Вполне интегрируемая систем

При е = О имеем вполне интегрируемую систему — математический маятник. В этой задаче можно перейти к переменным действие—угол 1, (р mod 2тг [c.249]

К открытию интересного класса вполне интегрируемых систем с конечным числом степеней свободы. Эти системы строятся следующим образом. [c.468]

При столь быстром и всестороннем развитии в этой области настоящее собрание 14 глав не может претендовать на роль синтеза или обзора результатов по моделям, связанным тем или иным образом с методом Бете. Последний, впрочем, обнаруживает в настоящее время тенденцию к погружению в общую теорию вполне интегрируемых систем, как прием, вытекающий из метода обратной задачи рассеяния. Моя точка зрения носит здесь скорее конкретный, нежели общий характер и совпадает с подходом, принятым в моей первой публикации 1972 г. по методу Бете для точно решаемых моделей, расширением которого с учетом достижений сегодняшнего дня является эта книга. Рассмотрение ограничивается конечными или протяженными системами статистической механики, оставляя в стороне прекрасные владения теории поля исключение составляют лишь некоторые элементарные соображения гл. 6. Я просто привел в порядок вопросы, которые меня интересовали, имея в виду тех читателей, которых привлечет изящество конструкций и всеобъемлющий характер метода Бете как такового. Использованы самые простые математические средства, и в отношении строгости читатель имеет полное право требовать большего в этом случае следует обратиться к оригинальным публикациям и многочисленным новейшим работам по данному вопросу. [c.11]

Отметим только качественные отличия в движении систем с интегрируемыми и с неинтегрируемыми (неголономными) связями. Кинематические связи в обоих случаях не изменяют конфигурационного многообразия системы, и система может находиться в любой точке многообразия. Однако если в случае неголономных связей систему можно из любой точки многообразия перевести подходящими силами в любую другую, то для случая вполне интегрируемых связей система из точки q° может быть переведена в точку только, если [c.131]

Локальные изоморфизмы невырожденных вполне интегрируемых гамильтоновых систем, о которых шла речь в п. 5 введения, в ряде случаев могут быть продолжены до изоморфизмов в целом. Приведем соответствующие примеры. [c.94]

При к = О общее решение исходной системы дифференциальных уравнений не может быть мероморфным. В частности, в этом случае гамильтонова система (9.11) не является алгебраически вполне интегрируемой. На этом простом замечании основан метод Ковалевской распознавания алгебраически интегрируемых систем дифференциальных уравнений, впервые примененный ею к уравнениям вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [73]. Оказалось, что в этой задаче к О лишь в интегрируемых случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Метод Ковалевской с успехом используется для отыскания новых интегрируемых задач классической механики и математической физики. [c.119]

В этой главе изложены восходящие к А. Пуанкаре способы доказательства неинтегрируемости, основанные на анализе асимптотических поверхностей гамильтоновых систем, мало отличающихся от вполне интегрируемых. [c.252]

В 9 гл. II были введены числа Ковалевской это — количество различных полных семейств мероморфных решений аналитических систем дифференциальных уравнений. Ниже числа Ковалевской будут найдены для одного класса гамильтоновых систем, обобщающих цепочки Тоды. Будет показано, что системы с максимально возможным числом Ковалевской вполне интегрируемы. Этот любопытный результат аналогичен классическому результату Ковалевской в динамике тяжелого твердого тела. [c.346]

На первый взгляд, первая группа интегралов (2.26) дает общее решение системы (2.3), (2.4), зависящее от 2п произвольных постоянных aj, bj, тогда как порядок системы равен к п. Однако в действительности решение будет зависеть только от к п постоянных. В самом деле, связи, наложенные на систему, выражаются вполне интегрируемой системой уравнений (1.1), которую можно привести к виду dФi = = О j = к 1,..., п). Согласно (1.6) эти равенства дают соотношения [c.26]

