Деформация Уравнение связи с напряжениям

Уравнение связи между напряжениями и деформациями в приращениях в соответствии с принятой моделью и законом Гука имеет вид [c.16]

При сложном напряженном состоянии материала связь напряжений и деформаций в теории пластичности определяется связью эквивалентных напряжений и деформаций — их интенсивностей. Такой подход используется и при высокоскоростной деформации. Действие интенсивных упруго-пластических и ударных волн характеризуется включением дополнительного параметра — высокого уровня среднего напряжения, которое может оказать влияние на кривую связи интенсивностей напряжений и деформаций. В связи с этим экспериментальное определение влияния величины гидростатического давления на кривую деформирования является необходимым для построения уравнения состояния материала, описывающего его упруго-пласти-ческое деформирование при импульсных нагрузках типа удара и взрыва. [c.201]

Уравнение течения (3.11) и его обращение (3.13) связывают приращения напряжений с приращениями деформаций В связи с этим целесообразно и все остальные уравнения основной теории рассматривать через приращения. Уравнения равновесия принимают форму бег,/, = О, а уравнения, связывающие деформации с перемещениями через приращения, будут иметь такой вид 8гц = (8Ui,j + 6uy, i)/2. [c.330]

На полированной поверхности деформируемого металла часто возникают линии или фигуры течения (линии Людерса-Чернова). На их закономерную связь с напряженным состоянием металла впервые указал Д. К. Чернов. Последующее изучение этого вопроса подтвердило справедливость идеи Д. К. Чернова. Оказалось, что линии Людерса—Чернова это линии максимальных касательных напряжений, вдоль которых отсутствуют деформации удлинения. Их назвали линиями скольжения. Поскольку такие линии совпали с характеристиками дифференциальных уравнений плоской задачи, то теория линий скольжения развилась в самостоятельный раздел математической теории пластичности — метод характеристик. [c.262]

Уравнения связи приращений напряжений и приращений пластических деформаций могут быть получены из выражений для полного дифференциала функции нагружения (9.10), в частности, с использованием соотношений dxn = Afj d j. В данной точке нагружения [c.201]

Поясним смысл приведенной системы определяющих уравнений. Предполагается, что элемент объема, характеризуемый напряжением а, деформацией е, температурой Т, представляет собой совокупность ПЭ (их параметры помечены индексами к к= I, 2,..., N — номер ПЭ). Деформации е всех ПЭ одинаковы и равны деформации элемента е то же относится и к температуре. Деформация ПЭ разделена на три слагаемых упругую тепловую и неупругую р - Первая однозначно связана с напряжением ПЭ модуль упругости у всех ПЭ принимается одинаковым. В итоге, согласно соотношениям (А5.1), он оказывается равен модулю упругости материала в целом. Полагаем его зависящим от температуры. Вторая составляющая определяется температурой свойства теплового расширения так же, как и температура, для всех ПЭ считаются одинаковыми в итоге величины -д одинаковы и оказываются равны тепловой деформации всего элемента Tq). [c.152]

Имея в виду, что задача о кручении рассмотрена отдельно, будем считать внешние силы такими, что М = 0, Уравнений (2.38) недостаточно для определения напряжений являюш,ихся функциями координат точки. Требуются, как обычно, некоторые соотношения геометрического характера, которые вместе с физическими уравнениями связи между напряжениями и деформациями позволяют решить задачу об определении напряжений. [c.121]

В дальнейшем окажется необходимым использовать соотношения, описывающие приращения упругих деформаций в связи с приращением напряжений и температуры. Считая коэффициенты упругости зависящими от температуры, получим из уравнения (1.1) [c.19]

Допустимые напряжения обычно в большей мере зависят от температуры, чем обусловленные ими относительные деформации. В связи с этим предпочтительнее определять деформацию, связанную с допустимым напряжением при нормальной температуре. В первом приближении расчет может быть основан на использовании этого значения, не считаясь с влиянием температуры. Хотя уравнения в табл. 4.2 [c.96]

Решение нелинейных дифференциальных уравнений связано с вполне понятными трудностями, и поэтому для качественной оценки процессов, происходящих в полимере, значительно проще использовать механические модели с линейными параметрами. Однако следует не забывать, что ни одна из этих моделей не будет в точности удовлетворять экспериментальным данным (количественно), если деформации составляют несколько сот процентов или напряжения сравнимы с предельными. [c.34]

