Напряжения и деформации в пределах упругости — Зависимости (по закону Гука)

Известно, что закон Гука справедлив, пока напряжение не превышает определенной величины, называемой пределом пропорциональности, а в некоторых случаях расчеты на прочность приходится проводить при более высоких напряжениях, с учетом пластических деформаций. Кроме того, и в пределах упругости зависимость между напряжениями и деформациями у ряда материалов нелинейна, т. е. не подчиняется закону Гука. К таким материалам относятся чугун, камень, бетон, некоторые пластмассы. У некоторых материалов, подчиняющихся закону Гука, модули упругости при растяжении и сжатии различны. Поэтому в последнее время расчеты на прочность во всех указанных случаях приобретают все большее значение. [c.346]

Итак, когда мы выходим за рамки закона Гука, связь между напряжениями и деформациями становится не только нелинейной, но оказывается к тому же еще и неоднозначной, а кроме того, она зависит и от истории нагружения. Поэтому, если напряжения превосходят предел пропорциональности и предел упругости, все те соотношения, которые были выведены нами ранее с использованием закона Гука, становятся неверными вдвойне . При решении задач за пределом упругости надо прежде всего условиться об истории нагружения, а оказавшись за пределом пропорциональности, надо позаботиться о том, как отразить реальную зависимость напряжений от деформаций, не следующую уже закону Гука. [c.137]

Напряжения и деформации в пределах упругости — Зависимости (по закону Гука) 14 [c.550]

Процесс деформирования пластичных материалов может быть разделен на две стадии. Первая — упругое деформирование при малых деформациях. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связаны законом Гука (гл. 6). Прежде чем перейти к установлению физических зависимостей на второй стадии — пластического деформирования, следует определить условия возникновения пластических деформаций. В простейшем случае одноосного напряженного состояния это условие соответствует равенству напряжений пределу текучести От, при котором на диаграмме ст 8 имеется площадка текучести. При сложном напряженном состоянии условие появления пластических деформаций устанавливается на основании двух критериев, соответствующих двум теориям прочности ( 12.5). [c.503]

Напряжения и деформации в пределах упругости — Зависимости (по закону Гука) 3—14 —— кривых брусьев 3—112 Напряжения затяжки резьбовых соединений 4 — 534 [c.443]

При упругих деформациях величина элементарных сил, вызывающих смещение атомов из положения равновесия, возрастает с увеличением этого смещения. Для металлов в определенных пределах нагружения обычно существует пропорциональная зависимость между деформирующими силами (напряжениями) и смещениями атомов из положений равновесия (деформациями), которая соответствует условиям упругой деформации и известна как закон Гука. Однако существуют материалы, например резина, для которых в пределах упругих деформаций отсутствует линейная связь между напряжениями и деформациями (нелинейно упругие материалы). [c.10]

В пределах упругих деформаций между нормальным напряжением и продольной деформацией существует прямо пропорциональная зависимость, носящая название закона Гука-. [c.163]

Обобщенный закон Гука. Диаграмма а — е, как уже ранее отмечалось, имеет несколько характерных участков, которым даны соответствующие их содержанию названия. Первый участок, на котором зависимость а — е близка к линейной, назван участком линейной упругости. На этом участке наблюдается линейная зависимость между напряжениями и деформациями (до предела пропорциональности о ц) о = е. Что касается поперечной деформации, то для нее е о = —р.е р. [c.143]

Упругое последействие. Описывая деформирование образца в 2.11, мы отвлеклись от того, как протекает оно во времени. Рассмотрим деформирование образца в пределах соблюдения закона Гука с учетом фактора времени. Наблюдения показывают наличие некоторого отставания деформаций от напряжений — деформация происходит как в процессе возрастания силы, так и в течение некоторого отрезка времени после прекращения роста напряжения. Такое явление носит название упругого последействия при нагружении. Отстают деформации от напряжений и в процессе разгрузки нагрузка уже снята с образца — напряжения равны нулю, а упругая деформация к этому моменту еще не полностью исчезла и остаток ее продолжает уменьшаться, доходя до нуля, еще некоторый отрезок времени. Это явление называется упругим последействием при разгрузке ГНа рис. 2.51 графически изображена зависимость [c.152]

