Зонная структура вычисление

Исчерпывающий обзор как теоретических вычислений, так и экспериментальных данных о зонной структуре металлов. Наряду с данными по электронной теплоемкости значительное место отведено различным другим свойствам. [c.373]

Знание функции зонной структуры оказывается, таким образом, достаточным для вычисления движения электрона в кристалле под действием внешних сил. Для теории всех процессов взаимодействия, которые испытывает электрон в твердом теле, необходимо знание его зонной структуры. [c.95]

Займана [59.2]. Важную роль при количественном вычислении зонных структур играют также метод ОПВ и метод псевдопотенциала с эмпирическим подбором формфакторов из эксперимента. [c.128]

В двухмерном и трехмерном случаях плотности состояний различных ветвей могут перекрываться. Спектр будет сложнее по сравнению с одномерным случаем, где плотность состояний состоит из энергетически разделенных частей обеих ветвей. Как и при зонной структуре Е (Л), для вычисления плотности состоя- [c.149]

Однако, к счастью для нас, матричные элементы очень быстро убывают, когда разность к — к делается достаточно большой. Поэтому можно оборвать сумму по к, оставив в ней только несколько сотен членов. В результате мы получим систему из нескольких сотен уравнений, которые с помощью вычислительной машины можно решить и найти несколько сотен неизвестных. Для каждого вектора к в зоне Бриллюэна существует своя система уравнений. Решив эти уравнения, мы бы получили несколько сотен значений энергии в первых нескольких сотнях зон. В принципе все эти вычисления можно было бы выполнить, и мы нашли бы энергетическую зонную структуру как функцию от к. Мы видим, что этот довольно простой в идейном отношении метод сопряжен с необычайно длинными численными расчетами. Другие методы, которые мы также обсудим, не проще этого, но обладают значительно лучшей сходимостью благодаря выбору в качестве базиса для разложения в ряд более подходящей системы функций. [c.98]

Произведем такое разложение волновых функций по OPW и подставим его в уравнение Шредингера. Мы снова увидим, что связаны между собой только OPW, у которых волновые векторы отличаются на вектор обратной решетки. Соответствующие матричные элементы можно найти, если известен потенциал и волновые функции внутренних оболочек. И снова мы получаем систему уравнений, но на этот раз матричные элементы, связывающие и убывают с ростом к — к значительно быстрее, и можно ограничиться гораздо меньшим числом уравнений. Как будет видно в дальнейшем, для многих применений достаточно только двух или трех OPW для полного расчета зонной структуры необходимо 25—30, а для очень точных расчетов — иногда 50 или 60 OPW. Использование OPW позволяет значительно сократить объем вычислений, необходимых для расчета энергетических зон. Подробнее о методе OPW мы будем говорить несколько позже при обсуждении псевдопотенциалов. [c.100]

К сожалению, не существует сколько-нибудь простого приближенного метода вычисления запрещенной зоны полупроводников. Для получения достаточно полного и обоснованного описания зонной структуры необходимо проводить полный расчет. Если попытаться найти энергетические зоны путем внесения поправок к закону дисперсии свободных электронов, как это мы делали для простых металлов, то выяснится, что матричные элементы псевдопотенциала не просто деформируют ферми-поверхность, а полностью ее уничтожают. Мы не сможем найти электронные состояния полупроводника, используя одну или две OPW. Для этого всегда необходимо рассматривать их несколько, что опять отбрасывает нас, по сути дела, к зонным расчетам. [c.157]

Для любой зонной структуры можно провести вычисление эффективных масс, если мы только знаем или приближенно вычислим волновые функции других зон. Часто можно даже просто оценить величину эффективной массы, зная лишь порядок величины матричных элементов и воспользовавшись экспериментально измеренными значениями запрещенной зоны. [c.162]

Мы тем не менее будем описывать как электроны, так и дырки в изоляторах на основе зонных представлений, а в п. 3—5 настоящего параграфа увидим, как следует изменить эту картину для достаточно узких валентных зон.Начнем с описания метода нахождения зонной структуры на основе приближения сильной связи. Об этом методе применительно к одномерному случаю мы кратко говорили в п. 3 5 гл. I. Тогда же мы упоминали, что, если состояния можно приближенно описывать исходя из атомных волновых функций, локализованных на отдельных атомах, соответствующие энергетические зоны окажутся очень узкими. Поэтому очень большими окажутся эффективные массы. Такое поведение свойственно вычисленным валентным зонам ионных кристаллов, в то время как их зоны проводимости оказываются довольно широкими. [c.171]

