Фурье-компоненты решения

Фурье-компоненты решения 69, 122, 123 [c.7]

Теперь запишем каждую фурье-компоненту решения в виде [c.83]

В принципе, уравнение Фоккера-Планка для турбулентного движения можно получить из общего уравнения (9.1.66). Но, поскольку нас интересует функционал распределения только одной случайной гидродинамической переменной — скорости v, проще вывести уравнение Фоккера-Планка непосредственно из стохастического уравнения (9.4.11). Единственной нетривиальной проблемой является учет дополнительного условия V V = О, которое в терминах пространственных фурье-компонентов выглядит как = 0. Оно означает, что для любого к только две из переменных являются независимыми. С другой стороны, обычные способы вывода уравнения Фоккера-Планка предполагают, что все переменные в стохастических уравнениях являются независимыми. Для решения этой проблемы нам понадобятся некоторые сведения из теории векторных полей. [c.258]

Найдем интенсивности излучений, распространяющихся назад в вакууме до пластины (г<0) и вперед за пластиной (г> а). Как и в предыдущем параграфе, полное поле задачи представляет собой сумму полей частицы и излучения. При этом, согласно принципу Зоммерфельда, в области 2< 0 имеется только поле излучения Е распространяющегося назад, а в области г< а—только поле излучения (+>, распространяющегося вперед. Внутри же пластины (0< 2< а) существуют поля излучения обоих типов. Условия непрерывности на границах раздела г = 0 и г = а приводят к четырем алгебраическим уравнениям для фурье-компонент поля излучения. Решение этих [c.54]

До сих пор мы рассматривали фурье-компоненты линейной волны. Мы можем получить общее решение уравнения путем сложения этих отдельных фурье-компонент [c.16]

Нелинейное волновое уравнение не может быть решено методом разложения решения на фурье-компоненты, и для определения таких характеристик нелинейной волны, как волновое число, период и т. д., нам придется развить специальный метод. Иначе говоря, нелинейные уравнения не допускают решения вида [c.114]

Полная теория возникновения периодических структур на облучаемых лазером шероховатых поверхностях довольно сложна. Она опирается на решение задачи о дифракции падающей лазерной волны на пространственно-временной компоненте Фурье модуляции рельефа поверхности. Общее решение существует для малых значений амплитуд фурье-компонент оно аналогично тому, которое описывает спонтанное рассеяние Мандельштама - Бриллюэна на ПАВ или КВ. Затем определенные таким образом поля Ег используются для вычисления температурного поля. Заключительный этап — замыкание цепочки обратной связи — требует рассмотрения, уравнения для конкретного поверхностного возбуждения с соответствующими граничными условиями. [c.161]

Настоящий раздел аналогичным образом использует трехмерный анализ Фурье и трехмерную теорию стационарной фазы для того, чтобы определить асимптотическое поведение волн, генерируемых сложным начальным возмущением в анизотропной системе, описываемой линейными уравнениями. Однако, как и в разд. 3.7, необходимость использования разложения Фурье ограничивает нас однородными системами (обычно описываемыми уравнениями с постоянными коэффициентами), так что каждая фурье-компонента (синусоидальная волна постоянной амплитуды) по отдельности может быть решением уравнений движения. [c.425]

Грубо можно представить себе осуществление такого равновесия следующим образом. Если основная (самая низкочастотная) фурье-компонента волнового профиля есть os кх, то первая гармоника os 2кх распространяется благодаря дисперсии более медленно. Очевидно, что ее отставание по фазе соответствует появлению отрицательной гармоники sin 2кх. С другой стороны, легко показать, что сдвиговому искажению основной фурье-компоненты соответствует появление положительной гармоники sin 2кх. Это наводит на мысль, что возможно взаимное сокращение появившихся синусоидальных гармоник, а это приводит к решению типа бегущей волны с неизменным волновым профилем. [c.558]

Bi(0)sin 0 + 5 ,где Вз(0) Вх (0), найти соответствующее решение уравнения (VI.2.1), а затем с помощью гармонического анализа вычислить фурье-компоненты волн Вз (сг), Bi (а), заданных на границе, и компоненту волны разностной частоты Вг (сг), возникающей в среде. Однако в силу сложного вида получаемого решения реализовать эту схему затруднительно. [c.155]

В задаче об экранировании мы ищем фурье-компоненты плотности заряда, по которой можно рассчитать экранирующие поля. Первый шаг к решению задачи тривиален. Можно сразу записать плотность электронов в виде суммы по занятым состояниям [c.338]

Решение уравнения (4.1) для фурье-компонент по поперечным координатам дает после разделения действительной и мнимой частей для уровня амплитуды и фазы следующие формулы [c.280]

