Эллиптические точки (траектории)

Если, как в разобранном примере, частоты обоих взаимно перпендикулярных колебаний равны, то разность фаз е остается постоянной и эллиптическая траектория точки неизменна. Если же, как это бывает в большинстве технических приложений, между частотами обоих колебаний существует малая разница, то траектория колеблющейся точки может быть представлена с достаточной точностью одним эллипсом лишь для нескольких периодов. Затем этот эллипс меняется [c.224]

Иногда траектория движения материальной точки бывает заранее известна. Например, известно, что Земля движется вокруг Солнца по эллиптической орбите камень, привязанный к веревке, движется по окружности. В этих случаях одну из точек траектории [c.11]

Наличие на фазовой плоскости замкнутых фазовых траекторий (например, эллипсов в окрестностях рассмотренной особой точки) указывает на существование периодических движений. Из нашего анализа следует, что в окрестностях особой точки, отвечающей минимуму потенциальной энергии, происходят периодические движения с эллиптическими фазовыми траекториями, соответствующими гармоническим колебаниям. Реальное движение тем ближе к гармоническому, чем меньше превышение запаса энергии системы над запасом энергии в точке равновесия, т. е. чем меньше величина Л —Л . В системах, в которых потенциальная функция [c.19]

Это уравнение мы сопоставим с другим, получающимся из второго закона Кеплера. Пусть а— половина большой оси, е — эксцентриситет эллиптической траектории, причем а и е — положительные величины и е меньше единицы. Направим ось х по большой оси эллипса к перигелию, т. е. к точке траектории, наиболее близкой к Солнцу. Тогда уравнение траектории будет [c.11]

ДЛЯ конфигурации I, в то время как упругие энергии совпадают. Следовательно, распределение ламелл в широких местах канала термодинамически невыгодно. Однако возможны устойчивые распределения ламелл, когда крайние ламеллы в цепочке смещаются так, что средняя оказывается в широкой части канала. Такого типа распределения ламелл в цепочке (конфигурация III на рис. 5.2) описываются замкнутыми траекториями вблизи эллиптических точек. При этом верхняя часть овала описывает сжатые цепочки, а нижняя часть - растянутые. Периодические решения (область III на рис. 5.1) ограничены сепаратрисами, каждая из которых имеет две ветви, соединяющие гиперболические точки либо сверху от прямой р = 1, либо снизу от нее. Сепаратриса описывает бесконечную цепочку пузырей, одна половина которых сдвинута на период канала относительно дру- [c.89]

Если от центра эллипса перемещаться в радиальном направлении, то у и Z будут увеличиваться в постоянном отношении, и то же будет с напряжениями и Отсюда следует, что полное напряжение х в каждой точке одного и того же радиуса имеет одно и то же направление, параллельное направлению касательной к эллипсу, проведенной в конце радиуса, или, иначе говоря, направлению сопряженного диаметра. Если мы в сечении начертим ряд эллипсов, подобных контурному и подобно расположенных, то в каждой точке такого эллипса напряжение х будет проходить в направлении касательной к соответствующему эллипсу. Линию, лежащую в плоскости сечения и идущую в направлении касательного напряжения х, называют траекторией касательных напряжений. Поэтому для эллиптического сечения траекториями касательных напряжений будут эллипсы, подобные эллиптическому контуру. [c.56]

Искусственные спутники Земли. Эллиптические траектории. При г1о<С1 2 -/ траектория тела, брошенного с земной поверхности, есть эллипс, у которого ось РА, образующая с Ох угол р, является осью симметрии (см. рис. 292). Если начальные условия в пункте будут таковы, что угол то траектория пересечет поверхность Земли в симметричной относительно оси РА точке Му, т. е. тело упадет на Землю. Следовательно, брошенное тело может стать спутником Земли лишь при тех начальных условиях, которые дают р = 1т. Но, как показывают равенства (101), [c.321]

Таким образом, указанная точка является эллиптической, а траектории вокруг неё - устойчивыми. Для другой неподвижной точки отображения I в Ц в О вместо (29) находим [c.17]

КА движется по эллиптической орбите. Пайти точки траектории, в которых в результате радиального приращения скорости КА перейдет на круговую орбиту, приращение скорости и радиус круговой орбиты. [c.91]

КА движется по эллиптической орбите. Пайти точки траектории, в которых для перехода на круговую орбиту необходимо изменить только направление скорости, не изменяя ее величину. [c.92]

Эллиптические тра]ек-тории. Если начальная скорость направлена не радиально, то [траектория уже не может быть прямолинейной, так как искривляется притяжением Земли. При этом она лежит целиком в плоскости, проведенной [c.61]

