Функция Гамильтона инвариантность

Здесь МЫ опять сталкиваемся с тем фактом, что функция Гамильтона инвариантна лишь относительно склерономных преобразований, в то время как в реономном случае появляются дополнительные корректирующие члены. [c.237]

Следует отметить, что функция Гамильтона инвариантна также относительно зеркальных отображений от центра тяи<ести системы [c.179]

Это свойство следует из инвариантности невозмущенной функции Гамильтона относительно временного сдвига (по фазовой траектории) и теоремы Лиувилля. [c.166]

Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана. Мы видели, что циклическая координата отсутствует не только в L, но и в Я. Поэтому теоремы о сохранении обобщенных импульсов, полученные нами в 2.6, можно было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были высказаны нами в главе 2. Пусть, например, некоторая система будет симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать, что функция Н инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому не может содержать угла поворота. Следовательно, этот угол является циклической координатой, и поэтому соответствующий ему кинетический момент будет оставаться постоянным. [c.245]

Отсюда видно, что канонические уравнения сохраняются и что функция Гамильтона Я в новой системе координат, после того как qt,pi выразятся через новые переменные Q,-. Pi, будет иметь тот же вид, что и функция Н в старой системе. Можно сказать, что функция Гамильтона Н инвариантна относительно точечного преобразования (7.2.3). [c.229]

Мы снова имеем дело с расширенным фазовым пространством, в котором обобщенная функция Гамильтона К инвариантна относительно преобразования. Это приводит к соотношению [c.236]

Наконец, инвариантность обобщенной функции Гамильтона К = Pt + Н приводит к следующему закону преобразования обычной функции Гамильтона Я [c.240]

Предположим, что мы сумели найти такое преобразование. Тогда канонические уравнения в новой системе координат легко проинтегрировать. Поскольку функция Гамильтона Н инвариантна относительно канонического преобразования, в новой системе функция Гамильтона Н равна Qn- Это означает, что в новой системе координат все переменные циклические - и можно произвести полное интегрирование уравнений движения. [c.266]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

Если некоторая декартова координата является циклической, то функции Гамильтона и Лагранжа инвариантны по отношению к перемещению системы вдоль соответствующей оси. Наличие циклической угловой координаты аналогичным образом обусловливает инвариантность относительно вращения. Так как эти циклические координаты приводят к постоянству соответствующего импульса, то, следовательно, наличие интегралов движения связано со свойствами симметрии системы. В силу равенства (5.29) существует аналогичное соотношение симметрии между функцией Гамильтона и временной координатой. Вообще свойства сохранения и симметрии так связаны, что эти термины применяются почти как равнозначащие. [c.68]

Примеры инвариантных областей. Рассмотрим систему, для которой функция Гамильтона ограничена снизу в фазовом пространстве. Можно считать, что точная нижняя грань функции Гамильтона равна нулю этого всегда можно добиться, если прибавить к этой функции надлежащим образом выбранную постоянную (что не изменяет уравнения движения) или изменить произвольную постоянную в функции V. Будем предполагать также, что поверхность Н = h (Л > 0) является замкнутой. Но функция Н представляет собой интеграл уравнений Гамильтона, гак что поверхность // = А (А > 0) является инвариантной областью. Замкнутая область, ограниченная двумя такими поверхностями (т. е. множество точек х, для которых hi Н (ж) Аг), также представляет собой инвариантную область. [c.441]

В окрестности каждого п-мерного инвариантного тора вполне интегрируемой гамильтоновой системы с п степенями свободы можно ввести канонические переменные действие — угол /j,... V i,...,(pn mod 2тг, в которых функция Гамильтона Н зависит лишь от I. В этих переменных уравнения Гамильтона принимают следующий простой вид [c.13]

В частности, в переменных /, р mod 2тг функция Гамильтона вполне интегрируемой системы с инвариантными торами принимает вид Я = Н 1). При этом / = -dH/dip = О, р = дН/д1 = = о (/). Следовательно, I t) = /о, ш 1) = о (/о). Переменные /, нумерующие инвариантные торы в I) х Т", называются переменными действия, а равномерно меняющиеся координаты ip — угловыми переменными вместе они называются переменными действие — угол. [c.86]

В бесконечно дифференцируемом случае теорема 1, вообще говоря, не справедлива для любой гладкой поверхности М можно указать такой натуральный гамильтониан Н = Т + V, что уравнения Гамильтона (1.1) на Т М имеют дополнительный бесконечно дифференцируемый интеграл, независимый (точнее, не всюду зависимый) с функцией Н. Действительно, рассмотрим стандартную сферу в пусть поверхность М получается из приклеиванием любого числа ручек к некоторой малой области N на S . Пусть Н — функция Гамильтона задачи о движении точки по инерции V = 0) по поверхности М, вложенной в Вне области N точка будет двигаться, очевидно, по большим кругам сферы S . Следовательно, в фазовом пространстве Т М существует инвариантная область, диффеоморфная прямому произведению D х Т , расслоенная на двумерные инвариантные торы. Точки из области D нумеруют эти торы. Пусть f D К — гладкая функция, обращающаяся в нуль вне некоторой подобласти G, целиком лежащей в D. Функции / соответствует гладкая функция F на D х Т , постоянная на инвариантных торах из х Т. Она продолжается до гладкой функции на всем Т М, если положить F = О вне множества С X Т . Очевидно, что F — первый интеграл канонических уравнений (1.1), и функции Н и F (при подходящем выборе /) не всюду зависимы. [c.134]