При растяжении цилиндрич. образца (одноосное напряжённое состояние) обнаруживают предел упругости Оу при напряжениях о < о деформация е обратима (упругая) и связана с а Гука законом Оу = Еъ Е — модуль Юнга). При дальнейшем увеличении растягивающей силы связь между о и е становится нелинейной и необратимой (рис.). Возрастание а с увеличением е наз. деформац. упрочением. При разгрузке от напряжения а > Оу (точка М) зависимость а от е изображается прибл. прямолинейным отрезком МП, параллельным нач. участку упругости ОА. Часть деформации [c.631]

Как уже упоминалось, вследствие перемещения пластической области подсчеты возникающих напряжений можно проводить для определенных периодов времени, причем определять границы этих областей очень трудно иэ-за процесса теплопередачи. Трудности также возникают и при определении напряжений, при которых происходит макроскопическое разрушение материала. При нагреве отдаленных областей формы тепловая нагрузка на приповерхностную область уменьшается. Следовательно, напряжения в нагруженной области можно подсчитать с помощью закона Гука с учетом того, что деформацию необходимо отсчитывать от возникшего нового состояния. Кроме того, в зависимости от температуры следует соответственно определить такие исходные данные, как модуль упругости, коэффициент Пуассона, температурный коэффициент линейного расширения и предел текучести. [c.18]

Теория деформаций относится к чистой геометрии, а теория напряжений—к чистой статике. Для установления связи между ними потребуются некоторые физические допущения. Обычное допущение—так называемый закон Гука ) он заключается в предположении линейной зависимости напряжений от деформаций. Этот закон перестает соблюдаться даже приближенно, когда деформации превосходят некоторые величины, получившие название пределов упругости однако для целей акустики в применимости закона Гука можно не сомневаться ввиду [c.145]

Пластический анализ. У некоторых материалов, особенно у конструкционных сталей, за линейно упругой областью следует область значительного пластического течения. Для такого материа-ла диаграмму зависимости напряжения от деформации с удовлетворительной точностью можно схематически представить двумя прямолинейными отрезками, как показано на рис. 1.19, с. Предполагается, что материал следует закону Гука вплоть до предела текучести, а после этого течет при постоянном напряжении. Напряжение и деформация, соответствующие пределу пропорциональности, будут обозначаться через и соответственно. Материал, который течет без увеличения напряжения, называется идеально пластическим. Конечно, в конце концов вследствие упрочнения диаграмма зависимости напряжения от деформации для стали расположится выше предела пропорциональности, как уже было объяснено в разд. 1.3, но к тому времени, когда это случится, деформации будут чрезвычайно велики и конструкция утратит несущую способность. Поэтому исследование стальных конструкций в пластической области на основе диаграммы, изображенной на рис. 1.19, с, [c.38]

Упругостью называется свойство материала, благодаря которому деталь восстанавливает после снятия нагрузки свои первоначальные форму и размеры. При нормальных температурах, ограниченных скорости и продолжительности деформации деталь с достаточной точностью можно считать упругой до тех пор, пока возникающие в ней напряжения и деформации не превзошли определённого значения предела упругости). При упругом состоянии имеется однозначная зависимость между нагрузкой и деформациями, формулируемая по закону Гука в общем виде так деформация пропорциональна нагрузке. [c.16]

Кривая ВС от точки С переходит в горизонтальную или почти горизонтальную прямую СП, что указывает на значительное возрастание удлинения при постоянном значении силы материал, как говорят, течет. Напряжение ат> определяемое ординатой горизонтального участка диаграммы, при котором наблюдается текучесть материала, называется пределом текучести. При этом напряжении происходит значительный рост пластической (остаточной) деформации. Когда напряжения в материале достигают предела текучести, полированная поверхность образца тускнеет и постепенно делается матовой. На ней появляются линии, наклоненные к оси образца под углом примерно 45° (рис. 73, б). Эти линии носят название линий Людерса — Чернова, их появление свидетельствует о сдвиге кристаллов образца. За площадкой текучести СО следует пологий криволинейный участок диаграммы ОЕ. Материал вновь начинает сопротивляться росту деформаций, но, естественно, зависимость между деформацией и напряжением уже не подчиняется закону Гука. Кроме упругого удлинения образец получает значительное остаточное удлинение. Участок ПЕ диаграммы называют зоной упрочнения, материал здесь снова оказывает сопротивление деформациям. [c.75]