В некоторых случаях может оказаться выгодной программа управления тягой, при которой она будет действовать не непрерывно, а лишь на некоторых участках траектории, но зато на этих участках тяга будет существенно больше. При этом выгодно прилагать тягу на тех участках траектории, которые ближе к центру притяжения 1). Если начальная орбита эллиптическая, то целесообразно накапливать в аккумуляторах электрическую энергию, вырабатываемую на большей части каждого витка траектории, чтобы расходовать ее только вблизи перигея витка, резко увеличивая тем самым вблизи перигея скорость истечения, а следовательно, и тягу. Траектория разгона при этом должна состоять из большого числа эллипсов с примерно одинаковым перигеем. Она напоминает траекторию торможения в атмосфере спутника с эллиптической орбитой (рис. 27), но проходится в обратном направлении.Таким образом, после значительного числа витков в перигее будет достигнута скорость, обеспечивающая выход из сферы действия Земли [2.19]. [c.140]

Если траектория полета эллиптическая, то пересечение орбиты Луны возможно как на восходящей части траектории — до [c.192]

Около ближайшей к Луне точки траектории (над обратной стороной Луны) включается примерно на 6 мин маршевый двигатель основного блока, уменьшающий селеноцентрическую скорость примерно с 2,5 км/с до 1,7 км/с и корабль переходит на эллиптическую окололунную орбиту с апоселением на высоте примерно 315 км. [c.285]

Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических точек на рис. 3.3, то заметим, что существуют два различных типа поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве простого маятника в 1.3. Там мы нашли цепочки чередующихся эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении. [c.197]

Современные быстродействующие ЭВМ позволяют получить сотни тысяч итераций рассмотренных выше отображений. Для исследования всей фазовой плоскости разобьем интервал фазы (0,1) или (0,2я) на 100 ячеек, а интервал скорости (О, акс) на 200 ячеек. На рис. 3.12 приведены численные результаты для упрощенного отображения (3.4.4) с М = 10 после 163 840 итераций для каждой из 10 траекторий, использованных в счете. На рисунке отмечены ячейки, в которые попала хотя бы одна из этих траекторий. В правой части рисунка показано распределение плотности Р и), проинтегрированное по фазе и по всем итерациям. Начальные условия движения выбраны случайно в области малых скоростей частицы. При этом каждая траектория заполняет всю стохастическую компоненту движения, и конечное распределение на фазовой плоскости не зависит от начальных условий. Незаполненные траекториями островки устойчивости ограничены инвариантными кривыми, и поэтому частицы не могут попасть в них извне. Центрами островков являются эллиптические точки. Ниже мы покажем, что при [c.224]

Другие результаты. В работе Грина [165] получены и другие интересные результаты. Рассмотрим кратко некоторые из них. Прежде всего из (4.4.2) следует, что значение Р = 1/4 соответствует а = л/З. Это означает, что разрушение инвариантных кривых в какой-либо области фазового пространства соответствует возникновению вторичных резонансов шестой гармоники вокруг периодических эллиптических точек с большими 5- оо. Но то же самое происходит в стандартном отображении и для неподвижной точки (5 = 1), т. е. в противоположном пределе по з. Фактически численные результаты Грина показывают, что все периодические траектории с а = а обладают этим свойством. [c.273]

Основные соотношения, полученные для эллиптической орбиты при рассмотрении задачи двух тел, можно применять при анализе движения летательного аппарата вблизи поверхности Земли. Если в модельной задаче пренебречь влиянием атмосферы, то траектория движения аппарата будет совпадать с частью эллиптической орбиты, которая расположена над поверхностью сферической Земли. Указанная постановка существенно упрощает решение задач внешней баллистики, связанных с изучением свободного движения аппарата после сообщения ему некоторой начальной скорости. Конечные формулы, посредством которых описывается модельное движение, легко проанализировать в общем виде. Вместе с тем такая модель позволяет выявить основные качественные и количественные соотношения истинного движения аппарата с учетом воздействия атмосферы. [c.66]

Если точки М ж М2 находятся по одну сторону от притягивающего центра, то траектория оказывается прямолинейной (эллиптической любого рода, гиперболической, параболической). Заметим, что этот случай сравнительно редко встречается в задачах механики космического полета. [c.122]

Из изложенного в 242 видно, что если постоянная (28а) выбрана равной нулю, то тогда (и только тогда) траектория (27) на плоскости (х, у) есть прямая (соответствующая вырожденному гиперболическому, параболическому или эллиптическому движению в зависимости от того, имеем мы /г > О, А = О или А <С 0). р]сли же постоянная (28г) отлична от нуля, то траектория (27) представляет собой ветвь гиперболы, параболы или эллипс в зависимости от выбора А Щ 0. Наконец, результаты, изложенные и 377, гарантируют, что во всех шести случаях С 0, /г Щ О подстановка (27) в (23) дает нам гомографическое решение = = 1<(0 уравнений [c.366]

