Деформация упругого шара

СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГОГО ШАРА [c.145]

В выражении потенциальной энергии (3) отброшены члены порядка малости R и выше (считается, что отношение b/R имеет нулевой порядок малости),а также члены, содержаш,ие и . К потенциальной энергии следует добавить потенциальную энергию деформаций упругого шара Е[и], соответствуюш,ую классической теории упругости малых деформаций [1]. Будем предполагать, что наинизшая частота собственных колебаний шара много больше угловых скоростей [c.387]

Интересно, что к этому же выводу для упругого удара пришел и Рен, а Уоллес показал, что при неупругом ударе тсй не сохраняется (так как живая сила при деформации — смятии шаров частично передается внутренним элементам материала). [c.78]

Остаточные напряжения и деформации. Пусть давление р снято, тогда в шаре возникнут остаточные деформации и напряжения. Для их определения надлежит найти напряжения о , а в упругом шаре, испытывающем растяжение р. Эти напряжения определяются формулами (27.5), если в них заменить знак перед р на обратный. [c.111]

Требуется рассчитать напряжения и деформации в вязко-упругом шаре радиуса R со сферической полостью радиуса го при заданных напряжениях на границах области и в начальный момент времени to [c.539]

Будем считать, что молекулы газа представляют собой идеально гладкие и идеально упругие шары одного и того же диаметра а. У таких молекул во время столкновения не происходит взаимных превращений внутренней энергии и энергии поступательного движения, а также не может быть потерь внутренней энергии при столкновении связанных с деформацией молекул. Будем предполагать, что все процессы взаимодействия молекул подчиняются ньютоновским законам сохранения энергии й количества движения, и пренебрегать эффектами, обусловленными молекулярной структурой. [c.15]

При весьма малых деформациях (упругий сдвиг порядка 10- , т. е. порядка сотых долей процента) все монокристаллы обладают определенными упругими константами [14], но не двумя, как изотропные тела, а тремя и более (до 21 модуля и коэффициента упругости). Чем более симметрична структура кристалла, тем меньше его анизотропия и тем меньшее число упругих констант достаточно для характеристики его упругих свойств. Так, например, гексагональные кристаллы различных классов характеризуются 5—7 константами, в то время как кристаллы кубической системы характеризуются всего тремя константами. Шар, изготовленный из монокристалла и подвергаемый всестороннему гидростатическому давлению для всех решеток, кроме кубической, теряет свою шарообразную форму вследствие анизотропии упругих свойств. [c.101]

Подчеркнем, что, как утверждалось выше, при произвольных напряжениях а( ) и т( ) выражениям (5.9) и (5.10) не соответствуют действительные перемещения точек оболочки, поскольку уравнение неразрывности деформаций (5.8) будет нарушено. Однако если эти выражения в силу условий (5.11) отождествить с действительными перемещениями граничных точек упругого шара, то тем самым будет наложено ограничение на контактные напряжения a(fl ), т(А ) и в определенном смысле будет удовлетворено уравнение неразрывности (совместимости) деформаций оболочки. В конечном итоге можно считать, что последнее уравнение вследствие указанной трактовки условий контакта (5.11) окажется нарушенным в меньшей степени. Придерживаясь этой точки зрения, примем такую постановку задачи, когда выражения (5.9) и (5.10), определяемые по безмоментной теории тонкой сферической оболочки, в силу условий (5.11) в зоне контакта отождествляются с действительными перемещениями граничной поверхности упругого весомого шара. [c.324]

Комплексный потенциал 263 Композитные материалы 201, 213, 218 Конечные деформации изотропной упругой среды 75 Коноидальное разрушение 305 Контакт двух упругих шаров 608 Концентрация напряжений 697, 698 Координаты цилиндрические 287 Коробление земной коры 321 Коэффициент вязкости 209, 686 [c.854]

Проверочный расчет направляющих качения можно производить, пользуясь формулами контактных напряжений и деформаций при сжатии упругих шаров и ui-линдров между плоскостями. [c.205]

В теории упругости показывается, что при деформации стального шара возникающая сила зависит от величины деформации х но закону Зависит ли время соударения такого шара со стенкой от начальной скорости шара Получите формулу для оценки времени соударения. [c.10]