Скорость упругой деформации определяют по закону Гука. Примем здесь для простоты, что напряжение не превышает предела упругости при данной температуре, тогда = 0. Деформация ползучести при наличии подобия и постоянном напряжении определяется соотношением (2). Тогда скорость ползучести (в случае степенной зависимости) будет [c.92]

Теоретический коэффициент а. Для определения коэффициента а принимают линейную зависимость между деформациями и напряжениями, т. е. закон Гука. В таком случае напряжение у концентратора может быть установлено из соответствующего эксперимента (путем измерения деформаций и последующего пересчета деформаций на напряжения) или может быть рассчитано методами теории упругости. Как видим, при определении коэффициента а материал рассматривают лишь в упругой стадии деформации (для использования закона Гука напряжение должно быть меньше предела пропорциональности а ), а потому влияние материала скажется лишь через характеристики упругости. Вся специфика реального материала (неоднородность структуры, способность к пластической деформации) при этом не отражается. Материал, представленный только упругими константами Е и [I,—это идеально упругий, абсолютно однородный, 19 [c.291]

В пределах упругой деформации существует линейная зависимость между напряжением и величиной деформации, т. е. напряжение прямо пропорционально относительной деформации. Эта зависимость между напряжением и деформацией носит название закона Гука. [c.14]

В теории упругости термин чистый изгиб призматического бруса подразумевает такую деформацию, при которой, кроме условий (12.1), имеет место строго определенное распределение на торцах поверхностной нагрузки, статическим эквивалентом которой являются моменты Ш, а именно распределение этой нагрузки по линейному — в зависимости от у (или х) — закону, если чистый изгиб происходит в плоскости Оуг Охг). При этом во всем брусе отсутствуют не только поперечные и продольные силы и крутящий момент, но и самоуравновешенные в пределах поперечного сечения напряжения, в том числе касательные напряжения, д следовательно, если учесть закон Гука, то отсутствуют и сдвиги. [c.97]

Для всех твердых тел, которые наблюдал Бах, он обнаружил отклонение от линейности в зависимости напряжений от деформаций. Он утверждал, что закон Гука, образующий основу линейной теории упругости, верен только для меньшей части материалов, и притом только в определенных пределах. В 1897 г. на основании своих собственных экспериментов и анализа весьма тщательных экспериментов Дж. О. Томпсона Бах (Ba h [1897,1]) заключил, что было бы весьма нереалистичным рассматривать линейность как общий закон. Это замечание стало исходным пунктом для его более исчерпывающего изучения упругого поведения. Он подчеркнул, что при очень тщательных испытаниях важные конструкционные материалы, например чугун и сталь, для которых обычно предполагается справедливость закона Гука, ведут себя не так, как предписывается этим законом. [c.159]

Представление о дислокациях возникло на основе анализа процесса пластической деформации в кристаллах. Экспериментально было установлено, что при малых деформациях кривая зависимости напряжения от деформации круто нарастает в области справедливости закона Гука, согласно которому напряжения зависят от деформации линейно. После прохождения критической точки, называемой пределом упругости, наступает пластическая деформация, являюшаяся, в отличие от упругой деформации, необратимым процессом. [c.236]

Классическим примером в этом отношении может служить теория напряжений и деформаций в идеальном однородном теле, когда в точке тела выделяется бесконечно малый элемент в виде параллелепипеда и рассматривается его напряженное состояние. Связь между деформациями и напряжениями описывает закон Гука. Развитие этого подхода с учетом возникновения пластических деформаций позволяет найти зависимости между напряжениями и деформациями и за пределами упругости [111]. Необходимость учитывать реальные особенности строения материалов привела к созданию таких наук, как металловедение, которая изучает и устанавливает связь между составом, строением и свойствами металлов и сплавов. Для материаловедения как раз характерно рассмотрение явлений, происходящих в пределах данного участка (зерна, участка с типичной структурой), обладающего основными признаками всего материала. Изучение микроструктур сплавов и их формирования явлений, происходящих по границам зерен, термических превращений и других процессов, проводится в первую очередь на уровне, который описывает микрокартину явлений. [c.60]

На рис. 1.34 показана кривая зависимости а (е) для стеклообразных полимеров. На ней можно выделить три области А, В, С. Область А соответствует упругой деформации и описывается законом Гука. Величина деформации на этом участке относительно невелика и измеряется единицами процентов. После снятия напряжения деформация исчезает практически мгновенно. При дальнейшем увеличении напряжения скорость роста деформации увеличивается и при достижении предела вынужденной эластичности Овэ в образце начинает развиваться вынужденноэластическая деформа- [c.46]

