Алгебра матриц

Данный задачник отличается от подобных изданий тем, что в него впервые включены задачи, решаемые с помощью ЭВМ. Это прежде всего задачи на неустановившиеся режимы работы гидроприводов и на расчет сложных гидравлических систем. Для их решения студенты должны иметь подготовку по основам программирования, знать алгебру матриц и численные методы решения уравнений. Краткие сведения из алгебры матриц приводятся в Приложении. [c.3]

Приложение 6 Некоторые сведения из алгебры матриц [c.179]

Применение алгебры матриц для систематического изучения пространственных вращений редко встречается в учебниках по классической механике [c.161]

В алгебре матриц определяются следующие действия над матрицами а) сложение матриц б) умножение матрицы на число в) умножение матриц. Указанные действия позволяют вычислить соответственно сумму матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц и, как следствие, разность матриц. [c.41]

Вычисление произведения винтовых аффиноров осуществляется аналогично произведению матриц, причем на произведения винтовых аффиноров распространяются все основные правила алгебры матриц, в частности произведение аффиноров некоммутативно (см. стр. 24). [c.78]

Как принято в матричной алгебре, матрица первых производных, т. е. (2х2)-матрица [Л, называется матрицей Якоби. [c.260]

Обозначив V(a полный базис в алгебре матриц некоторой размерности, [c.189]

Несложно показать, что алгебра матриц перехода T,(k), рассматриваемых как функции параметра к, изоморфна ) алгебре полевых операторов А к) (10.63) из предыдущего пункта. Таким образом, возникает набор реализаций тернарных соотношений. В следующем пункте мы приведем несколько явных примеров, а здесь займемся мотивировкой рассмотрения этого объекта, показав, что матрицы перехода (10.68) естественно появляются в контексте метода обратной задачи рассеяния для интегрируемых систем в пространстве — времени размерности 1 + 1. [c.232]

Алгебра матриц перехода [c.235]

В основе операторного метода лежит алгебра матриц перехода из п. 10.3.4, или в нашем частном случае формулы (10.97) и (10.98). [c.249]

Действие вычитания в алгебре матриц определяется как сложение двух матриц, одна из которых умножена на скаляр р = -1. [c.156]

В этом приложении приводится краткое введение в алгебру матриц и задачи о собственном значении. [c.269]

Существуют правила сложения, вычитания, умножения и деления матриц Л и б. Эти операции составляют алгебру матриц, в некотором роде подобную алгебре обычных чисел, однако следует быть осторожным, так как не все правила, пригодные для обычных чисел, применимы к матрицам, составляющим более общую алгебру. В то же время матрица порядка 1X1 — это просто число, которое называется скаляром, и все правила, применимые для матриц вообще, могут применяться к этому специальному виду матриц, т. е. к обычным числам. [c.269]

Наиболее часто используемая в книге операция матричной алгебры представляет собой матричное умножение по правилу строка на столбец . Такие выражения, KaK imS j, соответствуют умножению строки на столбец при перемножении матриц Ац и если левый индекс интерпретировать как номер строки. [c.81]

Другой полезной операцией матричной алгебры является обращение матрицы. Из тензорного тождества [c.81]

Матрица vy этого преобразования и числа Гь которые получаются в результате, определяются методами линейной алгебры. Эти п чисел Г являются корнями алгебраического уравнения rt-й степени [c.237]

В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра [9, 141 для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры Д , Да,. . ., / матрицы ее коэффициентов были положительны, т. е. [c.32]

Из равенства (5.50) и сформулированной теоремы линейной алгебры (см. (5.41)) следует, что элементарные делители матриц А — ХЕ и В — ХЕ имеют одинаковые делители. Пользуясь этим свойством преобразованной системы (5.49), можно задавать не линейное преобразование (5.47), а матрицу В, выбрав ее из условия равенства элементарных делителей характеристических матриц А — [c.143]

Некоторые сведения из линейной алгебры. Приведем вначале некоторые сведения из линейной алгебры, которые потребуются в дальнейшем. Рассмотрим прямоугольную матрицу [c.22]

Квадратная матрица размерностью (тХп), диагональные элементы которых равны 1, а остальные О, называется е д и н и ч и о й матрицей обозначается [Е] или 1. Они играют в матричной алгебре роль числа 1 в обычной алгебре. [c.180]

При решении задач кинематического анализа пространственных рычажных механизмов, а также пространственных разомкнутых кинематических цепей (промышленных роботов и манипуляторов), широко используют векторный метод, основанный на общих положениях векторной алгебры и включающий в себя элементы теории матриц. [c.36]

Эта книга в течение долгого времени являлась классическим введением в математические методы теоретической физики. В главе 1, озаглавленной Алгебра линейных преобразований и квадратичных форм очень хорошо и ясно изложен вопрос о собственных значениях матрицы линейных преобразований, а также многие другие относящиеся сюда вопросы. В Приложении к главе 1 кратко рассмотрены бесконечно малые преобразования. [c.161]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

С рассеиванием энергии. Кроме того, здесь хорошо изложены вынужденные колебания и вопросы перехода к непрерывным системам. Наиболее ценными являются сведения, изложенные в конце книги, где коротко рассматриваются квадратичные формы и преобразования к главным осям. При изложении вопроса об одновременной диагонализации матриц Г и V автор не пользуется матричной алгеброй, но успешно преодолевает трудности, связанные с наличием кратных корней. [c.376]

