Усреднение возмущений

В случае жесткой восстанавливающей силы локальным максимумам (минимумам) усредненного возмущения отвечают гиперболические (соответственно, эллиптические) периодические решения. Для мягкой силы свойства устойчивости меняются на противоположные. [c.241]

Обсудим вопрос о частотах возмущений, приводящих к незатухающим пульсациям излучения лазера. Ясно, что если период изменения потерь больше, чем время затухания пичков, то пички будут успевать затухать и режим будет квазистационарным, отслеживающим изменение потерь. Если же частота возмущений будет значительно выше частоты следования пичков, то произойдет усреднение возмущений и лазер также выйдет на станционный режим. Значит следует ожидать, что опасные частоты возмущений лежат вблизи частоты следования пичков. Для определения этих частот возмущений рассмотрим режим вблизи стационарного уровня генерации. Если лазер выведен из стационарного состояния, то он ведет себя как весьма добротный колебательный контур . Действительно, частота его колебаний (см. (18.9)) [c.173]

Суть метода состоит в том, что исходную систему можно заменить более простой усредненной системой. Наша задача — найти равномерно пригодное асимптотическое разложение решения. Асимптотическим приближением по параметру е решения x(t, е) называется такая функция x t, е), что разность x(t, е)—x(t, е), называемая остаточным членом, мала (в некоторой норме) в заданной области изменения t, если параметр e- l. Одним из достоинств метода усреднения является то, что уже в первом порядке по е решения исходной и усредненной систем, совпадающие при t to, асимптотически близки на интервале /—В отличие от метода усреднения теория возмущений приводит к неравномерно пригодному разложению решения [78]. Ограничимся далее нахождением решения в первом приближении метода. [c.167]

Равенство (15) позволяет найти в первом приближении энергию возмущенного движения W . Смысл этого равенства вполне соответствует известному положению теории возмущений в классической механике, по которому в первом приближении энергия возмущенного движения равна энергии невозмущенного движения плюс энергия возмущения, усредненная по невозмущенному движению. [c.150]

На фигуре представлена плоскость эклиптики и в этой плоскости — круг, по всей площади которого следует мысленно равномерно распределить массы Солнца О и Луны )) (собственно говоря, два круга — круг Солнца и круг Луны , которые мы здесь слили в одно целое). Это равномерное распределение масс равносильно усреднению по времени мгновенных положений Солнца и Луны за период их относительного обращения вокруг Земли (в смысле метода теории возмущений Гаусса). Это усреднение по времени может быть оправдано тем, что времена относительного обращения Солнца и Луны вокруг Земли очень малы по сравнению с вышеупомянутым периодом прецессии, так что прецессия ни в коем случае не может зависеть от положения Солн- [c.193]

Коэффициент накопления возмущений fx, фазовый сдвиг А-у и их экстремальные значения определяют по формулам (3.38)— (3.41), исходя из усредненного за цикл значения N, [c.173]

Некоторых дополнительных пояснений требует лишь определение функций Фу, и усредненных за цикл значений параметров и которые необходимы при расчете коэффициента накопления возмущений и фазового сдвига [c.185]

Математические модели для расчета колебаний структур содержат большое количество параметров, определяемых на основе усреднения свойств элементов реальных конструкций. Соответствие расчетных амплитудно-частотных характеристик и форм колебаний натурным зависит как от выбора модели, так и от точности задания параметров. Выбранной расчетной модели можно поставить в соответствие параметры или вектор параметров, обеспечивающий минимальное отклонение расчетных значений от действительных в заданном диапазоне частот. При конкретном расчете могут быть приняты несколько иные значения параметров, т. е. может быть реализован неоптимальный вектор параметров. Предположим, что ошибки реализации не систематические, а случайные, тогда оптимальным будет некоторое среднее значение вектора параметров. Каждой реализации соответствует система собственных частот и форм колебаний. Для общего случая системы с сосредоточенными параметрами отклонения собственных частот и форм колебаний можно определить на основании теории возмущений линейных алгебраических уравнений [41 при условии, [c.13]

Идея исследования состоит в применении метода усреднения к стохастическому дифференциальному уравнению (6.2). Полученные при этом эволюционные уравнения также оказываются стохастическими. Далее, в соответствии с асимптотическими методами, изложенными в гл. IV, принимается, что из устойчивости эволюционных уравнений следует устойчивость исходной стохастической системы. При этом остаются справедливыми теоремы Н. Н. Боголюбова о близости решений обеих систем на интервале порядка (/ — 1/Ро). с тем лишь отличием, что близость решений понимается здесь в смысле почти наверное [94, 106, 107]. Это предположение позволяет, исследуя условия асимптотической Р-устойчивости, устойчивости по вероятности и Р-ограниченности по моментам решений эволюционных уравнений, получить условия соответствующего типа устойчивости для исходной стохастической системы. Для исследуемого класса динамических систем (6.2) можно показать, что близость (в асимптотическом приближении) исследуемых процессов в смысле близости по моментам означает и близость выборочных траекторий процессов, например, в среднеквадратичном. Такой подход особенно удобно использовать при исследовании динамической устойчивости параметрических систем по выборочным траекториям в условиях неполной статистической информации или неопределенности о действующих на систему возмущений. [c.233]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