Два упругих шара с массами т и гп2, показанные на рис. 11.5, движутся со скоростями vzl и Vz2 вдоль линии, соединяющей их центры, и сталкиваются в точке О. Начнем рассмотрение коллинеарного удара при их1 = 0x2 = >г/1 = >г/2 = 0. Во время удара из-за упругих деформаций центры шаров приближаются друг к другу на расстояние бг. Их относительная скорость равна Огг — 21 = а сила взаимодействия в любой момент Р 1) определяется в следующем виде [c.399]

Рассмотрим шар, падающий вертикально на неподвижную горизонтальную жесткую плиту (рис. 375). Для прямого удара, который при этом произойдет, можно различать две стадии. В течение первой стадии скорости частиц шара, равные в момент начала удара v (движение шара считаем поступательным), убывают до нуля. Шар, при этом деформируется и вся его начальная кинетическая энергия mt/V2 переходит во внутреннюю потенциальную энергию деформированного тела. Во второй стадии удара шар под действием внутренних сил (сил упругости) начинает восстанавливать свою форму при этом его внутренняя потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию движения частиц шара. В конце удара скорости частиц будут равны и, а кинетическая энергия шара ти 12. Однако полностью механическая энергия шара при этом не восстанавливается, так как часть ее уходит на сообщение шару остаточных деформаций и его нагревание. Поэтому скорость и будет меньше и. [c.399]

Различают две фазы этого удара. В течение первой фазы удара шар деформируется до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. Ничтожно малый промежуток времени, в течение которого происходит деформация, обозначим Xj. Во время этой фазы начальная кинетическая энергия шара переходит в потенциальную энергию сил упругости деформированного тела и частично расходуется на нагревание тела. [c.260]

При сжатии двух шаров радиусами / , и R , силой Г, Н (рис. 14.1) в результате местных упругих деформаций образуется площадка контакта, контур которой имеет форму окружности радиусом а. Радиус этой площадки в мм определяется по формуле [c.150]

Реальные тела не являются абсолютно упругими. Вследствие этого при падении шара на плоскость полное восстановление форм шара и плоскости не происходит. Шар и плоскость сохранят так называемую остаточную деформацию. В результате этого положительная величина работы внутренних -сил будет меньше величины отрицательной работы этих сил. Суммарная работа. внутренних сил за время удара будет отрицательной, что вызовет уменьшение кинетической энергии шара после удара по сравнению с величиной ее до удара. Отсюда 5[сно, что скорость шара после удара (а значит и высота, на которую он поднимается) зависит от физических свойств материалов, из которых изготовлены шар и неподвижная плоскость. Эти физические свойства соударяющихся тел и учитывает гипотеза Ньютона. В частности, в этом примере она учитывает соотношение скоростей при падении шара на плоскость и при его отскоке от плоскости. [c.131]

Пользуясь при решении этой задачи полученными в тексте статическими формулами, мы тем самым пренебрегаем упругими колебаниями шара, возникающими при столкновении. Возможность такого пренебрежения требует, чтобы скорость V была достаточно мала по сравнению со скоростью звука. Фактически, однако, применимость этой теории ограничивается еще раньше благодаря тому, что возникающие при столкновении деформации переходят за предел упругости вещества. [c.50]

Для упрощения будем считать, что в рассматриваемом случае деформируется только падающий шар. При этом будем различать две фазы удара. В течение первой фазы удара шар деформируется (сжимается) до тех пор, пока его скорость и не станет равной нулю при этом происходит переход кинетической энергии во внутреннюю потенциальную энергию деформированного шара. В течение второй фазы удара форма шара под действием внутренних сил упругости восстанавливается, хотя и не вполне. За эту вторую фазу удара скорость шара возрастает от нуля до и. Одновременно происходит переход внутренней потенциальной энергии шара в кинетическую энергию шара. В тот момент, когда шар отделится от поверхности, явление удара заканчивается. Во второй фазе удара восстанавливается только часть первоначальной кинетической энергии, а другая часть уходит на создание остаточной деформации шара и его нагревание. [c.821]

Из оценки (2.1) следует, что энергия цилиндра 0 2) убывает по мере удаления от торца и указывается порядок ее убывания. Выводы, получаемые на основе (2.1), нельзя считать еще удовлетворительными (в смысле доказательства принципа Сен-Венана), поскольку речь идет лишь об энергии деформации, а не о напряжениях. Поэтому используем еще один результат. Пусть По — энергия упругих деформаций в некотором щаре. Тогда для квадратичной функции = е/уе,/ в центре шара имеет место оценка [c.259]

