Повороты окружности

Масса, центр, радиус, диаметр, вращение, поворот, окружная (угловая) скорость. .. шкива. Трение между ремнём и. .. шкивом. [c.103]

Предполагаем, что круг радиусом / 2 катится без скольжения по кругу радиусом i , с угловой скоростью ш = = 125,6 рад/сек или п = 1200 о6]мин. По оси абсцисс (рис. 8—10) откладываем угол поворота окружности радиуса в масштабе К , г во оси ординат — перемещения, скорости и ускорения в соответствующих масштабах К ., К ,, [c.18]

Простейшими примерами ДС могут служить каскад и поток, определяемые одной и той же ф-лой T x=Fr(x + tix), где х — точка п-мерного единичного куба п>1 а — векторный параметр, а Fr(x+ tx) =. v- -ra- [x + tкомпонент вектора х+1<х (из каждой компоненты га, вычтена её целая часть В качестве инвариантной меры берётся я-мерный объём (мера Лебега). Отождествляя К" с и-мерным тором (при и = 1—с окружностью), говорят, что ДС порождена сдвигами на торе (поворотами окружности), Траектории этой системы образуют обмотку тора (рис. 1, на к-ром п = 2), причём [c.626]

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Это соотношение удовлетворяется для каждой точки касания и для каждого повернутого положения обеих окружностей. Отрезок общей нормали между точками А и О имеет постоянную длину, равную сумме обоих мгновенных радиусов кривизны и Следовательно, если при повороте окружностей один радиус кривизны увеличивается, то на столько же должен уменьшиться другой радиус. Поскольку изменение радиуса кривизны пропорционально дуге обката или углу поворота а (см. выше), то вращение одной окружности закономерно связано с вращением другой. Если одна окружность вращается равномерно, то радиус кривизны ее эвольвенты равномерно увеличивается. При этом радиус кривизны эвольвенты второй окружности должен равномерно уменьшаться, а поэтому также и вторая окружность должна вращаться равномерно. Следовательно, передаточное отношение, определяемое отношением угловых скоростей и 0)2, остается неизменным и величину его можно определить. [c.278]

Из чертежа видно, что плоскость окружности проходит через ось конуса i. В этом случае окружность а можно повернуть вокруг оси i до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. При повороте окружности ее центр О будет перемещаться по дуге окруж- [c.83]

Если м = 1, то мы имеем дело с отображением обычной плоскости на себя, а инвариантные торы превращаются в окружности. Условие невырожденности означает, что для нормальной формы производная угла поворота окружности по площади, ограниченной этой окружностью, отлична от нуля (в неподвижной точке и, следовательно, в некоторой ее окрестности). [c.379]

Таким образом, каждая окружность с центром в начале координат инвариантна. Поэтому, чтобы продолжить наш анализ линейных отображений, мы должны сначала понять поведение итераций поворота окружности. Здесь впервые в нашем обзоре мы столкнемся с явлением нетривиального возвращения, т. е. поведением, при котором итерации точки возвращаются произвольно близко к начальному положению, не возвращаясь в него в точности. Наша следующая задача —детальный анализ поворотов окружности. [c.40]

В этом параграфе мы рассмотрим некоторое обобщение поворотов окружности, являющееся частным случаям групповых сдвигов. Этот пример играет центральную роль в теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем, которой мы коснемся в конце следующего параграфа. Фазовое пространство здесь представляет собой п-мерный тор [c.43]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

Системы со схожим поведением разных орбит и низкой сложностью глобальной структуры орбит. Эта группа включает преобразования поворота окружности ( 1.3), сдвиги ( 1.4) и линейные потоки ( 1.5) на торе и вполне интегрируемые гамильтоновы системы ( 1.5). [c.156]

Замечание. Это утверждение говорит, что периодические орбиты сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности ведут себя подобно орбитам поворота окружности с тем же числом вращения. [c.397]

