Гамильтонова система вполне интегрируемая

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Лемма 15. Пусть аи[3 — соседние вершины многогранника (А). Если гамильтонова система вполне интегрируема, то угол между векторами а и j3 не меньше тг/2. [c.211]

Сейчас не время обсуждать понятие полной интегрируемости во всей его общности, его происхождение, развитие и связанные с ним понятия и результаты. Для наших целей достаточно сказать, что гамильтонова система вполне интегрируема в открытом множестве У С М, если в У можно выбрать такие координаты (I, < ) = (1,,..., Г < 1,..., < ), что компоненты [c.49]

Гамильтонова система вполне интегрируемая 49, 234 [c.765]

Применение принципа усреднения. Пусть невозмущен-ная гамильтонова система вполне интегрируема, некоторая область ее фазового пространства расслоена на инвариантные торы, в этой области введены переменные действие—угол [c.181]

Рассмотрим гамильтонову систему с п>2 степенями свободы, гамильтониан которой зависит от плавно изменяющегося параметра Я. Предположим, что при каждом фиксированном Я. система вполне интегрируема, так что можно ввести переменные действие — угол /, <р. Для этой системы справедливы предложения I и 2 п. 4.1 (доказательство дословно то же) изменение /, ф описывается системой вида (36), а действия I—интегралы усредненной системы. Как ведут себя переменные / в точной системе [c.219]

В окрестности каждого п-мерного инвариантного тора вполне интегрируемой гамильтоновой системы с п степенями свободы можно ввести канонические переменные действие — угол /j,... V i,...,(pn mod 2тг, в которых функция Гамильтона Н зависит лишь от I. В этих переменных уравнения Гамильтона принимают следующий простой вид [c.13]

В этом случае, очевидно, П = К". Гамильтоновы системы с п степенями свободы, имеющие п независимых интегралов в инволюции, называются вполне интегрируемыми. [c.83]

Гамильтонова система с гамильтонианом Н = Fi 1 i п) называется вполне интегрируемой. [c.85]

Следствие. Каждая вполне интегрируемая гамильтонова система в окрестности инвариантных торов допускает точное представление Гейзенберга. [c.107]

Система (9.16) имеет вид (9.11). Функции Fi и F2 являются функциями Казимира. Как установлено в работе [177], гамильтонова система (9.16) алгебраически вполне интегрируема. В частности, импульсы Ук и экспоненты Vk — мероморфные функции комплексного времени. [c.117]

Если гамильтонова система (9.11) алгебраически вполне интегрируема, то почти все ее решения будут мероморфными функциями времени. Точнее, уравнения (9.11) допускают решения вида [c.117]

При к = О общее решение исходной системы дифференциальных уравнений не может быть мероморфным. В частности, в этом случае гамильтонова система (9.11) не является алгебраически вполне интегрируемой. На этом простом замечании основан метод Ковалевской распознавания алгебраически интегрируемых систем дифференциальных уравнений, впервые примененный ею к уравнениям вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [73]. Оказалось, что в этой задаче к О лишь в интегрируемых случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Метод Ковалевской с успехом используется для отыскания новых интегрируемых задач классической механики и математической физики. [c.119]

Если гамильтонова система на поверхности Eh h > max V) вполне интегрируема и геометрически проста, то справедливы неравенства (1.2). Аналитически интегрируемые системы геометрически просты [155]. [c.137]

Следствие. Все мультипликаторы периодических траекторий, лежащих на инвариантных торах вполне интегрируемой гамильтоновой системы, равны единице. [c.225]

Предположим, что неавтономная гамильтонова система зависит от малого параметра е и при е = О является вполне интегрируемой. В переменных действие — угол невозмущенной задачи [c.245]

Пусть I — у 1)—двоякоасимптотическое решение невозмущенной вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Положим [c.255]

Следует подчеркнуть, что интегрируемые случаи изолированы не всегда. Действительно, в 1 гл. П приведен пример аналитической гамильтоновой системы, аналитически зависящей от параметра , которая на всюду плотном множестве значений е является вполне интегрируемой и одновременно при значениях , принадлежащих другому всюду плотному множеству, не допускает даже непостоянных непрерывных интегралов. [c.293]

В 9 гл. II были введены числа Ковалевской это — количество различных полных семейств мероморфных решений аналитических систем дифференциальных уравнений. Ниже числа Ковалевской будут найдены для одного класса гамильтоновых систем, обобщающих цепочки Тоды. Будет показано, что системы с максимально возможным числом Ковалевской вполне интегрируемы. Этот любопытный результат аналогичен классическому результату Ковалевской в динамике тяжелого твердого тела. [c.346]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

Системы со схожим поведением разных орбит и низкой сложностью глобальной структуры орбит. Эта группа включает преобразования поворота окружности ( 1.3), сдвиги ( 1.4) и линейные потоки ( 1.5) на торе и вполне интегрируемые гамильтоновы системы ( 1.5). [c.156]