Аналитическое направление ставит задачи о представлении переменных параметров любых систем небесных тел при помощи рядов, абсолютно и равномерно сходящихся для всех значений времени, заключенных в достаточно обширном промежутке, а также о достаточно эффек-, тивных оценках остаточных членов этих рядов. К этому же направлению относятся изыскания новых частных решений задачи трех и многих тел и нахождение вполне интегрируемых случаев этих и других задач. [c.333]

Выход в свет перевода нашей книги на русский язык доставляет нам огромное удовлетворение. Современная теория динамических систем в том виде, как она представлена в этой книге, имеет несколько основных источников, и среди них вклад русской школы, в особенности в период с начала пятидесятых до середины семидесятых годов, занимает выдающееся место. В начале этого периода А. Н. Колмогоров выдвинул программу изучения классических динамических систем с использованием методов современного анализа и теории вероятностей. Эта программа, а также первые результаты ее реализации коротко, но весьма убедительно изложены в пленарном докладе Колмогорова на Международном Математическом Конгрессе 1954 года в Амстердаме. Вклад самого Колмогорова в развитие теории динамических систем трудно переоценить теория возмущений вполне интегрируемых гамильтоновых систем и введение энтропии являются, пожалуй, самыми важными достижениями, относящимися соответственно к устойчивому и хаотическому поведению в динамике. [c.10]

В этом параграфе мы рассмотрим некоторое обобщение поворотов окружности, являющееся частным случаям групповых сдвигов. Этот пример играет центральную роль в теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем, которой мы коснемся в конце следующего параграфа. Фазовое пространство здесь представляет собой п-мерный тор [c.43]

Мы вернемся к рассмотрению вполне интегрируемых гамильтоновых систем в п. 5.5 в. В частности, теорема Лиувилля — Арнольда 5.5.21 демонстрирует естественность данного выше определения полной интегрируемости. [c.49]

Гамильтонову систему с каждой функцией Гамильтона Fi,F называют вполне интегрируемой. [c.124]

Пргшеры вполне интегрируемых систем В новых переменных уравнения (5.2) при лут вид [c.91]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Картан Э. Геометрия римановых пространств. — М. Л. ОНТИ, 1936. Теорема доказана в предположении, что функции Gsf(a , а , а" ) дважды непрерывно дифференцируемы по всем переменным а в некоторой односвязной области их задания. В Курсе математического анализа Э. Гурса (т.II) доказывается существование голоморфных решений вполне интегрируемых систем с голо-> орфными правыми частями. [c.51]

При осмысливании этого парадокса возникают два вопроса первый и главный — почему нет перемешивания второй — почему система не приходит к какому-либо равновесному состоянию (например, последовательности солитонов), а периодически колеблется Прежде чем ответить на эти вопросы, напомним, что рассматриваемые системы консервативны, т. е. в фазовом пространстве соответствующих им конечномерных моделей (из N взаимодействующих гармоник) не может быть ни асимптотических устойчивых состояний равновесия, ни каких-либо других аттракторов (предельных траекторий или множеств траекторий, возможных в системах, где есть сжатие фазового объема). Однако в фазовом пространстве таких систем, как мы увидим в гл. 22 и 23, даже при небольшом числе N возможно существование хотя и не притягивающих, но занимающих достаточно большую область в фазовом пространстве множеств, устроенных очень сложно, движение внутри которых и отвечает нашим интуитивным представлениям о перемешивании. Обсуждаемые нами сейчас системы принадлежат к классу вполне интегрируемых систем, в которых существование подобных сложных (перемешивающих) областей в фазовом пространстве невозмож- [c.421]

Было бы интересно, не слишком отклоняясь от предмета данной главы, показать здесь тесную связь этих соотношений, с одной стороны, с условием ассоциативности алгебры полевых операторов, рассмотренной Замолодчиковым (1979) в связи с построением факторизованных S-матриц, а с другой — с алгеброй матриц перехода вполне интегрируемых систем, исследованных Фаддеевым (1979). Тем не менее в нашу задачу не входит углубляться в рассмотрение метода обратной задачи рассеяния, несмотря на его связь с методом Бете, и мы отсылаем читателя к современной литературе по этому вопросу ). [c.229]