Предел пропорциональности при кручении (технический) Тпц, кгс/м.м — 1 асательное напряжение — отношение крутящего момента М к полярному моменту сопротивления W образца для упругого кручения, при которо.м отступление от линейной зависимости ме кду папряженпями и деформациями (от закона Гука) по поверхности образца достигает такой величины, когда тангенс угла, образуемого касательной к точке кривой деформации с осью напряжения, превышает первоначальное значение на 50%, [c.7]

Упругостью называется свойство материала восстанавлипать после снятия нагрузки первоначальные размеры и форму детали, выполненной из данного материала Прн нормальной температуре, ограниченных скорости и продолжительности деформации деталь с достаточной точностью можно считать упругой до тех пор, пока возникающие п ней напряжения не нревзош.пи определенного зна чеяия — предела упругости При упругом состоянии имеется однозначная зависимость между нагрузкой и деформациями, формулируемая в общем виде как закон Гука деформация пропорциональна нагрузке. [c.12]

Критерий жесткости материала отношение напряжения вне предела пропорциональности к соответствующему напряжению. Если растягивающее напряжение 13,8 МПа приводит к удлинению на 1,0%, модуль упругости получается делением 13,8 МПа на 0,01 т. е. 1380 МПа. (2) В терминах кривой зависимости деформаций от напряжения, модуль упругости — наклон кривой зависимости деформаций от напряжения в амплитуде линейной пропорциональнсти напряжения. Также известен, как Модуль Юнга. Для материалов, которые не подчиняются закону Гука в пределах упругой зоны, за модуль упругости обычно берется наклон или тангенс кривой вначале или при низком напряжении, или секанс, выведенный от начала до любой точно установленной точки, или прямая, соединяющая любые две конкретные точки на кривой зависимости деформаций от напряжения. В этих случаях, модуль соответственно называется касательным, секансовым или прямым. [c.1003]

Обсуждаемые в данной книге приложения будут относиться к случаю упругого материала, для которого зависимости напряжения от деформаций выражаются хорошо известным и относительно. простым законом Гука, который будет формально выписан в 3.1 при обсуждении задач, теории упругости. Реальные материалы не следуют этому закону в точности. Некоторые, подобно чугуну, обладают слабо, нелинейной зависимостью напряжения от деформаций. Но даже те, у которых на первый взгляд эта зависимость линейна вплоть до предела упругости, демонстрируют едва заметное различие в поведении при нагружении и разгрузке (упругий гистерезис, который имеет, по-видимому, существенное значение в связи с усталостью материалов) при этом обнаруживаются и температурные эффекты, проявляющиеся в различии температурных постоянных при изотермическом (при очень медленном изменении деформаций) и адиабатическом (при очень быстром изменении деформаций) нагружении, они до некоторой степени аналогичны электростатическим эффектам. Подобные отклйнения от закона Гука, как правило, не важны для практических задач и не будут рассматриваться здесь. [c.28]

В начале нагружения между напряжением и деформацией существует приближенная линейная зависимость, что позволяет при расчетах пользоваться законом Гука. Напряжение, при котором отступление от линейной зависимости между напряжениями и деформациями впервые достигает неко-торш заданной величины, называют пределом пропорциональности — 0, (точка 1 на рис. 1). Если в какой-либо момент начать разгружать образец (точка А), то зависимость между напряжением и деформацией при разгрузке изобразится прямой линией АВ, практически параллельной лннпи нагрузки 01. Деформация в точке А состоит из упругой части которая устраняется [c.16]

В дальнейшем ограничимся при решении задач лишь случаем изотропного тела. Этот случай имеет большое практическое значение. Такие материалы, как литое железо и сталь, по их свойствам в пределах упругости можно без значительных погрешностей принимать за изотропные. Зависимость между напряжениями и деформациями в этом слзгчае выражается посредством двух упругих постоянных, и мы ее без затруднения устцровим, если сделаем следующее вполне естественное допущение. Положим, что в случае изотропного материала направления главных напряжений совпадают в каждой точке с направлениями главных деформаций и, следовательно, угол между двумя взаимно перпендикулярными площадками искажается лишь в том случае, если есть соответствующие касательные напряжения. Выделим из тела плоскостями, нормальными к главным напряжениям, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. В силу сделанного допущения углы этого параллелепипеда при деформации не искажаются и полное изменение формы выделенного элемента определяется тремя главными деформациями вхх, вуу и е (координатные оси х,у, г направим параллельно главным напряжениям в рассматриваемой точке). Соответствующие им напряжения будут Хх, У у и Согласно обобщенному закону Гука каждая из составляющих напряжения представляется линейной функцией составляющих деформации. Например, Хх можно представить в таком виде [c.45]