НИЙ к, отличающихся от первого на вектор обратной решетки. Но вклад в рассеяние возникнет, согласно (2.64), только если конечное состояние будет иметь ту же энергию нулевого приближения, что и начальное. Эти условия сводятся, конечно, к требованию, чтобы состояние к лежало на плоскости брэгговского отражения, т. е. на гранях зоны Бриллюэна. Для любого из таких электронов вычисленная вероятность перехода оказалась бы огромной. Если, однако, интересоваться электрической проводимостью, то следует иметь в виду, что столь сильное рассеяние претерпевает лишь бесконечно малая доля всех электронов. Удаление даже всех их из процесса проводимости не может привести к сколько-нибудь заметному изменению величины проводимости. Это взаимодействие более разумно учитывать в зонной структуре. Для любого же электрона, волновой вектор которого не лежит в плоскости брэгговского отражения, такие матричные элементы вклада в рассеяние не дают. Обратимся поэтому к матричным элементам, определяемым соотношением (2.63). Вероятность рассеяния есть [c.222]

Имеются и слагаемые другого типа, в которых один из матричных элементов в сумме выражения (2.69) есть матричный элемент псевдопотеициала идеальной решетки. Такие слагаемые дают вклад при любых к, поскольку дельта-функция по-прежнему связывает только векторы к и к, а промежуточные состояния вовсе не должны иметь ту же энергию. Довольно просто убедиться в том, что эти слагаемые имеют такой же порядок по М, как и слагаемые высших порядков первого типа, равно как и слагаемые первого порядка. Матричные элементы псевдопотеициала идеального кристалла дают поправки к рассеянию, обусловленные зонной структурой. Эти эффекты легко поддаются вычислению, причем такие вычисления неизмеримо проще тех, с которыми нам пришлось бы столкнуться, если бы мы не использовали псевдопотенциалы. В принципе можно было бы сначала найти зонную структуру, а затем попытаться определить рассеяние с помощью табулированных волновых функций и энергий. Такие вычисления были бы чрезвычайно сложными. Используя же теорию возмущений в высших порядках, можно систематически учитывать слагаемые в каждом заданном порядке по псевдопотенциалу и легко получить таким образом осмысленные результаты для простых металлов. Подобные вычисления приводят к результатам при весьма незначительных затратах усилий. [c.224]

Без учета гибридизации операторы равны либо нулю, либо единице, и задача по существу сводится к задаче о невзаимодействующих частицах. При учете гибридизации слагаемое, отвечающее кулоновскому взаимодействию, делает проблему существенно многочастичной. Ее, однако, можно решить в приближении самосогласованного поля. При рассмотрении состояния со спином вверх оператор п в кулоновском слагаемом мы заменяем его средним значением. Это приближение совершенно аналогично используемой при вычислениях зонной структуры замене кулоновского взаимодействия потенциалом, отвечающим средней плотности заряда всех других электронов. Тогда гамильтониан (5.36) для состояний со спином вверх принимает форму [c.542]

Заметим, что формфактор рассеяния назад играет при вычислении энергии зонной структуры (1.36) более важную роДь, чем формфактор рассеяния вперед. Это связано с тем, что для рассеяния назад соответствующие знаменатели в дробях второго [c.140]

В настоящей главе (как и в гл. 8—10) потенциал С/ (г) считается заданной функцией. Это означает, что либо мы проводим первую стадию итерационной процедуры, либо нам настолько хорошо удалось угадать вид потенциала V (г), что он с самого начала является в достаточной мере самосогласованным. Надежность описываемых ниже методов ограничена не только точностью вычисления решений уравнения (11.1), которая может быть чрезвычайно высокой, но и точностью, с которой мы можем определить потенциал С/ (г). Получающиеся в результате значения 8 (к), к сожалению, довольно чувствительны к ошибкам в построении потенциала, поэтому часто оказывается, что в конечном счете точность рассчитанной зонной структуры ограничена не трудностями решения уравнения Шредингера (11.1) для заданного II, а проблемой нахождения потенциала. Это хорошо видно из фиг. 11.1. [c.196]