Следовательно, распространение алгоритма асимптотической декомпозиции на пфаффовы системы является прямым обобщением результатов, полученных в предыдущих главах. Следует отметить качественный скачок в методике обоснования алгоритма асимптотической декомпозиции, обусловленный переходом от одного операторного уравнения в системе (1.22) в случае обыкновенных дифференциальных уравнений к системе операторных уравнений в случае пфаффовой системы. В первом случае решение одного операторного уравнения сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, во втором исследование системы операторных уравнений приводит к необходимости решения вполне интегрируемых систем и систем в инволюции. [c.260]

ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ квантовой теории поля и стапистичсской ф и з и к и (вполне интегрируемые системы), матем. модели физ. систем, допускающие точное вычисление собсзв. функций и собств. значений гамильтониана таких систем, а также статистич. суммы для них как правило, это системы низкой пространственной размерности (одно- или двумерные см., напр., Двумерные модели квантовой теории поля). Т. р. м, имеют принципиальное значение в физике фазовых переходов. [c.150]

И новых координатах 1 = Ру — < 4- Следовательно, функция Гамильтона И не зависи г от сопряженных переменных З2 и /З . Таким образом, число счененей (чюбоды понижено на две единицы получено зависящее о т двух параме гров 2 и семейство гамиль-гоновых систем с двумя степенями свободы. Симплектическими координатами являются переменные i, з, / Ь/бз. При аг = 4 = 0 <1>ункция М является интегралом приведенной системы. Следовательно, эта гамильтонова система с двумя степенями свободы вполне интегрируема, В частности, функции i, з,/ui,/З3 можно найти с помощью квадратур. Оставшиеся циклические координаты (З2 и /У4 ввиду формул р2 = дК/да2, 4 — дК/да , К а,[3) = = Н х,у) находятся простым интегрированием. [c.93]

Недавно найдены другие неожиданные изоморфизмы ряда проинтегрированных задач динамики. Так, например, в [201] указано дробно-линейное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в работе [179] найден аналогичный изоморфизм волчка Горячева—Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Эти результаты основываются на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоновых систем (см. [178]). [c.97]

При п > 1 дополнение к множеству колмогоровских торов связно, поэтому непостоянную канторову лестницу построить уже нельзя это дополнение всюду плотно в фазовом пространстве возмущенной системы, и любая постоянная на нем непрерывная функция принимает всюду одно и то же значение. В частности, появляется принципиальная возможность наличия траекторий, всюду плотных в связной щели между колмогоровскими торами. Пе исключено, что на самом деле такая ситуация является типичной (обсуждение см., например, в [9]). Отсюда вытекало бы несуществование непостоянных непрерывных интегралов возмущенных вполне интегрируемых гамильтоновых систем. [c.186]

В свою очередь, эта задача тесно связана с теорией корневых систем, играющих важную роль в современной математике (конечные группы отражений евклидовых пространств, полупростые алгебры Ли и т. д. см., например, [35]). Неожиданная связь между вполне интегрируемыми обобщенными цепочками Тоды и корневыми системами, подмеченная впервые О. И. Еюгоявленским [180], выглядит весьма таинственной. [c.348]

В заключение нам хотелось бы подчеркнуть, что приведенные здесь элементы различных подходов и их взаимосвязи, с нашей точки зрения, достаточно наглядно свидетельствуют о наличии чрезвычайно богатой внутренней структуры интегрируемых систем и, в частности, рассматривавшегося более подробно уравнения Эрнста. Каждый из существующих подходов к описанию различных аспектов внутренней структуры вполне интегрируемых уравнений обладает своей красотой и, конечно же, заслуживает значительно более детального рассмотрения и анализа. Не надеясь о этом сравнительно кратком обзоре сколь-нибудь полно отразить разнообразные применения, а также все достоинства упомянутых здесь методов, мы хотели лишь выделить некоторые существующие взаимосвязи и аналогии, возникающие при рассмотрении различных случаев интегрируемости и подходов к построению преобразований Беклунда, что может способствовать формированию более общих представлений о структуре интегрируемых уравнений, выделению наиболее общих свойств и закономерностей, а также помочь выделить на этом фоне спепифические особенности некоторых из рассматриваемых уравнений, которые могут указывать новые пути к их интегрированию. [c.60]