Простейшим случаем неупругого изгиба является пластический изгиб, который имеет место при упруго-идеально-пластическом материале. Такой материал подчиняется закону Гука, пока напряжение не достигнет предела текучести, а затем в нем развиваются пластические деформации при постоянном напряжений. Диаграмма зависимости напряжения от деформации для упруго-идеально-пластического материала, имеющего одинаковые значения предела текучести а,г и модуля упругости Е при растяжении и сжатии,, представлена на рис. 9.2. Здесь видно, что упруго-идеально-нластичее-кий материал имеет область линейно упругого поведения, за которой [c.347]

Приведенные физические урлвнения (обобщенный закон Гука), выражающие зависимость между напряжениями и деформациями, справедливы только в пределах упругости, когда не возникают пластические деформации. [c.80]

На этой диаграмме (см. рис. 76, а) точка а соответствует пределу пропорциональности, так что при сг < сг р выполняется обобщенный закон Гука (2,147), и при растяжении стержня согласно (2.153) имеем <7 = Ее. Недалеко от точки а лежит точка соответствующая пределу упругости <Туцр и определяющая область нелинейной упругости (участок а6), когда нарушается закон (2.14 7) и имеет место более общая зависимость (2.145). Участок диаграммы а < сГу р характерен тем, что после снятия нагрузки остаточных деформаций не остается, т. е. разгрузка идет по той же линии ОаЬ, что и нагрузка, только в обратном направлении. При полной разгрузке (сг = 0) деформация обращается в нуль. Однако в области СТ процесс деформации становится неустойчивым (участок с ) и только при и = ((7 к — предел текучести) удлинение образца заметно увеличивается материал, говорят, начинает течь , т. е. образец без изменения нагрузки значительно увеличивает свою длину. Поскольку деформация идет почти без изменения объема , то при течении на образце образуется характерное сужение — шейка . Участок (площадка текучести) соответствует пластическому состоянию материала, и если она строго горизонтальна, то материал называют идеально пластическим. После точки Л наступает упрочение материала, т. е. монотонное возрастание напряжения, а затем (точка в ) — разрушение (предел прочности). Участок диаграммы от Ь до е характерен тем, что если в какой-то момент (точка М) снять нагрузку, то уменьшение деформации пойдет по линии ММ, приводя к остаточной деформации ОМ , при повторном нагружении образец будет следовать новой кривой М М . [c.389]

Модуль упругости. Материалы, обладающие (наряду с упругой) высокоэластической деформацией — каучук, резина, некоторые пластмассы, а также текстильные изделия, способные к большим обратимым деформациям, — показывают линейную зависимость между напряжением и деформацией в весьма небольших пределах начальных деформаций. В целом, у этих материалов зависимость напряжение — деформация н елинейна и обычно не монотонна. Следовательно, такие материалы, как не подчиняющиеся закону Гука, нельзя охарактеризовать одним постоянным значением модуля продольной упругости Е, рассчитываемым из отнощения напряжения к деформации. На нелинейном участке модуль упругости материала можно определить в дифференциальной форме. [c.14]

Существуют пластические массы — эластомеры, которые обладают способностью деформироваться в значительных пределах, имеют так называемую высокоэластическую деформацию. Высокоэластическая деформация исчезает при снятии нагрузки, но от обычной упругой деформации отличается по величине и по механизму проявления. Напомним, что упругая деформация стали составляет около 0,1% и резко отграничена пределом текучести. Деформация эластомеров может превысить 1000 , а модуль их упругости очень мал и колеблется в пределах 20—200 кГ1см . При растяжении высокоэластичных тел зависимость между напряжением и деформацией не является линейной. Диаграмма деформации здесь имеет вид кривой, напоминающей по форме букву 5 (рис. 184). Таким образом, высокоэластические деформации не подчиняются закону Гука, и модуль упругости эластомеров является переменной величиной. Для суждения об упругих свойствах высокоэластичных материалов на основании кривой растяжения обычно пользуются значением [c.309]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...