Удар сопровождается деформацией шаров, возрастающей до определенного максимума, после чего шары возвращаются более или менее точно к своей первоначальной форме, в зависимости от упругости того материала, из которого они сделаны. [c.50]

Если сталкивающиеся тела абсолютно не упруги, то наибольшая достигнутая при ударе деформация полностью сохраняется и продолжает существовать после удара такие тела оказывают сопротивление деформации, но не проявляют никакого стремления возвращаться к своей первоначальной форме. Два абсолютно неупругих шара после удара не отделяются друг от друга и продолжают двигаться дальше как одно твердое тело. Наоборот, если тела абсолютно упруга, они вновь принимают свою первоначальную форму. К таким телам приложима теорема энергии, и после того как они возвратились к своей первоначальной форме, уже не может быть никакой потери живой силы. [c.50]

Н. А. Кильчевский [24], применив преобразование Лапласа, получил приближенные выражения для закона изменения контактной силы во времени Р (t) при ударе и оценил условия, при которых применима статическая зависимость силы от перемещения с учетом собственных колебаний соударяющихся тел. Для определения контактных деформаций он применил теорию Герца, а для решения задачи о колебании соударяющихся тел — теорию Тимошенко. Методом последовательных приближений он рассмотрел единичный удар и повторное соударение при поперечных ударах шара по балке. Справедливо обосновав положение, что на первом этапе (до достижения максимальной контактной силы) основное влияние на процесс удара оказывают местные деформации сжатия, а на втором (при упругом восстановлении) — колебания балки и шара, Н. А. Кильчевский предложил расчетные формулы для вычисления наибольшей силы взаимодействия между шаром и балкой, а также продолжительности контакта. Полученные громоздкие зависимости им упрощены и распространены на широкую группу контактных задач. В работе [24] при применении интегрального преобразования проведена аналогия между зависимостью контактной деформации и силой удара (предложенной Герцем) в пространстве изображений и оригиналом, т. е. [c.10]

Специально проведенное исследование [7] показало, что при качении шаров по чашке в точках теоретического контакта проскальзывание отсутствует. Незначительное скольжение имеется лишь за счет упругих деформаций и износа шаров. [c.154]

Более четкое представление о распределении напряжений и деформаций в зоне упругого контакта тел с начальным точечным касанием было получено С. В. Пинегиным на примере круговой площадки касания (сжатие шаров или шара с плоскостью). [c.239]

Если теперь вновь поднять давление, не превышающее первоначального, то новые пластические деформации в шаре не произойдут. В самом деле, при новом нагружении вначале будут возникать дополнительные напряжения и деформации согласно уравнениям теории упругости независимо от наличия собственных напряжений. Однако достижение предела упругости будет определяться также величиной собственных (в данном случае остаточных) напряжений, которые должны быть прибавлены к напряжениям, вызванным новым нагружением. Шар как бы упрочнился по сравнению с первым его нагружением. [c.112]

Для того чтобы иллюстрировать прямые методы решения общих уравнений, мы исследуем те типы деформации, которые в каждой точке состоят из чисто радиальных смещений. При этом очевидно, что концентрические до деформации сферы остаются концентрическими сферами и после деформации. Ясно, что деформация такого рода будет происходить в сферической оболочке, подверженной внутреннему давлению. Мы увидим, что наша теория включает в себя некоторые из форм нормальных колебаний ( 212) изотроп ного упругого шара, [c.439]

Перейдем теперь к задаче о шаре. Здесь мы будем рассматривать две задачи. Первая, в которой мы будем исследовать напряженное состояние внутри упругого шара под действием нагрузок (либо перемещений), распределенных на поверхности == называется внутренней задачей о шаре. Вторая, внешняя задача о шаре относится к неограниченному упругому пространству с шаровой полостью радиуса R = / о. В этой задаче изучается напряженное состояние в точках R, ф, О), / >/ о, вызванное действием нагрузок и перемещений, приложенных к границе R = Ro. Ограничимся рассмотрением осесимметричной деформации тела относительно оси г. Вектор перемещения и характеризуется двумя отличными от нуля составляющими и = ( л, О, г), а величины д, г не зависят от угла ф. В сферической системе координат напряженное состояние описывается величинами оин, сГфф, ада- [c.278]

