Интегрирование (правила функций

Несколько сложнее интегрирование правой части. Подставляя значения Уо и / о из (95.1) и функции гр к (95.9) и заменяя = с - с , получим выражение [c.535]

За исключением последнего интеграла в правой части формулы (6), все интегралы в правых частях формул (4), (5) и (6), как это легко видно, одной и той же конструкции. Подинтегральная функция составляется следующим образом некоторая, численно заданная в каждой точке области, функция умножается на производную по направлению, перпендикулярному к направлению интегрирования, от функции, также численно заданной в каждой точке области. [c.578]

Теперь для того, чтобы представить функции распределения Д и Д в виде функционалов от подставим в формулу (3.1.54) разложение (3.1.56) функции г дг. Сначала с помощью интегрирования правой части по фазовым переменным Ж2,...,Ждг и Жз,...,Ждг найдем, соответственно, функционалы и /2(ж ,Ж2 уД ) ), после чего с помощью формулы (3.1.59) получим функционалы [c.178]

Однако систематические исследования показали, что в действительности % ( ) является, как правило, функцией времени и поэтому не может быть непосредственно использована для расчета надежности сложных устройств. Для такого расчета необходимо определить Р,- (/), что связано с интегрированием функции (/) по времени. [c.69]

Пусть функции Гт с т < о известны. Тогда I можно вычислить простым интегрированием и функцию можно найти, решив линейное уравнение (3.9) с известной правой частью. Именно эту задачу мы и будем решать, причем полное ее региение можно разделить на два этапа. [c.41]

После интегрирования по частям в правой части такие уравнения сводятся либо к (6-3.1), либо к (6-3.3). Однако ситуация в корне меняется, если функция F ( ) сама зависит от скорости деформации. Ниже мы обсудим это подробнее. [c.226]

В уравнении (2. 6. 2) и ниже все величины безразмерные , р г, в, () — динамическое давление, — угловая частота колебаний. Функция О (г) в правой части равенства (2. 6,, 2) появляется в результате интегрирования уравнения Эйлера и представляет собой функцию, зависящую только от времени [c.52]

Для того чтобы выполнить интегрирование в (3. 2. 26), используем определение функции Р (г . Су) (3. 2. 22) и ее нормировку (3. 2. 23). Для первых двух слагаемых в квадратных скобках правой части (3. 2. 26) имеем [c.101]

Если проекции сил Fix, Fty и F и приращения координат dxi, dyi и dzi выражены через один и тот же скалярный параметр (например, через время t или — в случае системы, состоящей из одной точки, —через элементарное перемещение ds), то величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены в виде функций от этого параметра, умноженных на его дифференциал, и могут быть проинтегрированы по этому параметру, например по t в пределах от ty до Результат интегрирования обозначается 2 и 2 называется полной работой силы Ft и полной работой сил системы за время ( i, t. ) соответственно. [c.56]

Ввиду того, что правая часть уравнения (4) имеет громоздкий вид, затрудняющий интегрирование, запишем уравнение (4) в гиперболических функциях, воспользовавшись формулами [c.44]

В предыдущих параграфах была рассмотрена возмущающая сила, представляющая собой частный случай силы Q( , определенной равенством (IV.56), а именно тот случай, когда ряд Фурье сводится к одной гармонике. Все основные результаты, найденные в предыдущих параграфах, непосредственно распространяются на общий случай возмущающей силы, определенной равенством (IV.56). Это вытекает из основных теорем об интегрировании линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Как известно, в случае, если правая часть неоднородного уравнения является суммой некоторых функций и если найдены частные решения вспомогательных неоднородных уравнений, правые части которых равны слагаемым указанной выше суммы, то сумма частных решений вспомогательных дифференциальных уравнений ) будет частным решением основного дифференциального уравнения ). [c.350]

Если тело многосвязно, то интеграл в формуле (3.44) может, вообще говоря, получить конечные приращения, в силу чего не обеспечивается однозначность перемещений, тогда как они должны быть однозначными. Многосвязное тело с помощью надлежащих мысленных разрезов можно обратить в односвязное, тогда при соблюдении условий совместности деформаций Сен-Венана перемещения Uh, определяемые (3.44), будут однозначными функциями, если кривая интегрирования нигде не пересекает линий разрезов. При приближении точки М к какой-либо точке линии разреза с левого или правого берега uu будут принимать, вообще говоря, различные значения. Отсюда становится ясно, что в случае много-связной области для обеспечения совместности деформаций дополнительными условиями будут (и )л.бер= (Ый)пр.бер ВДОЛЬ ВСеХ ЛИНИЙ разрезов. [c.59]