Любое усреднение всегда связано с внесением дополнительных погрешностей в решение задачи. Поэтому желательно использовать такие методы усреднения сечений, которые давали бы минимальную погрешность в исследуемых функционалах поля излучения. С помощью метода теории возмущений показано, что в случае перехода от непрерывной энергетической зависимости сечений к групповому представлению можно точно рассчитать любой из функционалов задачи [2]. Для этого нужно использовать формулы билинейного усреднения групповых констант гомогенных зон [c.272]

При определении коэффициента накопления возмущений ц следует пользоваться (10) и (П при параметре N. найденном исходя из усредненного за цикл значения О, равного П [c.94]

Большая часть результатов по теории параметрической стабилизации получена методом усреднения, предполагающим, что возмущенное движение вблизи неустойчивого равновесия может быть представлено в виде суммы медленных и быстрых движений. При исследовании устойчивости по быстрым движениям с одной степенью свободы область стабилизации на плоскости коэффициент параметрического возбуждения - частота возбуждения ограничена и, кроме того, включает такие участки границы, на которых разделение движений невозможно. Применительно к системам с большим числом степеней свободы необходимо, кроме того, учитывать, что параметрическое воздействие, стабилизирующее одни формы, будет дестабилизирующим по отношению к другим формам. Поэтому к выводам, полученным на основе метода усреднения и родственных приближенных приемов, следует относиться осторожно, [c.483]

Оператор усреднения при постоянных возмущениях [c.24]

ОПЕРАТОР УСРЕДНЕНИЯ, ПОСТОЯННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 25 [c.25]

Этот оператор назовем оператором усреднения при постоянных возмущениях [17]. [c.25]

Если теперь написать уравнение сравнения для (1), построенное с помощью- оператора усреднения при постоянных возмущениях, то будем иметь [c.25]

Замечание 1. Алгоритм построения оператора усреднения при постоянных возмущениях обладает тем свойством, что правые части уравнений сравнения (34) и (35) автоматически со- [c.25]

Эффективное решение сильно возмущенных задач следует искать только на пути применения к правым частям метода сглаживания таким образом, чтобы в уравнениях 1-го приближения присутствовали в обязательном порядке те слагаемые правых частей, из-за которых задача является сильно возмущенной. В качестве оператора сглаживания целесообразнее всего в таких случаях использовать оператор усреднения по быстрым переменным у и t (см. (14)) [c.58]

Замечание 1. Если, при изучении сильно возмущенных систем вида (151) применяется оператор усреднения по части угловых переменных (оператор (14)), то весьма существенным. является то, по каким угловым переменным производится усреднение. Рекомендуется обязательно усреднять в таких случаях в первую очередь по быстрым угловым переменным у, по не рекомендуется усреднять по медленным угловым переменным z. Следует сохранить зависимость интегрального среднего от z в противном случае не приходится ожидать, что медленные переменные x(t, р,), определяемые первоначальной системой (151), и сглаженный вектор х (t, ji), определяемый усредненными уравнениями (171) или (172), будут е-близкими по норме па асимптотически большом интервале времени is [О, [c.59]

УСРЕДНЕНИЕ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ Ц5 [c.115]

Здесь Wo и бо — усредненные но времени значения средней расходной скорости и толщины пленки при волновом стеканин, а и и б — возмущения средней по сечению скорости течения н толщины пленки за счет волнообразования. При этом v < Wo и б -Сбо. В случае гладкой границы Wo и бо определяются соответственно формулами (5-18) и (5-21). [c.110]

Для облегчения расчетов полезно производить схематизацию залежи и пластовой водонапорной системы. Система иласт — скважины — газосборные сети — ДКС — магистральный газопровод должна рассматриваться как единая последовательная цепочка взаимосвязанных элементов. Расчеты допустимо выполнять для средней скважины с усредненными но месторождению параметрами. При этом следует учитывать как современное состояние техники и технологии бурения скважин, добычи газа и комиримирования его на ДКС, так и иерспективы развития ИТП в газодобывающей отрасли. При расчетах возможно принимать допущение о проявлении газового режима. Такое допущение, как указывается в ряде работ [66—68], не вносит больших погрешностей в расчеты. В ходе исследований выход скважин из строя вследствие обводнения на поздних этапах добычи может быть учтен путем ввода возмущений — уменьшением числа эксплуатационных скважин и варьированием динамики этого показателя. [c.150]