Первой серьезной попыткой расчета зонной структуры (помимо более ранних вычислений Блоха, основанных на использовании метода сильной связи) явился метод ячеек Вигнера и Зейтца [4]. Прежде всего в методе используется то обстоятельство, что в силу соотношения Блоха (8.6), т. е. [c.199]

Существует много остроумных способов минимизации несогласованности волновых функций на границах ячейки, возникающей из-за того, что граничные условия могут быть наложены только в конечном числе точек. Благодаря изобретательности исследователей и способности ЭВМ производить вычисления с большими детерминантами с помощью метода ячеек удается выполнять очень точные расчеты 2). Получаемые зонные структуры находятся в хорошем согласии с результатами применения других методов, описанных ниже. [c.201]

Полуклассическая модель позволяет предсказать, как в отсутствие столкновений меняются со временем координата г и волновой вектор к электрона ) при наличии внешних электрических и магнитных нолей. Такое предсказание можно сделать, исходя лишь из знания зонной структуры металла, т. е. вида функций < п(к), и не используя никакой дополнительной информации о периодическом потенциале ионов. В полуклассической модели функции < п(к)] предполагаются известными, и метод их расчета не указывается. Цель модели состоит в установлении связи между зонной структурой и кинетическими характеристиками (т. е. реакцией электронов на приложенные внешние поля и градиенты температуры). Она применяется для расчета кинетических коэффициентов по заданной (вычисленной) зонной структуре, а также для определения свойств зонной структуры но наблюдаемым кинетическим характеристикам ). [c.220]

Расчеты зонных структур из первых принципов в целом правильно описывают общий характер изменения искажений ПФ в ряду щелочных металлов значительные искажения ПФ у Li, почти идеальная сфера у Na и затем последовательное возрастание искажений ПФ у К, Rb и s. Однако качество согласия теоретических расчетов с наблюдаемыми величинами пока еще значительно уступает достигнутой экспериментальной точности (ссылки см. в работах [155, 255, 281, 360]). Причина, несомненно, заключается в том, что вычисление малых отклонений чувствительно к многим принятым приближениям можно надеяться, что наличие точных экспериментальных данных будет способствовать улучшению качества аппроксимации. [c.241]

Отношение экспериментально измеренной скорости в данной точке на ПФ к значению скорости, полученному с помощью расчета зонной структуры без учета многочастичных эффектов, дает обратную величину электрон-фононного увеличивающего множителя 1 + Х(Аг) (как обсуждалось в разд. 2.6, вклад электрон-электронного взаимодействия невелик). Зависимость Х(Аг), полученная из значений скорости у, вычисленных Ли [257] методом расчета зонных структур, оказывается заметно анизотропной (рис. 5.13). Было найдено, что среднее по ПФ значение X равно 0,11, в то время как теоретические оценки колеблются от 0,12 до 0,15. Учитывая неопределенность скоростей, полученных из расчета зонной структуры, а также погрешность теоретических оценок X (типичная величина ошибки 0,02), такое согласие следует считать удовлетворительным, хотя, конечно, оно было бы более убедительным, если бы существовали также теоретические расчеты величины анизотропии X. [c.256]

Для количественного объяснения этого явления необходимо располагать данными о структуре ii-зоны. Для Зй -зоны соответствующие вычисления были проведены Кратером [169] и позднее Слэтером [170], результаты которого приведены па фиг. 21. Вертикальными пунктирными линиями проведены границы, до которых происходит заполнение Зй-зоны соответствующим количеством электронов (числа вверху). На фиг. 21 изображена также 4s-30Ha, перекрывающаяся с Зс -зоной. Очевидно, что в том случае, когда граница [c.358]

Мггановление связей Ш. о. с. с силами, действующими в квантовых системах,— одна из фундам. задач физики. Наиб, изучено одномерное движение частицы (волны) во внеш. поле. Принципиально разработаны методы воздействия на свантовую систему, к-рые позволяют, изменяя форму потенциала v, трансформировать Ш. о. с. поднять или опустить определ. уровень энергии, уничтожить его или породить новый, передвинуть любое состояние в пространстве, нреобразовать зонную структуру периодич. поля, т. е. направленно изменить свойства системы. Этим методам отвечают точные решения обратной задачи рассеяния (см. Обратной задачи рассеяния метод), но в то же время возможно наглядное (качественное) рассмотрение, к-рое позволяет без вычислений установить, какова в общих чертах должна быть конфигурация внеш. поля, воздействующего на систему, для достижения желаемого изменения её Ш. о. с. [c.469]