Спирально-эллиптическая обходная траектория типа, приведенного в 10 гл. X, может в некоторых случаях принести экономию сообщенной ракете суммарной скорости даже при удалении от центрального светила. Это может иметь место при полете с Земли на искусственный спутник (или запуске спутника). Если радиус круговой орбиты искусственного спутника больше 11,9 радиуса Земли, то его запуск по обходной траектории с предварительным удалением требует меньшей суммарной скорости, чем запуск по полуэллипсу. Для определенной величины круговой орбиты сообщенная ракете суммарная скорость будет тем меньше, чем больше апогей обходной траектории. Выигрыш в суммарной скорости при обходной траектории запуска по сравнению с запуском по полуэллипсу теоретически может достигать 8%. [c.232]

Здесь, как и выше, имеются в виду поступательные прямолинейные колебания, при которых траектории всех точек лотка — отрезки параллельных прямых. Иногда в вибрационных системах применяют эллиптические колебания (траектории всех точек лотка — одинаковые эллипсы). [c.163]

За исключением орбиты Плутона и в несколько меньшей степени орбиты Меркурия, орбиты прочих планет очень близки к круговым. С точки зрения астронавтики это счастливое совпадение. Действительно, для того чтобы космический корабль и планета-цель могли встретиться в точке соприкасания или пересечения их траекторий, необходимо, чтобы в момент отправления корабля Земля и планета назначения были расположены в пространстве некоторым строго определенным образом. Если орбиты планет представляют собой концентрические окружности, то энергия, требуемая для перелета, не зависит от даты достижения нужного расположения. Если же орбиты эллиптические, то это уже не имеет места. Фактически у реальных планет орбиты близки к круговым, однако их большие оси не совпадают и направлены в различные стороны. [c.147]

В любой точке траектории г, г)) квадрат орбитальной скорости отвечает эллиптической орбите, поскольку выпол- [c.203]

Для решения системы дифференциальных уравнений необходимо задать шесть граничных условий. Тремя из них являются начальные условия переходной траектории, а именно радиальное расстояние ракеты от Солнца равно радиусу земной орбиты, радиальная скорость равна нулю ), а трансверсальная компонента скорости равна орбитальной скорости Земли. Еще два условия, которые мы пытались удовлетворить, заключались в том, чтобы ко времени Тт Тт — заданное время перелета) удельная энергия Е и удельный момент количества движения к ракеты были равны соответствующим величинам Марса (так как задание Е в. к полностью определяет форму и размеры эллиптической орбиты Марса). Последнее условие, которое мы стремились также выполнить, было условие равенства величины активного ускорения ракеты в момент Тт начальному активному ускорению. Это последнее условие позволяет из всех возможных конечных точек траектории (на орбите Марса) выбрать такую, для которой полезный груз оказывается максимальным [см. уравнение (8.376)]. [c.310]

Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля — Солнце (5,20-23 000 земных радиусов), а период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11,8 лет. Определить отношение массы Юпитера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радиуса Земли). Ответ. Масса Юпитера в 1000 раз меньше массы Солнца. 51.28(50.28). Под средним значением [г] радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, [c.393]

В какой точке эллиптической орбиты угол наклона траектории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная радиус-вектору) достигает наибольшего значения [c.394]

Отметим в заключение, что если считать в пределе угол р—>0, а величину 2Rq(> — D рассматривать в пределе как горизонтальную дальность (см. 36), то формулы теории эллиптических траекторий перейдут в соответствующие формулы для траекторий параболических. [c.402]

Определим положение материальной точки, движущейся под действием центральной силы р (г) по эллиптической траектории. На основании формулы (IV. 172) и соотношения (о) предыдущего [c.400]

ТОЧКА, ДВИЖУЩАЯСЯ по ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ 401 параграфа имеем [c.401]

Если отсчитывать полярный угол ср от конца большой полуоси эллиптической траектории, ближайшего к полюсу полярной системы координат, то этот угол называется истинной аномалией. [c.402]

Эллиптические точки (траектории) 39, 42, 197, 201, 204. 216 — 218, 224 232, 254 Энергетическая поверхность 292, 297, 343 — 346, 375, 376, 379, 385 Энтропия (КС-энтропня) 244, 300, 301, 303 — 305, 307, 513 [c.525]

Это — уравнение эллипса, отнесенное к сопряженным диаметрам. Так как любую точку траектории можно рассматривать как начальную точку, то формула (7) пока1ынает, что скорость в точке Р изменяется прэпорционально длине полудиаметра (например 0D), сопряженного с ОЯ (ср. 21, пример 2). Другими словами, годограф подобен геометрическому месту точек D, т. е, самой эллиптической орбите. [c.71]