Система (3.4.1) 3.4.3) представляет незамкнутую систему уравнений. Для ее замыкания необходимо добавить соотношения, выражающие зависимости напряжений от деформаций, что связано с выбором определенной модели сплошной среды. [c.193]

Строгое обоснование условия пластичности для произвольного деформированного состояния было дано Р. Мизесом (1913 г.) в работе [59]. В дальнейшем это условие получило экспериментальное подтверждение и используется в современной теории пластичности. В частном случае плоской деформации условие пластичности Мизеса переходит в условие пластичности Сен-Венана. В этой же работе Р. Мизесом была получена система уравнений, описывающая пространственное течение пластической среды. Однако, в отличие от уравнений Сен-Венана-Леви, в этих уравнениях связь компонент напряжения с компонентами скоростей деформации была записана в форме соотношений гидродинамики, в которых коэффициент пропорциональности (аналог коэффициента вязкости в гидродинамике) определялся из условия пластичности. [c.10]

Глава I. О с н о в н ы е уравнения механики упругого тела. Здесь на 75 страницах изложены все общие основания теории упругости, а именно а) учение о напряженном состоянии тела б) учение о деформации в) связь между напряжением и деформацией г) выведены дифференциальные уравнения равновесия упругого тела и поставлены две основные задачи 1° определить состояние тела, когда даны силы, на него действующие 2° определить состояние тела, когда даны смещения точек поверхности, ограничивающей тело. [c.9]

Из данного уравнения вытекают условия неразрывности скоростей деформаций (15.7). Учитывая, что компоненты скоростей деформаций связаны с напряжениями зависимостями (15.13), получаем [c.408]

А. Хааром и Т. Карманом, получил определяющие уравнения для идеально пластического тела в виде конечных соотношений связи тензоров напряжения и деформаций. А. Надаи обобщил эти уравнения Генки на случай изотропного тела с упрочнением. Как и в работе Генки, границы применимости конечных уравнений связи тензоров напряжения и деформации для описания пластичности при этом четко не определялись. Ясность в этом вопросе была достигнута позднее, после появления в сороковых годах ряда работ А. А. Ильюшина (см. п. 2.5.). [c.81]

С другой стороны, деформации связаны с напряжениями уравнениями закона Гука таким образом, приходим к уравнениям [c.425]

Решение этой громоздкой системы уравнений связано с большими математическими трудностями. Эти трудности усугубляются тем, что при пластических деформациях отсутствует линейная связь между напряжениями и деформациями, граничные условия зачастую меняются по ходу деформирования, а процесс деформации является немонотонным. Отмеченные трудности вынуждают прибегать при анализе операций обработки металлов давлением к схематизации процессов деформирования. [c.10]

В этом случае в четырех уравнениях шесть неизвестных и задача дважды статически неопределима. Дополнительно можно использовать уравнения связи между напряжениями и деформациями и уравнения неразрывности деформаций, которые внесут, однако, новые неизвестные (шесть деформаций и модуль пластичности). В результате можно получить 13 уравнений с 13 неизвестными [3. Однако несмотря на то, что количество неизвестных будет соответствовать числу уравнений, практически решение этой системы невозможно. [c.176]

Для осесимметричного напряженного состояния есть два уравнения равновесия (3.39), содержащие четыре неизвестных, и условие пластичности (5.14), в которое входят те же неизвестные. Таким образом, осесимметричная задача так же. как и объемная, статически неопределима, и для решения ее требуется привлечение уравнений связи между напряжениями и деформациями (четыре уравнения, которые внесут четыре новых неизвестных) и уравнение совместности деформаций. Всего получим восемь уравнений с восемью неизвестными. Отсюда следует, что осесимметричная задача значительно проще объемной. Однако точные замкнутые решения этой задачи существуют лишь для отдельных частных случаев, когда касательное напряжение на контактной поверхности или отсутствует, или зависит только от одной из двух координат, входящих в условия равновесия. [c.177]

При условии монотонности или приближенной монотонности процесса деформации главные оси деформаций совпадают по направлению с главными осями напряжений. А это значит, что при монотонном процессе и для больших деформаций можно применить уравнения связи между напряжениями и деформациями, полученные для малых деформаций. Эти уравнения Г. А. Смирнов-Аляев берет в форме [c.223]

Определение параметров С-ц и дополнительных деформаций. Ниже приведены формулы для определения параметров Сц в уравнениях связи между напряжениями и деформациями и для дополнительных деформаций. В связи с этим рассмотрим два метода расчета — метод дополнительных деформаций и метод переменных параметров упругости. [c.380]