Введем теперь кососимметричную (2Л/ - -2) X (2iV- -2) числовую матрицу Г, которая действительно является ключом к алгебре КП [c.291]

Кососимметричные матрицы образуют алгебру Ли группы 50(3), обозначаемую so(3). Алгебра Ли — это векторное пространство с операцией V2], билинейной по своим аргументам и удовлетворяющей следующим условиям [c.196]

Метод Г. С. Калицына занимает особое место в исследованиях пространственных механизмов, так как он содержит распространение основных понятий теории множеств и теории групп на кинематические цепи звеньев. Воззрение на механизмы с теоретикомножественных и теоретико-групповых позиций дает возможность обосновать применение к исследованию движений механизмов теорию представлений (преобразований) групп и, следовательно, применение операций алгебры матриц к анализу перемеш,ений механизмов. [c.135]

Гомоморфизмом или представлен и-е м алгебры Ли А ъ алгебру Ли А наз. такое линейное отображение ф Ai A , (т. е. отображение, сохраняющее линейные операции), к-рое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах ф([Х, У]) —[ф(Х), ф(У)1. Ядром гомоморфизма наз. подмножество в алгебрек-рое под действием ф переходит в нулевой элемент алгебры А . Если отображение ф взаимно однозначно, то оно наз. изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная Л. а. допускает точное представление в алгебру матриц (теорема Ад о). Ввиду тесной связи, существующей между Л. а. и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большой мере сводится к изучению представлений Л. а. Именно этим объясняотсн прикладное значение теории Л. а. и их представлений (см. Представление группы). [c.583]

При использовании смешанных компонент тензора в фиксированном простом полибазисе имеет место соответствие между алгеброй тензоров второго ранга и алгеброй матриц в том смысле, что линейной комбинации тензоров соответствует та же линейная комбинация матриц смешанных компонент, а произведению тензоров соответствует произведение матриц. При замене базиса по формулам (1.5), (1.7) матрица смешанных компонент заменяется подобной матрицей. Благодаря такому соответствию, многие понятия и факты из теории матриц соответствующим образом переносятся на тензоры второго ранга. [c.11]

В общем случае тетрадик представляет собой линейный оператор, действующий на обычные матрицы. Он переводит матрицу с двумя индексами в другую матрицу той же размерности. Алгебра тетрадиков изоморфна алгебре матриц, что очевидно, если объединить пару индексов (п,п ) в один составной индекс а, а матрицу Апп> рассматривать как вектор А - При этом тетрадик будет соответствовать матрице Laa С двумя составными индексами. Единичный тетрадик определяется выражением [c.107]

К ли ( ayley ) Apmj/jj (1821-1895) — английский математик. Окончил Кембриджский университет (1841 г.). В течение 20 лет занимался адвокатурой. Профессор Кембриджского университета с 1863 г. Заложил основы современной алгебраической геометрии. Создал алгебру матриц (термин принадлежит Коли), Ввел понятие абстрактной группы. Занимался сферической астрономией. [c.359]

Было бы интересно, не слишком отклоняясь от предмета данной главы, показать здесь тесную связь этих соотношений, с одной стороны, с условием ассоциативности алгебры полевых операторов, рассмотренной Замолодчиковым (1979) в связи с построением факторизованных S-матриц, а с другой — с алгеброй матриц перехода вполне интегрируемых систем, исследованных Фаддеевым (1979). Тем не менее в нашу задачу не входит углубляться в рассмотрение метода обратной задачи рассеяния, несмотря на его связь с методом Бете, и мы отсылаем читателя к современной литературе по этому вопросу ). [c.229]

Эффективньш средством исследования структуры алгебры 83 является изучение ее гомоморфизмов в алгебру матриц. Для лхпшй-ного случая такой алгеброй является полная матричная алгебра gl (п, Р), а для рассматриваемого случая бесконечномерной алгебры Ли — бесконечномерные матрицы специальной структуры. [c.186]

Мы не доказываем здесь критерия Гурвица. Алгебраическое доказательство сравниУельио сложно (см., например, Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 11-е изд., стереотип. — М. Наука, 1975, и Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—3-е изд., исправл. —М. Наука, 1967, где критериям Рауса и Гурвица посвящена специальная глава). Значительно проще доказательство, основанное на редукции, которая, не переводя корней характеристического уравнения через мнимую ось, удаляет один из них в бесконечность слева от мнимой осп. Тякое доказательство сравнительно несложно, но проведение его требует знания деталей характера отображений мнимой оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения (см. Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования.—М. Наука, 1966, с. 171-173), [c.222]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

Как известно из линейной алгебры, можно в силу положительной определенности скалярного произведения в R подобрать такую матрицу перехода Aj, к некоторому новому базису, в котором матрица скалярных произведе- [c.309]

При изложении основ тензорной алгебры ( 33) было выяснено, что определение тензора как совокупности коэффициентов в выражении линейной связи между двумя физическими векторами не является единственным. Возможно и другое определение тензора как совокупности величин, преобразующихся при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой по формулам преобразования произведений проекций двух векторов. Переходя от буквенной индексации к цифровой [х = хи у = а 2, 2 = хз, причем в следующих формулах предполагается суммирование по дважды повторяющимся в одночленах немым ( 33) индексам г и s, а знак принят в соответствии с матрицей (5), где плюс относится к случаю р = q, а минус— к случаю рф q] будем иметь [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...