Альтернативным (взаимоисключающим) подходом к вычислению свойств переноса электронов в жидких металлах является вычисление электронных состояний, т. е. зонной структуры для разупорядоченной системы. Несмотря на то что в последние годы в этой области достигли значительного успеха, результаты теоретических расчетов пока невозможно сравнивать с экспериментальными данными. Более детально этим занимался Кьюзак [291]. Большая часть опубликованных работ была проделана с моделью одномерной цепочки жидкости, в которую разупорядочение вносили только, изменяя межатомный промежуток. Такие модели, не способные дать нужные результаты для сравнения с действительной жидкостью, могут помочь найти методы вычисления для использования в более точных аппроксимациях [298, 299, 323, 325]. Результаты, полученные Мейкинзоном и Робертсом [325], показывают, что энергетический разрыв может быть даже при нарушении дальнего и ближнего порядков, но он быстро закрывается, когда степень разупорядочения увеличивается. [c.109]

Металлы. Наиболее исчерпывающее описание свойств металлов было дано, несомненно, в монографии [8]. В ней рассмотрены свойства первых 50 элементарных металлов, которые рассчитаны с использованием зонной структуры (найденной методом Кона — Корринги — Ростокера) и с применением приближения функционала локальной плотности или локальной спиновой плотности для учета обмена и корреляции. Расхождения между вычисленными значениями энергии связи, параметров решетки и объемного модуля и экспериментальными значениями не [c.193]

Мы упомянем два других теоретических подхода, применяемых для рассмотрения неупорядоченных систем, которые не вполне точно соответствуют модели молекулярных орбиталей или другим рассмотренным моделям. В одном из этих подходов рассматриваются кластеры из N атомов с заданным расположением. Электронные взаимодействия внутри кластера рассчитываются точно, но взаимодействия с атомами за пределами кластера учитываются приближенными методами [155, 156]. В другом подходе рассматриваются кристаллы с достаточно большим числом атомов N в элементарной ячейке, чтобы таким образом аппроксимировать некоторую область внутри аморфного тела затем используются обычные методы расчета зонной структуры [145]. Оба эти подхода дают более надежные результаты при увеличении числа N. Поскольку объем необходимых вычислений очень быстро возрастает с ростом N, эти подходы ограничиваются экономией машинного времени. Заинтересованному читателю следует обратиться к обзорной статье Торпа и Уэйра [239]. [c.93]

Галоидно-щелочные соединения. Вычисления зонных структур проведены для двух галоидно-щелочных соединений — фтористого лития и хлористого натрия. Кроме того, былн проведены [c.468]

ГИЯ, требуемая на перенос электрона от свободного иона кислорода к свободному иону цинка, равна — 26,9 eV. Та же величина для S— и Zn++ равна — 22,9 eV. Соберём теперь ионы в решётки ZnO и ZnS и будем постепенно уменьшать постоянную решётки, начиная от бесконечно больших значений. Потенциал решётки в тех точках, где находятся положительные ионы, отрицателен, и наоборот, так что во время этого процесса уровни отрицательных ионов понижаются, а уровни положительных ионов повышаются. Это изменение обозначено пунктирными линиями на рис. 215 и 216 из них виден общий сдвиг, который может быть вычислен из потенциалов Маделунга решёток окиси цинка и сульфида цинка. При наблюдаемых междуатомных расстояниях дискретные уровни свободных ионов расширяются в полосы, характерные для зонной структуры, а ниже первой незаполненной зоны, которая адиабатически связана с наиннзшим уровнем свободного Zn- -, [c.475]

Зонная структура алмаза. Несмотря на важность этого вопроса, работ по количественному рассмотрению ковалентных связей в кристаллах практически не имеется. Причина этого, как мы упомянули в 97, заключается в том, что простейшие атомы, образующие валентные кристаллы, имеют так много валентных электронов, обусловливающих главным образом связь в кристалле, что вычисления становятся много сложнее, чем в случае простых металлов или солей. Имеется работа по полуколичественному исследованию зонной структуры алмаза и качественному рассмотрению наиболее пригодной формы функции Г айтлера-Лондона для атома в валентном кристалле с тетраэдрическим расположением ближайших соседей. Это рассмотрение применяется главным [c.480]