Угловая деформация ползучести связана с касательным напряжением соотношением (13.36), что позволяет представить уравнение [c.325]

Другое уравнение связано с деформацией вуу, поскольку напряжение руу действует на сферическую упаковку возникающая деформация равна руу/Си- Уменьшение линейных размеров, обусловленное давлением флюида, дает дополнительную деформацию. Следовательно, . [c.78]

Следует, однако, заметить, что имеются молекулярные соображения, на основании которых можно предположить, что в очень слабых растворах полимеров могут наблюдаться напряжения, которые зависят как от истории деформирования, так и от мгновенного значения скорости деформации, причем проявление вязкостных свойств в поведении материала связано с влиянием растворителя. Этот вклад не пренебрежимо мал ввиду крайне низкой концентрации полимера. Таким образом, уравнение (6-4.47) может быть, вероятно, использовано главным образом применительно к разбавленным растворам полимеров. [c.245]

В данной главе излагаются некоторые частные теории пластичности, справедливые для определенных классов процессов нагружения и материалов. Для этих теорий характерна неоднозначная зависимость между напряжениями и деформациями. Напряжения зависят не только от текущих деформаций, но и от того, какова была история деформирования, т. е. от процесса. Определяющие уравнения связи напряжений с деформациями не содержат время в явном виде. [c.250]

Заметим, что в линеаризованном случае связь тензора напряжений с тензором деформаций обычно не содержит плотности р, следовательно, если такая связь построена, то система уравнений (1.156) — (1.157) станет замкнутой, а уравнение неразрывности в этом случае служит для определения изменения плотности по известному из решения системы (1.156)—(1.157) вектору и х, t). [c.33]

Участок ОА соответствует линейно-упругому поведению, когда связь растягивающего напряжения а с продольной деформацией е дается уравнением [c.283]

Если задача статически определима, то напряжения Ох, Оу, Тху находятся независимо от скоростей Ых, Vx. Для нахождения скоростей деформации при найденных напряжениях имеем систему линейных уравнений (IX.9) и (IX.6). Решая ее для заданных граничных условий, определяют поле скоростей. Если задача статически неопределима, необходимо совместное решение уравнений для напряжений и скоростей, что связано с известными трудностями, так как при этом приходится в той или иной мере задавать контуры пластической зоны, дополнять граничные условия для напряжений и учитывать, чтобы распределение скоростей вписывалось в заданные граничные условия. В связи с этим имеет большое значение анализ системы уравнений (1Х.4) и (IX.5), остановимся на этом подробнее. [c.112]

Отыскание деформаций и перемещений связано с рассмотрением физических и геометрических уравнений плоской задачи теории упругости, что в свою очередь приводит к необходимости интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, а это лишает решение того однообразия и четкости, которые свойственны определению напряженного состояния в первой основной задаче. [c.107]

В МДТТ основная задача — построение математических моделей процессов деформирования конструкций. Эта задача решается путем построения обоснованных определяющих уравнений связи между напряжениями и деформациями. Эти уравнения приобретают все большее значение в связи с широким применением ЭВМ и систем автоматизированного проектирования (САПР) при расчетах элементов конструкций и машин за пределом упругости. Однако не математика является главным в построении математических моделей процессов. Определяющие соотношения между напряжениями и деформациями могут быть правильно выражены на языке математики лишь на основе обобщения экспериментальных наблюдений и измерений. [c.85]

При решении задач теории упругости в напря5кениях необходимо отыскивать такие функции напряжений, которые бы не только удовлетворяли уравнениям равновесия (уравнениям Навье), статическим граничным условиям, но также и условиям совместности деформаций. В связи с этим уравнения совместности деформаций Сеп-Венана необходимо представить в напряясениях. [c.55]

Прагер [8] вывел уравнение, описывающее в общем виде соотношение между напряжением и деформацией при пластической деформации деформационно упрочняемых материалов. Это уравнение основано на теории общей деформации и не связано с теорией приращения деформации. Однако, как указано в разделе 4.1, ползучесть характеризуется закономерностями, аналогичными закономерностям нелинейной упругости. Поэтому скорость ползучести часто рассматривают [9, 11 ] с позицией теории общей деформации. В связи с этим в настоящем разделе авторы обсуждают обобщенное уравнение, описывающее соотношение напряжение—скорость ползучести с помощью теории Прагера. [c.102]

Скорости пластических деформаций связаны с напряжениями уравнениями Мизеса (2.207Х [c.76]