Решение. Важный для практики нелинейный эффект —параметрическое усиление слабых сигналов в поле интенсивной волны накачки. Если частота накачки 2ш, а сигнала ш, процесс называется вырожденным он чувствителен к сдвигу фазы между этими двумя волнами. В задаче 5.1.6 выписаны уравнения (1) первого и второго приближения. Напоминаем —это исходное возмущение, в котором вместо / стоит т = t-x/ Q, ы — это решение второго приближения, которое нужно найти. Сохраняя в правой части уравнения для фурье-компоненту на частоте сигнала ш, находим [c.134]

Решение. Фурье-компоненты выходного сигнала u t) и входного сигнала v(t) связаны соотношением [c.233]

Поскольку эти уравнения линейны и не содержат координат в явном виде, то искомые функции 6/ и ф можно разложить в интеграл Фурье по координатам и написать уравнения для каждой из их фурье-компонент в отдельности. Другими словами, достаточно рассматривать решения вида [c.172]

Дисперсионную ошибку мы будем обсуждать на стр. 123—124, а пока ограничимся кратким замечанием. Ошибка в волновой скорости различна для различных фурье-компонент, поэтому каждая из них имеет различную скорость конвекции. Таким образом, фурье-компоненты исходного распределения имеют тенденции размазываться или диспергировать в процессе решения. Эта ошибка обычно больше для компонент с меньшей длиной волны [c.89]

Другим типом ошибки схемы чехарда (и всех других схем) при С < 1 является фазовая ошибка. При решении дифференциального уравнения все начальное распределение 0) распространяется со скоростью конвекции и. При конечно-разностных расчетах различные фурье-компоненты имеют разные [c.93]

Сравнивая равенства (3.244) и (3.240), мы видим, что в ко-нечно-разностном решении каждая фурье-компонента переносится вдоль оси X медленнее из-за наличия множителя г(в)< 1. В точном решении дифференциального уравнения в частных производных (ДУ) все компоненты переносятся за счет конвекции со скоростью и в решении же конечно-разностных уравнений остаются все фурье-компоненты точного решения, но различные компоненты переносятся с различными скоростями. Эта ошибка больше для больших 0, т. е. для более коротких длин волн Л. Таким образом, в процессе численного решения различные фурье-компоненты будут отклоняться одна от другой или диспергировать это явление часто называется дисперсионной ошибкой. (Одно из первых исследований дисперсионной ошибки было дано в работе Стоуна и Брайена [1963].) [c.123]

Довольно простое и понятное приближение состоит в предположении, что низкочастотные осцилляции вносят малое возмущение в решение задачи при сильном МВ только для высокочастотных осцилляций. Это решение, приводящее к треугольной форме кривой намагниченности М [см. (6.21)], в фурье-компонентах имеет вид [c.363]

Докаже.м теперь очень важный результат теории, согласно которому не все волновые векторы из набора 2лп11 входят в разложение Фурье (9.14) для произвольного частного решения 11 задачи о периодическом потенциале. Пусть некоторый волновой вектор Ко относится к числу разрешенных, т. е. известно, что Ко содержится в разложении частного решения г з тогда можно показать, что другие волновые векторы, содержащиеся в этом разложении, имеют вид Ко- - , где О — произвольный вектор обратной решетки. Мы можем записать волновую функ-Ц Ш г)з, содержащую в разложении Фурье компоненту Ко, в виде 115(/(о) или равным образом в виде г]-)(/(о + ), поскольку, если Ко входит в ряд Фурье, то и Ко+ О входит тоже (как было установлено выше). Волновые векторы Ко + С, пробегающие все значения С, являются весьма ограниченной подсистемой в наборе волновых векторов 2лп//., что наглядно иллюстрируется схемой на рис. 9.4. [c.315]

Сохраняя в решении уравнения ( 1.2.23) только нарастающие фурье-компоненты, можно записать выражение ДЛЯ амплитуды сигнала с помощью обратного фурье-цреобразования [c.165]

В последнем выражении мы заменили а на 1/т и опустили множитель Величина 1/а, естественно, появилась бы во всех выражениях, если бы вместо адиабатического включения возмущения мы ввели в уравнение Лиувилля (3.48) член рассеяния — 1Йр1/т (это другой способ сделать решение хорошо определенным). Сравнивая наш результат с выражением (3.31), мы видим, что в длинноволновом пределе Р1к+9.к переходит в соответствующую фурье-компоненту Д (р) функции распределения при стремлении д к нулю, если мы пренебрежем поправочным членом рассеяния б /о/т. Немного позже, когда мы покажем, что экранирующее распределение имеет вид [c.330]