Воспользуемся методом "упругих шаров", когда внедренный (межузельный) атом рассматривается как упругий шар радиуса г , помещенный в условно-сферическ, 10 полость эквивалентного радиуса й,, внутри упругого континиума. -После чего обе сферы соединяются при некотором гначении радиуса. 1 . причем внедренный атом оказывается всесторонне сжатым. Конечны) размер внеяренного атома определяется из условия минимума рабо"ы Л. затраченной на деформацию атома и деформацию среды /4<.р [c.64]

В начале удара, когда происходит соприкосновение шара с плоскостью, начинается деформация шара и плоскости. При этом внутренние силы совершают отрицательную работу, вследствие чего кинетическая энергия шара уменьшается н в некоторый мо мент скорость его становится равной нулю. Вслед за этим моментом благодаря упругим свойствам ша ра и плоскости начинается восстановление их формы, которое сопровождается положительной работой внутренних сил. Если в конце удара шар и плоскость полностью восстановят свою форму или, как говорят, шар и плоскость абсолютно упруги, то величина положительной работы внутренных сил будет равной величине отрицательной работы этих сил. В результате полная работа внутренних сил за время удара равна нулю. В этом случае кинетическая энергия шара после удара будет такой же, как его кинетическая энергия до удара. [c.131]

Если предположить, что шары выполнены из материала с разными модулями упругости, но с одинаковым поперечным коэффициентом деформации ц, левую часть уравнения (111-1) можнсь представить в виде [c.53]

Хотя при ударе возникла деформация шароз, которая не исчезла после удара, но эта деформация не связана с энергней, поскольку шары не обладают упругостью. Уменьшение кинетической энергии при ударе означает поэтому, что механическая энергия системы при ударе не остается постоянной. Она частично или полностью (в последнем рассмотренном случае) превратилась в тепло. [c.148]

Соударение таких тел происходит следуюпшм образом. Как и при абсолютно неупругом ударе, будут возникать деформации соударяющихся тел и в результате этого силы, изменяющие скорости тел. Так будет продолжаться до тех пор, пока скорости обоих тел не окажутся равными. Но с этого момента все будет происходить иначе. При абсолютно неупругом ударе в момент, когда скорости станут равны, силы, зависящие от скоростей изменения деформаций, исчезают, так как скорости изменения деформаций обратились в нуль, и скорости тел в дальнейшем остаются равными. В случае же упругого удара в этот момент силы ие исчезнут, так как они зависят от де( юрмаций, которые не исчезли, и скорости будут продолжать изменяться в том же направлении, что и раньше. Поэтому шары будут отодвигаться друг от друга и деформации будут уменьшаться, пока вовсе не исчезиуг. К этому моменту упругие силы, возникающие в шарах, совершат такую же положительную работу, какая была затрачена на деформацию. Вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, снова превратится в кинетическую. Правда, при этом часть кинетической энергии может быть связана с движением деформированных частей обоих тел, т. е. с упругими колебаниями самих тел, а не с движением тела как целого. Но если соударяющиеся тела достаточно упруги и скорости до удара невелики, то эта энергия бывает очень незначительна и кинетическая энергия движения тел как целого после удара практически оказывается равной кинетической энергии до удара. [c.153]

Но, как было показано в 29, представление об абсолютно твердом теле включает в себя предположение о то.м, что энергией упругой деформации этого тела можно пренебречь. Поэтому, рассматривая стержень, соединяющий шары в гантели, как абсолютно твердый, можно 1 римеия1ь закон сохранения энергии только к энергии поступательного и вращательного движения гантелей (не учитывая энергии колебаний шаров гантели). По аналогии с удгфом шаров, удар гаителей, при котором сохраняется кинетическая энергия движения гантелей, рассматриваемых как твердое [c.425]

Частоту этого противофазного колебания мы можем Рис. 421. определить так же, как и частоту пружинного маятника , учитывая, однако, что при колебаниях двух шаров упругой гантели деформация пружины оказывается вдвое больше, чем у пружинного маятника при смещении каждого из шаров на Ах деформация пружины изменяется на 2Ах, и если коэффициент упругости прух<ины равен k, то сила, действуюш,ая со стороны пружины на каждый из шаров, равна 2k x. По аналогии с формулой для угловой частоты пружинного маятника, угловая частота противофазных колебаний упругой гантели [c.644]