НИЙ. Таким образом, мы начинаем постробние теории зон с расчета в приближении сильной связи d-состояний точно так же, как мы рассчитывали зонную структуру изоляторов. В-четвертых, вместо того чтобы брать в качестве ф > плоскую волну, мы выполним многоволновой OPW расчет ф>, основываясь на псевдопотенциале (2.80). Наконец, вводя гибридизацию, мы будем пользоваться матричными элементами А, полученными с помощью уже вычисленных ф) и d-состояний, найденных в приближении сильной связи. [c.231]

Как и раньше, мы рассчитаем рассеяние, расслютрев псевдопотенциал как возмущение и использовав псевдоволновые функции нулевого порядка (плоские волны.) Теперь мы не можем, как это делали в случае рассеяния на примесях, выделить в матричных элементах члены, ответственные за зонную структуру, и члены, отвечающие наличию дефектов. Такого четкого разделения больше нет, и мы вынуждены писать полный матричный элемент. Это можно сделать таким же образом, как и при вычислении энергии жидких металлов, представляя матричный элемент в виде произведения структурного фактора и формфактора. Результат вполне аналогичен полученному в п. 6 8 во втором порядке теории возмущений [c.253]

Такая процедура фактически требует только умения строить тот кристаллический потенциал, который впдят электроны в кристалле. Рецепт построения можно заимствовать в методе расчета зонных структур с помощью секулярных уравнений (см. 10, где эта процедура описана). Вычисление функции hiE) и определение At по (2.101) не предстаБляет труда (с точки зрения расчета на ЭВМ). Таким образом, можно построить модельный псевдопотенциал, в котором автоматически учтено экранирование атома свободным электронным газом (поскольку для зонных расчетов строится именно экранированный потенциал). [c.52]

Анализ формул (4.44), (4.45) приводит к побочному , но важному результату. Становится нонятпо, почему удается осуществить подгонку параметров псевдопотенциала, входящего в секулярное уравнение, даже нри использовании матриц малой размерности энергетическая зависимость формфакторов псевдопотенциала такова, что отбрасывание матричных элементов с большими номерами векторов обратной решетки эквивалентно их учету по формуле (4.44) в формфакторах матрицы меньшей размерности. Иными словами, отброшенные члены на самом деле будут включены в параметры псевдопотенциала. Это значит, что псевдопотенциалы, подогнанные для вычисления зонной структуры с использованием матриц малой размерности, почти наверняка будут непригодны для расчета других характеристик кристаллов, где свертка не производится. [c.158]

Линейная зависимость пробных функций начинает сказываться только нри больших размерностях матриц — порядка 1000. По и до этого плохая сходимость метода ОПВ проявляется в следующем. При увеличении размерности матрицы найденное решение (значепие энергии уровня) должно стремиться к какому-то пределу. В методе ОПВ матрица даже сравнительно малой размерности дает хорошее приближение к правильному ответу (известному, иагЕример, с помощью другого метода расчета зонной структуры) с ростом размерности матрицы решение начинает осциллировать вблизи этого ответа. Если требуется большая точность вычисления собственных значений, то с помощью метода ОПВ ее достигнуть, видимо, нельзя [316—320] ). [c.159]

Наконец, в-третьих, полученный в [12] результат указывает на допустимость во многих случаях использования второго порядка теории возмущений (6.22) в ириближенпи ферми-сферы для вычисления энергии зонной структуры. Причина этого, согласно [17], обусловлена тем, что в этих расчетах суммирование [c.232]

Таким образом, теория когезионной энергии ковалентных кристаллов и металлов до тжна содержать расчет их зонной структуры ). По этой причине для таких тел не существует никакой модели когезии, которая хотя бы отдаленно была сравнима по своей простоте с описанными выше моделями молекулярных и ионных кристаллов. При проведении вычислений с аналогичной точностью здесь следует использовать методы, изложенные в гл. 10, 11 и 17. Мы ограничимся лишь несколькими качественными замечаниями о ковалентных кристаллах и приведем ряд грубых и весьма приблизительных оценок для металлов, основываясь на модели свободных электронов. [c.39]