Функцию Гамильтона Н называют в связи с этой теоремой производящей функцией канонического бесконечно малого преобразования . Заметим, что, в отличие от производящих функций 5, функция Н есть функция точки фазового пространства, инвариантно связанная с преобразованием. [c.237]

Mf — гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона Н = F . [c.239]

Следствие 1. Если в канонической системе с двумя степенями свободы известен один первый интеграл Г, не зависящий от функции Гамильтона Н, то система интегрируема в квадратурах, компактное связное двумерное подмногообразие фазового пространства П = к, Р = f есть инвариантный тор, а движение на нем условно-периодично. [c.239]

Многообразие Mf инвариантно относительно каждого из п коммутирующих фазовых потоков с функциями Гамильтона Рх ёгё] — [c.240]

Следствие. Пусть функция Гамильтона Н М инвариантна относительно пуассоновского действия группы С на М. Тогда момент является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н. [c.340]

Гамильтоново поле с функцией Гамильтона Н касается каждого многообразия уровня момента Мр (так как момент — первый интеграл). Возникающее полена Мр инвариантно относительно Ср. и задает поле на приведенном фазовом пространстве Рр. Это векторное поле на Рр мы будем называть приведенным полем. [c.345]

Теорема. Фазовая кривая системы с 6-инвариантной функцией Гамильтона является относительным равновесием тогда и только тогда, когда она является орбитой однопараметрической подгруппы группы С в исходном фазовом пространстве. [c.346]

Условные экстремумы функции Н на Мр при факторизации по Gp дают критические точки приведенной функции Гамильтона (так как Н инвариантна относительно Gp). Теорема доказана. [c.347]

Посмотрим теперь, что происходит при малом возмущении функции Гамильтона с нерезонансными инвариантными торами. Формальное применение принципа усреднения (т. е. первое приближение классической теории возмущений, см. 52) приводит к выводу, что никакой эволюции нерезонансный тор не претерпевает. [c.371]

Найдем инвариантную плотность функции Гамильтона [c.98]

Из инвариантности (24.8) следует, что на изохронных контурах С инвариантен интеграл Пуанкаре, 1ц, откуда по теореме 24.1 следует, что система (24.7) гамильтонова с некоторой функцией Гамильтона Н. Таким образом, для системы (24.7) инвариантны два интеграла типа с функциями Ф ъ Н. Так как на изохронных [c.122]

Доказательство а) => б). Основой доказательства является универсальность инварианта (26.1) — инвариантность для любой гамильтоновой системы. Использование этого факта при различных функциях Гамильтона H(t,q,p) постепенно уточняет подынтегральное выражение в (26.1) и в конце концов приводит к доказываемому равенству (26.2). Ограничимся реализацией этой идеи для случая одной степени свободы в (26.1) и (26.2) п=1. Пусть [c.137]

Если функция Н M- R инвариантна относительно пуассоновского действия группы G, то, по теореме 10, момент Ро является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н, [c.99]

Функция Гамильтона (1.2) и уравнения движения (1.1) вихрей инвариантны относительно действия группы движений плоскости Е 2), которое можно представить в виде [c.113]

Второе слагаемое в этой формуле обращается в нуль, поскольку при а = О кривая ж ( ) будет решением уравнений Лагранжа. Предположим, что действие по Гамильтону инвариантно относительно действия группы g . Тогда левая часть (5.8) также равна нулю. Следовательно, согласно (5.8), значение функции [c.57]

В механике под преобразованием симметрии мы понимали преобразование, определяемое бесконечно малой производящей функцией, не зависящей от времени в силу определения (14.7), и гарантирующее инвариантность формы функции Гамильтона. В теории поля на первый план вместо формализма Гамильтона выдвигается формализм Лагранжа, поскольку именно он обеспечивает релятивистскую ковариантность. Поэтому здесь при определении преобразования симметрии исходят из плотности лагранжиана и сообразно этому требуют [c.116]

Резюме. Канонические уравнения инвариантны относительно точечного преобразования Лагранжа. Преобразование импульсов происходит с учетом инвариантности дифференциальной формыФункция Гамильтона является инвариантом преобразования, если новая система координат покоится относительно старой. В противном случае функция Гамильтона изменяется за счет гироскопических членов. [c.233]