В настоящем параграфе рассмотрена задача о наращивании полого шара. Шар находится под действием переменного во времени внутреннего давления. Снаружи шар наращивается стареющим, вязкоупругим материалом, элементы которого имеют разный возраст. Напряжения и деформации в наращиваемом неоднород-но-стареющем шаре выражены через одну функцию времени, для которой установлено определяющее интегральное уравнение Воль-терра второго рода. Коэффициенты этого уравнения выражаются в замкнутой форме через упругие и реологические характеристики материала и параметры движения внешней границы полого шара [41]. [c.109]

Если первое положение представляет собой непосредственное математическое следствие основных законов механики, миллионы раз проверенных на практике и неизменно оказывавшихся правильными, то второе с этими законами ничем не связано и является допущением Ньютона. Он экспериментировал с шерстяными клубками, стеклянными и стальными шарами и находил для них значения коэффициентов восстановления скорости, совершенно необоснованно пренебрегая размерами и формой соударяющихся тел. Полагаясь на непогрешимость Ньютона, несколько поколений ученых и инженеров уточняли эти значения для различных материалов. В любом учебнике для вуза или техникума, в любом техническом справочнике, а иногда и на обратной стороне логарифмической линейки вы найдете аккуратненькие таблицы коэффициентов для стали и дерева, слоновой кости, стекла и пластмассы. Но самое странное заключается в том, что численные значения коэффициентов в разных книгах для одних и тех же материалов не имеют ничего общего. Так, для стали они колеблются от 0,55 до 1. Какие же цифры правильны Никакие. К такому выводу пришел Евгений Всеволодович после тщательных и исчерпывающих экспериментов. Измерять значения коэффициентов восстановления скорости так же бессмысленно, как находить точную продолжительность поездки из Ленинграда в Москву, независимо от того, идешь ли ты пешком или летишь на самолете. Оказалось, что для любого материала — будь это сталь, стекло, плексиглас, эбонит — коэффициент восстановления можно заставить принимать любые значения от О до 1, хотя во всех этих случаях удар остается упругим и необратимых пластических деформаций не возникает. Надо лишь определенным образом менять формы и массы соударяю- [c.222]

Считается, что при затяжке затвора седло равиомерно растягивается шаром в пределах упругой деформации и, выбрав зазор 6 , занимает нормальное рабочее положение (рис. 11). [c.19]

В практике судостроения широкое распространение имеют конструкции, выполненные в виде тонкостенных труб или барабанов цилиндрического либо конического образования, подверженных действию сил, приложенных по периметру поперечного сечения трубы (барабана) и расположенных в плоскости, перпендикулярной к оси конструкции. Примерами таких конструкций могут служить барабаны, которые ставятся под вращающиеся части различных установок для их подкреплений, дымовые трубы и т. п. Отличительной особенностью их является относительно малая местная жесткость тех сечений, где приложена внешняя нагрузка. Без соответствующего подкрепления, исключающего возникновенгте значительных деформаций сечений, использовать достаточно большую прочность всей конструкции нельзя. В связи с этим б статье излагаются основания для расчета местной прочности и жесткости тонкостенных труб и барабанов. Они применяются к двум наиболее частым случаям нагрузки сосредоточенной силой или распределенной равномерно по периметру сечения (когда внешняя нагрузка передается от подвижной части установки через шары или катки). В обоих случаях применение методов теории упругости позволяет определить изгибающий момент, срезы- [c.172]

Пусть теперь к шарам прикладьшается касательная нагрузка, вызывающая упругую деформацию сдвига. Предположим сначала, что между контактирующими поверхностями отсутствует проскальзывание. В таком случае касательные перемещения всех точек области контакта одинаковы и параллельны сдвигающей силе. [c.94]

Постановка задачи. Рассмотрим упруго-пластическое равновесие полого шара, испытываюш,его внутреннее давление р. Вследствие центральной симметрии (г, tp, (— сферические координаты) сдвиги Тхл и касательные напряжения равны нулю, а е = , о = о . При этом каждый элемент шара испытывает простое нагружение, так как главные направления не меняются, а коэффициент = Таким образом, при решении этой задачи можно исходить непосредственно из уравнений теории упругопластических деформаций. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...