Если гомеоморфизм f транзитивен, то он сопряжен с поворотом окружности [c.401]

Доказательство. Прежде всего заметим, что по предложению 5.1.11 С°°-трансверсаль т, построенная в предложении 14.2.1, допускает инвариантную относительно отображения возвращения -параметризацию длиной. Таким образом, по предложению 12.4.4 отображение возвращения С -сопряжено повороту окружности. Продолжая это сопряжение так же, как в доказательстве следствия 14.2.3, мы получим С-сопряжение со специальным потоком. [c.461]

Рассмотрим перестановку тг = (3,2,1). Покажите, что ориентируемое перекладывание отрезков для любого вектора у может быть индуцировано некоторым поворотом окружности. Докажите, что в этом случае нз минимальности следует строгая эргодичность, и найдите необходимое и достаточное условие минимальности. [c.481]

Поток Р тем самым получает представление как специальный поток над поворотом окружности с функцией /. [c.34]

Если Т —поворот окружности 5 на угол а, то Л(Г)=0. При рациональном а это следует из примера 1, а при иррациональном а разбиение Е = 10 1/2), [1/2,1) является образующим [c.49]

Теорема 1.8 (А. Н. Колмогоров, см. [23]). Если к иррационально, то поток 7 метрически изоморфен специальному потоку, построенному по автоморфизму поворота окружности [c.74]

Методы, близкие к теории аппроксимаций, позволяют изучать эргодические свойства гладких потоков не только на торе, но и на ориентируемых поверхностях рода р 1. Для таких потоков при достаточно общих предположениях также строится секущая (подобно кривой Зигеля для потоков на торе) и с ее помощью — специальное представление. Однако базисными автоморфизмами будут в этом случае преобразования более общего вида, чем повороты окружности — так называемые пе- [c.75]

Из рассмотрения рис. 146 следует, что при повороте окружности вокруг диаметра АхАц на угол а этот диаметр, параллельный пл. Я, [c.78]

Доказательство. Пусть А с 5 — замыкание некоторой орбиты. Если орбита не плотна, то дополнение 5 А представляет собой непустое открытое инвариантное множество, состоящее из непересекающихся интервалов. Пусть I — самый длинный из этих интервалов (или же один из самых длинных, если имеется несколько интервалов равной длины). Так как поворот окружности сохраняет длину любого интервала, то интервалы i "I не пересекаются (в противном случае 5 А будет содержать интервал, более длинный, чем I). Так как а иррационально, итерации I не могут совпадать, поскольку в этом случае конец ж некоторого интервала-итерации I должен был бы совпасть сам с собой и мы получили бы х+ка = ж (тос1 1), где ка — I должно быть целым числом и а = 1/к оказывается рациональным. Таким образом, интервалы Д"1 имеют равную длину и не пересекаются, что невозможно, поскольку окружность имеет конечную длину, а сумма длин непересекающихся интервалов не может превышать длину круга. [c.42]

Легко видеть, что одного обращения в нуль периодических препятствий может быть недостаточно для существования приемлемых решений непод-крученного когомологического уравнения. Например, поскольку иррациональные повороты окружности не имеют периодических точек, нет и никаких периодических препятствий, хотя имеется другое, очевидно, необходимое условие если д х) = p R x))—tp x) и функция р интегрируема, то [c.114]

Замечание. Последовательность (а , у ) параметризует орбиту не в соответствии с динамическим упорядочением , задаваемым переходом от (г, у) к Р(х, у), а в соответствии с геометрическим упорадоче-нием ее проекции на 5. Это упорядочение совпадает с упорядочением образов итераций рациональных поворотов окружности и, более того, если рассмотреть проекцию биркгофовой периодической орбиты типа (р, д) на окружность (эта проекция является конечным множеством) с отображением, индуцированным в результате проектирования действием Р, то полученное отображение может быть продолжено до кусочно линейного гомеоморфизма окружности. [c.362]