Заметим, что выражения в скобках (3.4.2), как известно, представляют левые части уравнений равновесия (2.2.1) и сами по себе уже равны нулю (если, конечно, выражения для напряжений приняты точными). По этой причине умножение таких выражений на любую функцию (например, на f и др.) и последующее интегрирование по любому объему не Должны изменить результата, т. е. в правой части останутся нули. [c.65]

Подынтегральная функция в первой части этого равенства в соответствии с теорией тонкого тела и методом определения угла скоса потока путем нахождения индуцированного правым и левым свободными вихрями поля скоростей имеет аналитическое выражение. После подстановки соответствующих величин в (11.24) и некоторых преобразований получается зависимость для коэффициента интерференции оп, расчеты по которой проводятся методом численного интегрирования. [c.618]

При построении этих уравнений применялась формула интегрирования по частям с использованием условия (0/(с1/) = = оз,(6/) = 0. Поскольку разыскиваются лишь ограниченные (можно показать, что из условия ограниченности следует обращение решения в нуль) на концах решения уравнения (8.7), то индекс уравнения будет равен (—т). А это значит, что уравнение оказывается разрешимым лишь ири выполнении условия (3.14) гл. I, выражающего ортогональность правой части всем собственным функциям союзного уравнения (обращающимся в бесконечность на концах), что и приводит к условиям на постоянные С/. [c.429]

Формула (3.9.6) представляет общий интеграл линейного дифференциального уравнения с правой частью в форме, наиболее удобной для приложений. Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл это начальные (при 2 = 0) значения искомой функции и ее производных. Поэтому метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на> формуле (3.9.6) и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров, он разрабатывался рядом советских авторов не только в применении к балкам, но также к пластинкам и оболочкам. [c.105]

Перед интегрированием заметим, что уравнение (555) может иметь место только в случае, если левая и правая части его равны одной постоянной величине, так как между функциями, зависящими от различных переменных, равенства быть не может. [c.369]

В правой части (1-11) температурные функции ia T), Сро Т) (константы интегрирования), как будет показано ниЖе, соответствуют идеально-газовому состоянию и называются идеально-газовыми термодинамическими функциями. Вторые слагаемые, характеризующие отклонение от идеально-газового состояния, могут быть вычислены, если известно уравнение состояния v—v p, Т). Таким образом, для определения калорических свойств необходимо знать не только уравнение состояния, но также идеально-газовые термодинамические функции. Последние не могут быть получены средствами термодинамики, а должны вычисляться на основе других методов (обычно идеально-газовые функции вычисляются методами статистической физики). [c.12]

В правой части (1-15) константа интегрирования Uo(T) является функцией температуры, смысл которой нетрудно установить, если в (1-15) перейти к пределу при о—>-оо. Газ, находящийся при нулевой плотности (или V—>-оо), как будет показано ниже, представляет собой идеальный газ (гл. 3). Из этого следует, что Ua(T) представляет собой внутреннюю энергию идеального газа. Вклад во внутреннюю энергию газа за счет неидеальности определяется членом —a/v. [c.13]

Если конкретный вид функции правой части уравнения (2-31) от р или Т известен, то, интегрируя уравнение Клапейрона — Клаузиуса, можно получить с точностью до постоянной интегрирования уравнение кривой фазового равновесия в явном виде. Этому вопросу посвящены последующие три параграфа настоящей главы. [c.32]

Правые части уравнений (43.1) являются определенными функциями времени и содержат 2з постоянных интегрирования, определяемых при = 0 по следующим начальным условиям [c.230]

Правая часть состоит из величин, определяемых экспериментально, и поэтому должна рассматриваться как известная функция t. После интегрирования [c.89]

О том, какие способы существуют для преодоления такого препятствия, мы здесь говорить не будем. Таких способов много, но это тема особая. А в данном случае можно поступить довольно просто. Следует сразу задаться каким-либо определенным, любым значением 9о, например 0о = О,О1. После этого интегрирование легко выполняется, и мы получаем какую-то кривую для функции у, например, такую, как показано на рис. 56. На правой опоре, конечно, прогиб не равен нулю ведь нами допущен произвол... [c.61]

Чаще всего зависит лишь от положения тела (т. е. от угла 6) и от времени, так что правая часть этого уравнения является данной функцией 0 и /, и само уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, которое может служить для нахождения 6 как функции от t. Определение движения тела приводится, таким образом, к интегрированию этого уравнения. В результате интегрирования в него войдут две произвольные постоянные, которые определяются начальными значениями величины 0 и ее производной б (или <о). [c.70]