Опять можно найти решения для фурье-компонент каждой из составляющих магнитного момента Мх, Му и Мг. При разложении решения в ряд по возрастающим степеням амплитуд полей Я] и Яг получаются следующие 1выр,ажения для фурье-компонент, связанных с нелинейным взаимодействием низшего порядка [c.43]

Если величину (о),) выразить через фурье-компонен-ты поля с другими частотами, получим систему связанных волновых уравнений. Естественно, что с ростом числа учитываемых фурье-компонент трудности решения этой системы быстро возрастают. Весьма важно из физических соображений выбрать такое число фурье-ком-понет, которое необходимо для получения приближенного решения. [c.121]

Уилкокс и Лэмб [22] решили задачу для трехуровневой системы при наличии двух приложенных полей в этом представлении. Однако стационарное решение легче получить в лабораторной системе координат. То обстоятельство, что задача может быть преобразована к проблеме, в которой каждый матричный элемент в стационарном состоянии не зависит от времени, позволяет предположить, что в лабораторной системе координат каждый элемент матрицы плотности имеет только одну фурье-компоненту. Это предположение оправдывается. Удерживаются лишь постоянные составляющие диагональных элементов матрицы плотности и следующие [c.406]

Из сказанного становится очевидным, что имеются двоякого рода трудности, связанные с построением строгой теории возбуждения волн в ограниченных пьезокристаллах. Построение матрицы Грина для произвольного среза кристалла чрезвычайно громоздко, а само решение малообозримо, поскольку содержит поперечные волновые числа, которые в общем случае являются корнями алгебраического уравнения восьмого порядка и не имеют аналитических выражений. В принципе можно надеяться, что эта трудность технического порядка может быть преодолена какими-то обходными приемами, которые позволили бы выражать фурье-компоненты матрицы Грина не через сами поперечные волновые числа, а через их комбинации, определяемые коэффициентами характеристического уравнения, подобно тому как это сделано для двухпарциальных волн в 2 гл. 1П. [c.164]

В линейном приближении из нее следует дисперсионное уравнение (1.39), описывающее две ветви колебаний, бегущие в сторону дрейфовой скорости ионов или электронов соответственно. Обе ветви устойчивы, так как их скорости больше дрейфовых скоростей.Однако, как увидим при учете нелинейности, эти ветви сливаются и могут образовать вихри, скорость которых находится в промежутке между дрейфовыми скоростями ионов и электронов. А как следствие этого они могут усиливаться под влиянием затухания Ландау. Это видно из выражения для фурье-компонента оператора затухания (6.110). Он меняет знак при jj < кпку. Найдем стационарное двумерное решение (6.111), [c.150]

Выше были приведены примеры трех различных методов анализа устойчивости метод дискретных возмушений, метод фон Неймана и метод Хёрта, В методе Хёрта использовался критерий Куранта — Фридрихса — Леви [1928] для гиперболических систем. Известны еще по меньшей мере три более или менее популярных метода, а также ряд других менее популярных, Ограниченность решения разностных уравнений можно непосредственно проверить при помощи критерия Фридрихса о положительности коэффициентов (см, Рихтмайер и Мортон [1967, с, 22] и Хан [1958]), а также при помощи энергетических методов ) Келлера и Лакса (см, Рихтмайер и Мортон [1967, с, 23 и далее]). На практике эти методы оказываются применимыми только для простейших разностных схем дифференциальных уравнений. Подобно этим двум методам в методе Эдди [1949] также рассматриваются непосредственно свойства множителя перехода для конечно-разностных уравнений, а не дискретные фурье-компоненты. Оказывается, что в простых случаях, рассмотренных в работе Эдди [1949], этот метод дает результаты, совпадающие с результатами метода фон Неймана, но он сложнее в приложениях и не используется в открытой литературе. [c.77]

Первый шаг есть не что иное, как предиктор по схеме чехарда , а второй — схема (3.285). Данная схема обладает некоторыми интересными характеристиками (см. задачу 3.16). Подобно схеме чехарда , она имеет ошибку второго порядка Е 0 A.f,Ax ) исследование устойчивости методом фон Неймана показывает, что = 1 при С 1, и схема имеет нулевую схемную вязкость как в нестационарном, так и в стационарном случаях. Она также обладает недостатками, присущими схеме чехарда , т. е. требует дополнительных условий на выходной границе потока и дополнительных начальных условий и фурье-компонента с длиной волны Л = 2Ах стационарна. В отличие от схемы чехарда она обладает еще и тем недостатком, что не дает точного решения модельного уравнения при С= 1 однако значительным преимуществом рассматриваемой схемы является отсутствие неустойчивости, связанной с расчленением решения по временньш шагам. [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...