Предложение 14.2.5. Пусть ip —С -поток на Т , сохраняющий элемент площади класса С, и пустьп = тт(к, г - -1). Тогда поток ip С"-сопряжен со специальным потоком над некоторым поворотом окружности. [c.461]

Имеется неоднозначность в определении отображения в точках разрыва, т. е. в точках и,,. .., и 1. Иногда можно естественным образом продолжить определение на некоторые из этих точек и получить взаимно однозначное отображение. Например, для п = 2, тг = (2, 1) имеется только одна точка разрыва и, внутри отрезка, и если мы положим 1ц (у ) = 0, то при отождествлении О и I получим поворот окружности на угол Йтгоз. Однако чаще всего такое естественное продолжение невозможно, как в примере с восьмиугольником из п. 4 б. Более полезный подход состоит в следующем. В каждой точке разрыва и. отображение имеет левый и правый пределы, которые мы будем обозначать адг и соответственно. Имеет смысл считать, что у точки щ есть два конца , а ад" и представляют собой образы этих концов [c.473]

Докажем теорему Боля-Серпинского-Вейля пусть ср — поворот окружности М на угол, не соизмеримый с 2тг [c.128]

Диффеоморфизмы окружности и векторные поля иа 5 . Данжуа построил пример диффеоморфизма окружности класса , не эквивалентного повороту окружности и имеющего иррациональное число вращения (см. [62]). Используя этот пример, Швейцер (Р. S hweitzer) дал отрицательное решение следующей проблемы Зейферта (Н. Seifert). [c.50]

Если V иррационально, а отображение А непрерывно, то исходное отображение последования имеет инвариантную кривую, гомеоморфную окружности, и на этой кривой топологически сопряжено повороту окружности на угол 2nv. Исходная гамильтонова система имеет двумерный инвариантный тор, обматываемый условно-периодическими движениями с отношением частот V. [c.210]

Пусть автоморфизм Г действует в пространстве М= =5 х2г, где — единичная окружность с мерой Лебега, 2г = = 1, —1 с мерой ( /2, /2). и является косым произведением над поворотом окружности Т(х, г) = (х+а, g x)z), 2б2г. [c.41]

Опровергающим примером может служить автоморфизм Т, также действующий в пространстве M = S XZ2 и являющийся косым произведением над поворотом окружности. Точнее, для J 6S , Z6Z2 Т х, z) = (x-fa, w(x)z), где w x)=—1, если хб [0, Р), w(x) = , если хб[р, 1), а, р — специально подобранные иррациональные числа. [c.42]

Во всех естественных случаях, когда вычислялась функция кратности спектра, оказывалось, что либо она неограниченна, либо равна 1 на множестве полной меры максимального спектрального типа (т. е. Ut — оператор с простым спектром). Но и эта закономерность не распространяется на общий случай существуют автоморфизмы (также строящиеся как косые про-язведения над поворотом окружности) с непростым конечнократным непрерывным спектром. [c.42]

Пример. Пусть Т = Та—поворот окружности 5 на иррациональный угол а, т. е. 7 л = х + а (тос11), [О, 1), и пусть о.п = Рп1Яп1 —последовательность несократимых дробей, Ита =а. Допустим, что для некоторой функции /(л) такой, [c.72]

Идея доказательства теоремы 1.8 состоит В построении гладкой замкнутой несамопересекающейся кривой Г на торе, всюду трансверсальной к траекториям потока Т и такой, что каждая траектория пересекает Г бесконечное число раз как при i>0, так и при I O. Такая кривая называется кривой Зигеля (С. Siegel) для Л . Преобразование кривой Г, переводящее каждую точку хбГ в точку, где проходящая через х траектория Т х впервые при i>0 пересечет Г, сопряжено повороту окружности, который и служит базисным автоморфизмом в специальном представлении потока Р . [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...