Первые строгие результаты о неинтегрируемости гамильтоновых систем принадлежат Пуанкаре. Сущность идеи Пуанкаре состоит в том, что сложное поведение решений (например, рождение невырожденных периодических решений, расщепление асимптотических поверхностей и т. д.) несовместимо с полной интегрируемостью уравнений Гамильтона. В этой главе изложены основные методы доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем, основанные йа выявлении различных нетривиальных динамических эффектов, не свойственных вполне интегрируемым системам. Более подробное изложение содержится в работе [13]. [c.226]

Замечание. В работе [13] указан пример гамильтоновой системы с аналитическим гамильтонианом, аналитически зависящим от параметра, которая при всюду плотных множествах значений параметра является как вполне интегрируемой, так и неинтегрируемой. Таким образом, интегрируемые случаи изолированы не всегда. [c.243]

Дубровин Б. А. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с матричными операторами, и абелевы многообразия.—Функциональный анализ и его приложения, 1977, т. 11, № 4, с. 28-41. [c.359]

С методической точки зрения теорему Лиувилля проще сначала доказать в автономном случае, когда функции Я, Fi,..., не зависят явно от i и, в частности, гамильтониан Я является одним из интегралов. Для автономного случая теорема 1 была сформулирована несколько раньше Лиувилля французским математиком Буром. Полезно иметь в виду, что каждая из гамильтоновых систем с гамильтонианом Fi имеет тот же самый набор интегралов. Такие системы называют еще вполне интегрируемыми. [c.184]

ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ [c.181]

Предположим, что при е = О гамильтонова система вполне интегрируема существуют п аналитических интегралов Fi,..., Г , попарно находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Так как гиперболический тор TJ нерезонансный, и поверхности Лд состоят целиком из асимгпчэтических траекторий, то функции Fj постоянны на Л . Таким образом, Aq содержатся в некотором замкнутом множестве [z Fi(z) = i,..., F (z) = с ], причем, согласно результатам 9 гл. И, точка с = (сь..., с ) G R" является критическим значением отображения F — R". [c.254]

В рассматриваемом случае гамильтонова система называется интегрируемой по Лиувиллю (или вполне интегрируемой). Можно показать, что для такой системы в окрестности каждого тора существуют переменные, называемые действие-угол I, ip mod 2тг) = Ii,..., 1п, ifii mod 2тг,. .., mod 2тг), в которых гамильтониан Н 1) не зависит от угловых переменных (р mod 2тг, а уравнения движения принимают вид [c.74]

И новых координатах 1 = Ру — < 4- Следовательно, функция Гамильтона И не зависи г от сопряженных переменных З2 и /З . Таким образом, число счененей (чюбоды понижено на две единицы получено зависящее о т двух параме гров 2 и семейство гамиль-гоновых систем с двумя степенями свободы. Симплектическими координатами являются переменные i, з, / Ь/бз. При аг = 4 = 0 <1>ункция М является интегралом приведенной системы. Следовательно, эта гамильтонова система с двумя степенями свободы вполне интегрируема, В частности, функции i, з,/ui,/З3 можно найти с помощью квадратур. Оставшиеся циклические координаты (З2 и /У4 ввиду формул р2 = дК/да2, 4 — дК/да , К а,[3) = = Н х,у) находятся простым интегрированием. [c.93]

Отметим, что если мы допускаем произвольные канонические замены переменных в фазовом пространстве, то тогда любая- вполне интегрируемая гамильтонова система решается разделением переменных для этого достаточно перейти к переменным действие— угол. В такой общей постановке задача о существовании разделенных канонических координат по существу эквивалентна задаче о наличии полного набора инволютивных интегралов. [c.100]

Простейшим примером алгебраически вполне интегрируемой гамильтоновой системы является задача Эйлера, рассмотренная в п. 1. Более сложные примеры дают интегрируемые случаи Ковалевской, Клебша, Ляпунова—Стеклова из динамики твердого тела. [c.116]

При п > 1 дополнение к множеству колмогоровских торов связно, поэтому непостоянную канторову лестницу построить уже нельзя это дополнение всюду плотно в фазовом пространстве возмущенной системы, и любая постоянная на нем непрерывная функция принимает всюду одно и то же значение. В частности, появляется принципиальная возможность наличия траекторий, всюду плотных в связной щели между колмогоровскими торами. Пе исключено, что на самом деле такая ситуация является типичной (обсуждение см., например, в [9]). Отсюда вытекало бы несуществование непостоянных непрерывных интегралов возмущенных вполне интегрируемых гамильтоновых систем. [c.186]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев заметили, что уравнение (1) является вполне интегрируемой бесконечномерной гамильтоновой системой, и указали соответствующие переменные действие — угол ). Симплектическая структура в пространстве убывающих на бесконечности функций и (х) задается кососкалярным произведением й>2 ди), ди) =- и>ди — V дш) йх, а гамильтонианом уравнения (1) является интеграл Д. Иными словами, уравнение (1) записывается в виде уравнения Гамильтона в функциональном [c.467]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Канонические переменные действие—угол удобны для описания движения вполне интегрируемых гамильтоновых систем и, чп особенно важно, позволяют исследовать движение близких к и№ тегрируемым системам возмущенных систем. [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...