Прирашения упругих деформаций в пластической области связаны с напряжениями законом Гука. Если на границе тела заданы нагрузки, то имеется полная система уравнений для определения напряжений в пластической области независимо от деформаций, т.е, задача статически определима. [c.7]

ОС НОРшая задача механики деформируемого твердого тела — описание процессов деформирования с учетом экспериментальных данных, определяющие соотношения которых могли бы быть использованы при решении конкретных технических задач. Поэтому развитие теории механики деформируемого твердого тела идет по пути постепенного усложнения и уточнения определяющих соотношений по мере накопления экспериментальных данных. В качестве основной исходной характеристики обычно принимают деформацию. При упругом деформировании (простейший вид) определяющие уравнения связи между напряжениями и деформациями можно записать, в виде конечных соотношений, при пластическом деформиро Банин — в приращениях или дифференциалах. В последнем случае процесс нагружения-деформирования зависит только от последовательности наложения элементарных процессов (нагрузки, разгрузки, повторной нагрузки и т. п,) и не зависит от промежутков времени, в течение которых эти процессы происходят, т. е. окончательный результат не зависит от масштаба времени. В более общем случае деформирования деформации могут зависеть от масштаба времени, например, изменение деформаций во времени при постоянном напряжении. Поэтому принято полные деформации разделять на мгновенные, или упругопластические, и длительные деформации ползучести. [c.3]

В главах первой и второй получены уравнения равновесия, показывающие зависимость напряжений от координат, и уравнение пластичности, связывающее напряжение с физическими свойствами тела — сопро-, тивлением деформации От. В общем случае объемного напряженного состояния имеем три уравнения равновесия (1.55) и одно уравнение пластичности (2.4), которые содержат шесть неизвестных — три нормальных и три касательных напряжений. Число неизвестных больше числа уравнений. Присоединим к ним шесть уравнений связи между напряжениями и деформациями (1.81) и три уравнения неразрывности деформаций (1.58), в которых содержатся еще семь неизвестных — три линейньш деформации, три деформации сдвига и модуль пластичности второго рода. В результате получаем 13 уравнений с 13 неизвестными. [c.219]

Уравнения движения. Полная система динамических уравнений движения произвольной насыш енной пористой среды была составлена первоначально Я. И. Френкелем (1944). В основу им были положены уравнения движения твердой и жйдкой фаз, уравнение неразрывности для жидкости, уравнения упругих связей деформаций твердой фазы с напряжениями, а также некоторое замыкаюш ее соотношение для пористости. В результате у Френкеля фигурировали пять параметров упругих связей два модуля упругой объемной сжимаемости твердой фазы (скелета среды и материала частиц), сжимаемость жидкости, модуль поперечного сдвига < келета среды и некоторый дополнительный параметр замыкаюш его соотношения для пористости. Л. Я. Косачевский (1959), воспользовавшись вслед за М. А. Био условием суш ествования упругого потенциала рассматриваемой среды, выразил дополнительный параметр Френкеля через остальные четыре. [c.592]

В однородной форме (9.5) эти равенства были получены Бель-трами, а в неоднородной — (9.3) и (9.4)—Митчеллом, ввиду чего их принято называть соотношениями Бельтрами—Митчелла. Приведен-ный выше вывод данных формул наиболее краток, однако его недостатком является то, что при таком способе рассуждений трудно уловить смысл равенств (9.3), (9.4). Между тем этот смысл сразу становится ясен, если вспомнить, что компоненты деформации должны подчиняться шести соотношениям Сен-Венана. А поскольку деформации связаны с напряжениями законом Гука, очевидно, что между напряжениями должны существовать шесть независимых от уравнений равновесия дифференциальных соотношений. При этом оказывается, что формулы Бельтрами — Митчелла суть не что иное, как соотношения Сен-Венана, записанные в напряжениях и упрощенные затем путем использования того обстоятельства, что напряжения должны подчиняться, помимо этого, уравнениям равновесия (5.2). Такой способ вывода равенств (9.3), (9.4), однако, более громоздок, чем тот, который был предпочтен выше. [c.196]

Согласно (2.19) интенсивность скоростей деформации изменяется сравнительно мало но объе.му очага деформации, поэтому в уравнениях связи между напряжениями и скоростями деформации можно воспользоваться средним значением интенсивности скоростей деформации, которое определяют как среднее арифметическое значение для точек с координатами 0(р = 0, 2=0) Л(0,Л) Л(/ , 1+ар2) С(7 , 0) [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...