Произведенная здесь оценка ошибки, которую мы допускаем, считая к постоянной, может быть применена также при интегрировании выражений os 2k t, os ik t и os A7 (последнее выражение есть линейная функция от os k t и os ЗА7), так как t можно заменить на 2t или 3/. Интегрирование уравнения (5) в предположении, что к постоянная, приводит, таким образом, в правой части к ошибке четвертого порядка (так как t конечно). Выполняя интегрирование, получим [c.145]

Задача интегрирования, таким образом, решена. Мы получили три частных решения уравнений движения одно из них дает вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси ОГ (это решение содержит одну произвольную постоянную), два других дают колебательные движения вокруг осей, наклоненных друг к другу (каждое из этих решений содержит две произвольные постоянные). Всего имеем, таким образом, пять произвольных постоянных. Так как уравнения относительно р, с], г линейные и без правых частей, то общее решение системы можно получить в виде суммы найденных частных решений. Полученное таким способом решение будет содержать пять произвольных постоянных, что позволит произвольно задать начальные значения функций р, д, г н двух их производных. [c.155]

Для медленно меняющихся во времени квантовых распределений и для случая слабой пространственной неоднородности это выражение может быть упрощено (ср. 49). Именно, считая, что характерный масштаб расстояния пространственного изменения функции /оо велик в сравнении с размером области действия сил, а характерное время изменения квантового распределения велико по сравнению с временем соударения, в первом приближении полностью пренебрежем пространственной и временнбй зависимостью функции /о,о при интегрировании правой части (53.7). Кроме того, примем <0 и, имея в виду условие ослабления корреляции, [c.220]

Рассмотрим член, для которого /г=т. Среднее значение квадрата sin mkiZ на одном периоде длиной равно (> i содержит т полных периодов функции sin mk z). Таким образом, при интегрировании правой части (40) появляется член V2 AJ i. Все остальные члены при этом равны нулю. Это видно, например, из следующего. Рассмотрим интеграл от sin nk z sin mk z, когда тфп. Подынтегральная функция может быть записана в виде [c.71]

Более существенно другое обстоятельство — наудачу взятое преобразование (65), вообще говоря, не будет канониче ским, т. е. для него нельзя будет подобрать никакой функции полным дифференциалом которой стала бы правая часть (66) Действительно, производящая функция находится, как было про демонстрировано на примере, интегрированием уравнений (67.1) которое в случае более чем одной степени свободы, вообще го воря, невозможно, так как уравнения не обязаны быть совмест ными. Далее возникающие при интегрировании произвольные функции от Р,-, вообще говоря, нельзя подобрать так, чтобы удовлетворить уравнениям (65.2). Эти трудности не меняются при переходе к другой форме вариационного принципа. Поэтому, если стоять на той точке зрения, что исходными являются преобразования (65), то только в виде исключения можно найти каноническое преобразование, общим же результатом не слишком краткого исследования будет тот вывод, что заданное преобразование неканонично. [c.130]

Это - криволинейный интеграл от полного дифференциала. Извест что если внутри области, охватываемой кривой М, вдоль которой ведет интегрирование, подынтегральные функции и их производные сущес ют и непрерывны, то этот интеграл равен нулю. В данном случае р сматривается система (2.1) с аналитическими правыми частями Р и Непрерывность подынтегральных функций в (2.20) и их производных м жет нарушаться только в особых точках, где одновременно Р= О и Q= Пусть внутри замкнутой кривой нет состояний равновесия системы (2. Тогда очевидно, что у = 0. [c.62]

В рассматриваемом случае, когда заданы Q/w и Я, нужно определить величину Tw, удовлетворяющую уравнению (2-8.18). Это сделано графическим способом. Интеграл, стоящий в правой части уравнения (2-8.18), а также вся правая часть являются функциями только Tw На рис. 2-6 приведены графики функции и правой части уравнения (2-8.18), полученные путем графического интегрирования. Значение Tw получают в соответствии со значением ординаты, равным QlwH . Наконец, из соотношения (2-8.17) вычисляют Ap/L — 0,0035 атм/см. [c.89]

Графическое и численное интегрирование. Этот прием применяется в тех случаях, когда функцию нельзя проинтегрировать в аналитической форме или это связано с большим объемом работы. Численное интегрирование ведется по квадратурным формулам Ньюто-на Котеса (правило трапеций, правило Симпсона, правило Уэддля, формула Грегори), формулам Гаусса и Чебышева. [c.111]

Переходя к интегрированию уравнения движения (78), заметим, что наличие в правой его части разрывной функции, меняющей в точке X = О свой знак па противоиололшый, т. е. пре-т гриевающей конечный скачок на величину 2fG, заставляет вести интегрирование в пределах каждого размаха отдельно. Кулоново трение представляет собой пример сопротивления с нелинейным законом зависимости от скорости движения. [c.99]