Все дальнейшие рассуждения будут аналогичны рассуждениям предыдущего пункта. Инвариантность дифференциальной формы гарантирует инвариантность канонических уравнений и снова функция Гамильтона Н оказывается инвариантом преобразования. Более того, мы снова можем включить время t в число позиционных координат. .., qn в качестве дополнительной переменной, перейдя к параметрической форме канонических уравнений. В результате получим реономиую форму преобразований Матье, характеризуемую инвариантностью дифференциальной формы [c.236]

Инвариантность функции Гамильтона относительно инверсии в классической механике не приводит к новым законам сохранения. Инвариантность гамильтониана в нерелятивистской квантовой механике по отношению к инверсии, означаюш ая коммутативность операторов Я и Р, приводит к закону сохранения четности. Имеется в виду, что четность состояния замкнутой системы не изменяется со временем. Обратим внимание на то, что с операт ом инверсии Р коммутативен также оператор углового момента М = — г/г(г х V), т.к. при инверсии знаки у г и V изменяются одновременно, т.е. система имеет определенную четность вместе с вполне определенным значением М. [c.472]

Показано, что элементарное действие и уравнения Гамильтона будут инвариантными по отношению к преобразованию подобия, если суммы показателей квазиоднородности сопряжённых величин равны между собой. При этом преобразование Лежандра даёт функцию Лагранжа, которая является квазиоднородной той же степени, что и функция Гамильтона. [c.232]

То, что это условие достаточно, ясно из инвариантности R относительно умножения как а, так и на фазовый множитель Необходимость же его непосредственно следует из обращения в нуль коммутатора операторов q и а а. Другой и, возможно, более простой путь доказательства соотношения (6.10) основан на том, что стационарный оператор q является функцией гамильтониана только для одной моды, или аУа. Поэтому он диагонален в представлении п-квантовых состояний, т. е. п q т) = bnmi I Q I ) Исследование ряда (6.2) для R показывает, что он сводится в этом случае к выражению (6.10). [c.87]

В частности, в переменных I, фmod2л функция Гамильтона вполне интегрируемой системы с инвариантными торами принимает вид Я = Я(/). При этом [c.128]

Замечание ([184]). Относительная мера множества инвариантных торов в полидиске т <е не меньше 1—Если между частотами отсутствуют резонансы до порядка / 4 включительно, то эта мера даже не меньше 1—0(е ). Д В случае п = 2 изознергетическая невырожденность гарантирует устойчивость равновесия по Ляпунову [5]. При п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции Но не делится на линейную. Если даже квадратичная часть делится на лннелную, то равновесие все равно, как правило, устойчиво. Именно, предположи.м, что между частотами о)1 и ыг нет резонансных соотношений до порядка 1>4 включительно. Тогда функцию Гамильтона можио привести к нормальной форме [c.207]

Теорема 27 ([5]). При медленном периодическом изменении функции Гамильтона нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы переменная действие I является вечным адиабатическим инвариантом. Большая часть фазового пространства задачи заполнена инвариантными торами, близкими к торам /= onst. [c.224]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

К системе с гамильтонианом (3.14) применим теорему Мозера об инвариантных кривых, аналогично тому, как это было в системе с гамильтоьианом (6.12) в третьей главе. В нашем случае, правда, возмущающая часть Ф функции Гамильтона (3.14) зависит еще от малого параметра h. Но теорема Мозера все равно применима при рассмотрении окрестности начала координат, для которой О < Е < Ео, где Ео не зависит от h, если h достаточно малая величина [12, 72]. Так как в малой окрестности начала координат инвариантные кривые существуют при всех достаточно малых значениях постоянной интеграла Н = h = onst, то отсюда следует, что положение равновесия qi = = О изучаемой системы (1.1) устойчиво по Ляпунову. [c.77]

Доказательство этой теоремы можно провести совершенно так же, как это сделано Мозером [5] при доказательстве аналогичной теоремы при т = 2. Укажем основные моменты доказательства. Подробности изложены в [57]. Сначала надо привести функцию Гамильтона (1.2) к виду (5.2) и, используя интеграл Н — = onst, свести систему (1.1) к системе с одной степенью свободы. Применяя затем теорему Мозера об инвариантных кривых к отображению, порождаемому полученной гамильтоновой системой дифференциальных уравнений второго порядка, можно показать, что при выполнении условия (5.5) на каждом уровне Н = onst в любой достаточно малой окрестности начала координат существуют инвариантные торы системы (1.1). Отсюда следует устойчивость положения равновесия. [c.86]

С точки зрения эргодической теории, описанная ситуация означает, что поток 5 , отвечающий гамильтоновой системе с функцией Гамильтона H(p,q) и инвариантной мерой dqdp, не эргодичен. Его эргодическими компонентами служат (mod 0) п-мерные торы, на каждом из которых индуцируется эргодический поток с чисто точечным спектром. И в более общем случае, если динамическая система не эргодична, а на почти всех, ее эргодических компонентах реализуется динамическая система с чисто точечным спектром, то мы будем называть ее интегрируемой. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...