора [17]. Изложенный вариант решения задачи статики винтового стержня без решения дифференциальных уравнений равновесия возможен только при условии, что никаких ограничений на осевое смещение верхнего торца пружины и его [c.200]

Последний из указанных выше частных случаев связан с ан-типлоской деформацией, при которой одна поверхность скользит по другой параллельно фронту трещины. В этом случае w = = w x, у) — единственная отличная от нуля компонента смещения (и = и = 0), а уравнения равновесия и закон Гука принимают следующий вид [c.26]

Для того чтобы определить условия статического заклинивания клинового механизма, предположим, что звездочка 1 (рис. 95) под действием внешнего момента вращается против часовой стрелки и клин вследствие появления трения между обоймой и звездочкой, может заклиниваться и повести за собой обойму 2. Считаем, что клин равномерно затягивается и на него действуют силы нормального давления и и силы трения сцепления и РВысоту и длину клина обозначим соответственно через к я I, а коэффициенты трения скольжения через и соответствующие им углы трения через и Q2. За положительное направление осей х я у принимаем оси Ох и Оу. Смещение клина в контакте обоймы и звездочки для упрощения принимаем одинаковыми и равными Г. Тогда уравнения равновесия клина будут [c.159]

Смещения узлсв под действием горизонтальной силы Р=1. Сила Р=1 приложена в узле 1 (фиг. 35, е). Смещения определяем из следующих уравнений равновесия [c.110]

Повышение концентрации растворенной СО2 оказывалось возможным в результате смещения равновесий реакций, выраженных уравнениями (1-17) и (1-18) в направлении слева направо очевидно, что понижение ее концентрации будет достигаться в результате смещения этих равновесий в обратном направлении. При этом если повышение концентрации СО2 в растворе сопровождалось выделением СаСОз в виде твердой фазы, то понижение ее концентрации будет происходить при одновременном растворении СаСОз. Такое смещение равновесий возможно только при условии, что вода, содержащая избыток (над равновесной) растворенной СО2, соприкасается с твердой фазой СаСОз. Карбонат кальция широко распространен в природе (известняки, мел, мрамор), и взаимодействие с ним воды, содержащей избыток растворенной СО2, может быть выражено следующим суммарным уравнением [c.27]

Для определения единичных и грузовых реакций, соответствующих угловым перемещениям (моменты), составляют уравнения равновесия узлов. Если стойки рамы параллельны, то для определения реакций, соответствующих линейным смещениям (софедоточенные силы), составляют уравнение суммы проекций всех сил отсеченной части на ось, перпендикулярную к стойкам (чтобы в уравнение равновесия не входила нормальная сила). [c.87]

Допущения, приводящие к теории пологих оболочек, могут быть сформулированы также в форме приближения о близости метрических свойств поверхности и ее проекции на плоскость. В результате, в формулах для компонентов изгибной деформации отбрасывают тангенциальные смещения, а в изменениях кривизн - квадратичные члены с множителями /Ri, в уравнениях равновесия пренебрегают момеЕггными членами, содержащими в качестве сомножителей главные кривизны поверхности и их производные. [c.143]

Озможных линейно независимых полей деформаций в конструкции, а значит, и число линейно независимых полей смещений ее точек (число степеней свободы деформируемой конструкции). Таким образом, размерность т равна числу обобщенных перемещений, с помощью которых может быть определено любое деформированное состояние конструкции. А отсюда следует (согласно принципу возможных перемещений [41 1), что число независимых уравнений равновесия для нее также равно т. Так, например, рассмотренная выше простейшая система (см. рис. 7.1) имеет п = 2 (число стержней), k = 1 (степень статической неопределимости), откуда т = 2 — 1 = 1. Это означает, что деформация определяется одним обобщенным перемещением — поворотом жесткого бруса соответственно для определения усилий в стержнях имеется лишь одно уравнение равновесия —сумма моментов вокруг жестко закрепленной точки бруса. В другой, несколько более сложной ферме (рис. 7.4) имеем /г = 9, /г = 2, /п = 9 —2 = 7. Соответственно — семь обобщенных перемещений (по две проекции для перемещений каждого из незакрепленных узлов и одна для узла, направление возможного перемещения которого определено), столько же независимых внешних нагрузок (вариантов нагружения) и независимых условий равновесия. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...