В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации особо замечательных решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. [c.17]

Укажем дополнительные условия, при которых система (4.6) вполне интегрируема. Действительно, при b = Ь2 = = г = О мы имеем интегрируемый случай Клебша (при с = О — систему Неймана), а при Ъ =Ъ2 = = Ьз = О, с = О — случай Лагранжа для одного поля. [c.250]

Гамильтонова динамика. Теория гамильтоновых систем возникла как самостоятельная область математики в рамках теорнн динамических систем благодаря книге Арнольда [26]. Книга Абрахама и Марсдена [1] содержит много полезных подготовительных результатов, а также довольно подробное описание многих вопросов. Несколько учебников по классической механике были написаны под влиянием этих идей и могут сами то себе служить хорошими источниками информации (напрнмер, [94]). Ввиэт отсутствия полной монографии по КАМ-теории Колмогорова — Арнольда — Мозера книга [219] и статьи [215], [216] Мозера представляют собой лучшие из имеющихся введений в эту теорию. Статья Мозера в [105] является хорошим введением в современную теорию конечномерных вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Очень важным инструментом в гамильтоновой динамике являются вариационные методы. Хорошее изложение этого предмета содержится в [84]. [c.722]

Метод, используемый в доказательстве теоремы 12.6.1, был впервые предложен Аносовым и Катком в [19]. Среди его приложений были первые конструкции эргодических диффеоморфизмов с инвариантной мерой иа произвольных многообразиях, конструкции минимальных и вполне эргодических диффеоморфизмов многообразий, допускающих локально свободное действие 5, и т. д. Гамильтонов вариант метода представлен в [136]. Позже Эрмаи и Йоккос разрабатывали этот метод и использовали его для нахождения инвариантных торов с нестандартными свойствами для типичных возмущений вполне интегрируемых гамильтоновых систем. [c.731]

Задачи такого типа впервые возникли при изучении изоспек-тральных деформаций для ряда нелинейных задач математической физики. В случае обратимости соответствующих преобразований в рамках данного подхода был развит метод обратной задачи рассеяния (см., например, [1, 33, 85, 87, 115]), позволивший для некоторых нелинейных волновых уравнений типа Кортевега — де Фриза (КдФ) и его модификаций, уравнений Кадомцева — Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений синус-Гордона и др., получить специальный подкласс солитоноподобных решений. Этот метод по сути дела является нелинейным обобщением анализа Фурье и может рассматриваться как нелокальная линеаризация исходных нелинейных волновых уравнений, ассоциируемых с заданной линейной задачей на собственные значения посредством условия интегрируемости пары дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем уравнения, обладающие решениями такого сорта, полученными в рамках метода обратной задачи или эквивалентных ему, будем условно называть вполне интегрируемыми. Термин точной интегрируемости сохраним для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются [c.8]

Применение операции сжатия простых алгебр Ли (как конечно-, так и бесконечномерных конечного роста) позволяет получить целый ряд других нелинейных интегрируемых систем, пользуясь симметрийными свойствами их матриц Картана (см. п. 4а, IV. 1). Действительно, такая операция соответствует переходу от алгебры к ее простой подалгебре снабженной трансляциями, и так как исходная система (III. 1.10) вполне интегрируема, то предельный переход по функциям х/ и л ,-, скажем, Xj- x j, х -—х х, относительно которых система (III. 1.10) — симметричная (xj xi), приводит также к точно интегрируемой системе. [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...