Это есть уравнение для локатора в среде которое легко решается. Будучи выписано полностью, оно оказывается очень похожим на уравнение (9.54). Видно, таким образом, что мы имеем здесь одноузельное приближение метода когерентного потенциала. Заметим, однако, что уравнение (9.100) не дает правильного ответа в предельном случае одной зоны, поскольку с исчезновением беспорядка формула (9.97) не приводит к точной зонной структуре идеального кристалла. С другой стороны, аналитические свойства представления через непрерывную дробь вполне удовлетворительны. Эту аппроксимацию можно усовершенствовать, если при вычислении локатора сделать несколько шагов, описываемых рекуррентным соотношением (9.96), а уже затем оборвать цепочку, подставив в последний знаменатель локатор в среде [53]. Таким путем можно построить кластерное приближение, доступное для расчета и позволяющее продвинуться дальше, чем одноузельный метод когерентного потенциала. [c.413]

После того как создана достаточно подробная качественная модель различных листов поверхности Ферми и произведена проверка этой модели по зависимости Р от ориентации в разных плоскостях вращения, модель должна быть задана в более точном количественном виде и должны быть определены ее параметры. Лучше всего, если поверхность может быть задана аналитическим выражением, з итывающим симметрию кристалла и содержащим только несколько параметров, которые находятся эмпирически При подгонке этого выражения к экспериментальным данным по частотам. Задать поверхность таким образом оказывается возможным только для нескольких металлов (например, с помощью разложения по кубическим гармоникам для щелочных металлов, разлоясения в ряды Фурье для благородных металлов или аппроксимации эллипсоидами в случае Ы). Преимущество такого способа заключается в том, что он дает простое объективное описание поверхности, не связанное с какой бы то ни было теорией зонной структуры. Правда, в последние годы расчеты зонных структур становятся эсе более надежными и возможен также иной подход (в некоторых случаях единственно применимый) — сопоставление измеренных значений Р с предсказаниями параметризованного расчета зонной структуры, параметры которого [например, фазовые сдвиги и энергия Ферми в методе Корринги — Кона — Ростокера (ККР) или набор коэффициентов псевдопотенциала] используются как подгоно ые при аппроксимации экспериментальных данных. Этот подход требует более сложных вычислений, так как переход к -спектру от принятых [c.225]

Гораздо больший успех был достигнут при использовании параметризованных расчетов зонной структуры (разных степеней сложности), в которых согласие вычисленной ПФ с экспериментом достигается путем подгонки параметров. В простейшем варианте такого подхода (впервые примененном Ашкрофтом [30]) электроны рассматриваются как почти свободные, но вводится возмущение сравнительно слабым локальным псевдопотенциалом, определяемым небольшим числом коэффициентов Фурье Kjoq, Ущ и т.д. Ли [254] экспериментально определил поверхность Ферми Na и сумел добиться хорошего качества ее аппроксимации (с точностью лучше экспериментальной), используя всего один коэффициент и выбрав его равным [c.241]

Как уже говорилось, выясняется, что отклонения от модели строго свободных электронов могут быть хорошо описаны с помощью псевдопотенциалов, хотя в определенной степени следует учитывать нелокальность и спин-орбитальное взаимодействие, особенно в случае Сс1 ([234] (М ), [419] (7п, Сс1), [440] (Ве)). Результаты также хорошо согласуются в пределах собственных погрешностей вычислений с расчетами зонной структуры из первых принципов, например Фаликова [141] для Mg и Лаукса и Катлера [274] для Ве. [c.272]

Чтобы решить задачу обращения (8.12) и получить г (к) из значений температуры Дингла, измеренных при разных ориентациях, надо начать с разложения функции т(к) в ряд по подходящему базису. Коэффициенты разложения и являются подлежащими вычислению параметрами. Для кристаллов кубической симметрии подходят те же методы, которые использовались в гл. 5 при определении формы поверхности Ферми, и, как и при обращении данных для определения ПФ, для благородных металлов лучше подходит разложение в ряд Фурье (5.7), а для щелочных металлов— разложение по кубическим гармоникам (5.2). Более общий способ обращения, основанный на параметризации зонной структуры, будет рассмотрен позднее. Если в общем случае разложение представить в виде [c.451]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...