Каждой га-звенной периодической траектории ф" 6 Т" соответствует 2л-звенная периодическая траектория ф 6Т ", полученная из исходной удвоением , т. е. прохождением два раза. Если траектории ф соответствует матрица Пуанкаре Р, то траектории <р , очевидно, соответствует матрица Пуанкаре Р. Таким образом, мультипликаторы ф равны квадратам мультипликаторов ф , значит, периодические решения ф и ф одновремен Ю являются эллиптическими и гиперболическими Траектория ф вырождена в том и только в том случае, если ф вырождена или ее мультипликаторы равны — 1. [c.72]

Вблизи начала координат, которое является эллиптической точкой отображения, нелинейный член х1 мал. На рис. 3.6, а и б воспроизведены результаты Хенона для г1) = 76,11°. На рис. 3.6, а виден первый главный резонанс с а = 1/5, что соответствует углу поворота 72°. Следовательно, нелинейность в данном случае замедляет вращение. Исследование отображения в окрестности гиперболической точки этого резонанса приводит к любопытной картине, представленной на рис. 3.6, б. Видны вторичные и третичные резонансы, а также хаотическая траектория (длиной в 50 ООО [c.204]

Как известно, нормаль к любой точке эллипса делит пополам угол между фокальными радиусами-векторами этой точки. Поэтому касательная к эллипсу делит пополам угол между радиусом-век-тором, проведенным из одного фокуса, и продолжением радиуса-вектора из другого фокуса. Для любой эллиптической траектории один из фокусов совпадает с центром масс Земли, а для оптимальной траектории согласно условию (3.2.10) второй фокус лежит на прямой ОР, соединяюп ей начальную и конечную точки траектории. Из основного свойства эллипса [c.76]

СТО на траектории типа Гоманна. Перицентр этой траектории находится на начальной круговой орбите, а апоцентр совпадает с апоцентром конечной эллиптической орбиты [80, 86, 88]. Если оптимальный перелет совершается с внешней круговой орбиты на внутреннюю эллиптическую, то апоцентр траектории перелета должен находиться на начальной круговой орбите, а перицентр — совпадать с перицентром конечной эллиптической орбиты. Обе схемы оптимального перелета показаны на рис. 5.11, а, б. Суммарное приращение скорости для выполнения маневра, отнесенное к круговой [c.157]

Тангенциальный перелет, между несоосными эллиптическими орбитами. Проведенный анализ касался лишь двух типов эллиптических переходных траекторий между двумя эллиптическими орбитами тангенциальные апсидальные и секущие переходные орбиты между двумя соосными эллипсами, а также секущие переходные орбиты между несоосными эллипсами. В последнем случае апсидальный перелет неосуществим, однако тангенциальный вполне возможен. Здесь уже не приходится говорить о минимизации энергии, необходимой для осуществления перелета, так как все секущие орбиты требуют больших затрат топлива, чем тангенциальные апсидальные переходные орбиты, хотя время перелета на них получается пропорционально меньшим. Кроме того, преимуществом секущих орбит является гораздо большая свобода выбора момента старта. Однако ввиду того, что тангенциальные неапсидальные переходные орбиты также обеспечивают достаточную гибкость выбора момента старта и в то же время требуют, по-видимому, меньших затрат энергии, чем секущие орбиты, они представляют значительный практический интерес. [c.172]

Материальная точка движется под действием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е<1, а параметр р. Зная интеграл площадей с = = r (f — ry,v, определить полуоен а ц Ь эллиптичеекой траектории и период обращения Т. [c.390]

Материальная точка А движется по эллиптической траектории с полуосями /д = 5 см н 1у = см под действием силы притяжения F к центру Oi, совпадающему с одним из фокусов эллипса. Определить скорость 1>2 этой точки в положении Лз, если в положении А ее скорость ui = 27 см/с. [c.108]

Движение в поле тяготения Земли. Искусственные спутники и эллиптические траектории. Приложим полученные выше результаты к изучению движения тела в поле тяготения Земли. Будем считать Землю неподвижной, а движущееся тело рассматривать как материальн) ю точку массы т. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать, что для рассматриваемых далее высот полета в первом приближении допустимо. Пусть в начальный момент точка находится в положении Mq на расстоянии R — OMq от центра Земли (рис. 353) и пусть ускорение силы Земного притяжения в точке равно g. Заметим, что под R мы будем понимать любую величину, большую земного радиуса. В случаях, когда точка Mq берется на поверхности Земли, мы будем считать R равным радиусу земного экватора. Rq = 6Ъ78 км и = 0 = 9.81 Mj et . [c.397]

Т Концы большой полуоси эллиптической траектории материальной точки называются апсидами. Апсиды траектории (орбиты) планеты, движущейся вокруг Солнца, называются перигелием (ближайшая к Солнцу аиснда) и афелием. [c.402]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...