Интеграл, зависящий от производной 6-функции. Используя правило интегрирования по частям, mosjho получить [c.312]

Заметим, что операция умножения на интегральные операторы (операция интегрирования по времени) и операция дифференцирования или интегрирования по пространственным координатам пере-ставимы между собой. Отсюда следует простое правило построения решения задачи теории вязкоупругости, которое носит название принципа Волътерры. Принцип заключается в том, что решение задачи для вязкоупругого тела может быть получено так же, как решение аналогичной задачи для упругого тела, если в процессе решения с интегральными операторами обращаться как с упругими постоянными. В итоге решение будет представлено как произведение функции от упругих постоянных и от пространственных координат на известную функцию времени. Последняя определяется по заданным силовым или кинематическим воздействиям. Далее следует заменить упругие постоянные интегральными операторами и произвести необходимые операции над ними. [c.351]

Справедливость представления выражения (37) обусловлена непрерывностью ОПФ оптических n TeN< и неизменностью знака подынтегральной функции в правой части по всей области интегрирования, что объясняется физикой процесса преобразования оптического сигнала. [c.52]

И е (особые точки в плоскости Vip, в которой ое является сепаратрисой), нужно исследовать поведение решения в малой окрестности начальной точки о. Пример такого аналитического исследования, основанного на линеаризацпи системы дифференциальных уравнений в малой окрестности точки о и позволяющего выйти па особой точки о вдоль искомой сепаратрисы, дан в 3—5 и 10 гл. G применительно к исследованию структуры ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Интегральную кривую ое можно найти и численно с помощью пристрелки по двум параметрам по следующей схеме. Так как л не входит в правые части дифференциальных уравнений (4.4.15), интегральные кривые допускают произвольное смещение вдоль оси х. Поэтому фиксируем для х/ = 0 некоторое v,f, такое, что 1г 1/1 < va и Vif мало отличается от Va (для размытой волны индекс / внизу относится к начальной точке интегрирования, в которой производится пристрелка). Далее при фиксированном Vtf подбираем такие Mif и Pf (как указано в обсуждении после (4.4.17), остальные искомые функции однозначно определяются по значениям Vif, Pf при этом Мг И Pf ДОЛЖНЫ быть такими, чтобы v i < 1 2/1 < 1 о1), чтобы интегральная кривая с этими граничными условиями в точке Xf имела при х оа ъ качестве предела начальное состояние. [c.345]

Более сложные задачи, относящиеся к изгибу, как-то продольно-поперечный изгиб, изгиб балок на упругом основании, поперечные колебания балок — сводятся к решению линейных уравнений с постоянными ко )ффи-циеатами более сложного вида, чем уравнение (3.8.4). Трудность интегрирования этих уравнений заключается в том, что правая часть есть функция от Z, имеющая разные аналитические выражения на разных участках. Излагаемый ниже метод применялся еще Коши для изгиба балок он бьш детально разработан Крыловым. [c.103]

По определению функции Дирака А правая часть (11.4.3) равна bi пли равна пулю в зависимости от того, находится точка х, внутри объема V, ограниченного поверхностью S, илп вне этого объема. Таким образам, девая часть получает скачкообразное приращение при переходе через поверхность S. Но при переходе через поверхность 2 может получить приращение только перемещение т таким образом, первое утверждение доказано. Более того, поверхность 2 и соот-ввтствсшю 2 —любые поверхности, проходящие через контур Г, и рассуждения, связанные с соотношением (11.4.3), всегда сохраняют силу. Отсюда Рис. 11.4.2 следует, что в уравнении (11.4.2) интегрирование [c.366]

Неопределенный интеграл в правой части уравнения (п) Hotia является функцией от 2 и г. Интегрирование по г, если фиксировать г, дает [c.488]

В последнем слагаемом правой части в виду непрерывности kit, т) возможна перестановка порядка интегрирования. Совершив эту перестановку, получим интегральное уравнение Фред-гольма для определения функции fit) [c.186]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

Поскольку для балки постоянного сечения Л = onst, то правая часть уравнения (2.51) зависит только от.М. Если функция М(х) известна, то дифференциальное уравнение (2.51) может быть использовано для отыскания упругой линии балки. Уравнение это нелинейное и неоднородное второго порядка. Интегрирование его сопряжено с большими трудностями. Однако это уравнение можно упростить, если учесть, что для большинства конструкций максимальный прогиб обычно составляет весьма малую долю пролета I (рис. 2.28) i/макс < (0,003 -ь 0,002)/. Следовательно, угол [c.157]

Переменив порядок интегрирования в правой части, найдем для интеграла этой части значение яф (м). Искомая функция будет выражаться определенным интегралом, содержащим заданную функцию [c.407]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...