Воздействие внешних полей на угловые корреляции. Метод угл. корреляций применим для описания каскадных распадов ядер в том случае, когда за время жизни промежуточного ядра внеш. воздействия не успели существенно изменить его поляризац. состояние. Практически возмущения корреляции могут быть вызваны взаимодействием магн. момента ядра с внеш. магн. полем (а), с магн. моментом электронной оболочки (сверхтонкая структура) (Р) или взаимодействием квадрупольного электрич. момента ядра с электрич. полем, создаваемым средой в месте нахождения ядра (у)- Последнее имеет место в случае, когда нестабильное ядро находится в крнсталлич. структуре ф-ция корреляции при этом зависит не только от угла между векторами П и 2, но и от ориентации их относительно кристаллографич. осей в этом случае и сверхтонкое расщепление приводит к анизотропному возмущению корреляции. Усреднение такой корреляции по направлениям кристаллографич. осей даёт ф-цию корреляции для каскада, наблюдаемого в крнсталлич. порошке. [c.205]

В противоположном предельном случае очень медленных столкновений можно считать, что в каждый момент имеют место сдвиг и расщепление спектральной линии, соответствующие текущему значению внеш. возмущения. Результирующий контур линии определяется усреднением по всем возможным конфигурациям возмущающих частиц. Такой квазистатич. механизм определяет распределение интенсивности /(м) при болыпих отстройках от центральной частоты, т. е. в крыле линии. Если потенциал взаимодействия V R) атома с возмущающей частицей убывает с расстоянием R между ними по степенному закону ЬС R", то в крыле линии [c.262]

Общая теория турбулентности. Основоположником теории турбулентности является английский ученый Осборн Рейнольдс (1842—1912 гг.). Он был учеником Дж. К. Максвелла (1831—1879 гг.) и для построения теории турбулентности использовал метод, развитый Максвеллом [12] в кинетической теории вязкости газов. Метод Максвелла состоит в различии видимого течения газов и теплового движения молекул. Вязкие свойства движу-ш,ихся газов, вбл изи локояш,ейся стенки Максвелл объяснял переносом к стенке количеств движений. молекул посредством их теплового движения. Покоящаяся стенка задерживает часть количеств движения молекул, оказывая этим тормозящее действие на ударяющиеся о нее молекулы газа. Затормаживаемые покоящейся стенкой молекулы переносят в соседние, более удаленные от стенки, слои газа меньшие количества движения, чем те, которыми эти слои обладают. В результате обмена слои газа, близко расположенные к стенке, замедляются в своем видимом движении, сталкиваясь с молекулами, отражающимися от стенки 1и несущими. меньшие видимые количества движения. Развитую Максвеллом схему вязкогр течения газа вблизи покоящейся стенки О. Рейнольдс [11] применил к турбулентному течению жидкости. Подобно Максвеллу Рейнольдс разделил турбулентный поток жидкости на. видимое, усредненное, течение ее и на возмущения этого течения. Возмущения были названы им турбулентными пульсациями. Эти пульсации Рейнольдс уподобил тепловым движениям молекул, а В1идим0е, усредненное, течение — видимому потоку молекул. Полной аналогии между рассматриваемыми явлениями не имеется, и Рейнольдсу не удалось построить законченной [c.222]

В отличие от молекулярной теории газов, в теории турбулентности приходится говорить об условных группах частиц, охваченных одним, общим для них, движением, я об условных скоростях возмущений этих групп, возмущающих основной видимый поток. Теории турбулентности Прандтля и Тэйлора, исходящие из одних и тех же представлений Рейнольдса о природе турбулентности, расходятся в развитии этих представлений. Следуя идеям Максвелла, и Прандтль, и Тэйлор вводят в рассмотрение величину, аналогичную длине среднего свободного пробега молекулы, — длину пути перемешивания. В этой величине заложено различие в протекании и понимании явлений молекулярной вязкости в газах и турбулентности Б жидкостях. Теория турбулентности Рейнольдса излагается помимо его статей [30] во всех руководствах гидродинамики [16, 8, 7]. Турбулентностью в атмосфере занимаются в метеорологии. Методами усреднения метеорологических величин и уравнений гидродинамики, описывающих метеорологические явления, занимался крупный советский метеоролог А. Фридман [15]. Методами оореднения гидродина.мических величин и уравнений гидродинамики в настоящее время занимаются академики А. Н. Колмогоров [17], Л. Д. Ландау [181 и А. М. Обухов [19]. [c.223]

Асимптотическая теория возмущении, опирающаяся, с одной стороны, па начальное приближение, построенное с помощью какого-либо оператора сглаживания (усредпегтия), и, с друго11 торопы, на последовательные замены переменных для нолуче-впя тех функций, которые мы назвали выню добавками, получила в математической литературе название метод усреднения , а во многих литературных источниках — метод Крылова — Боголюбова . [c.6]

Глава I посвящена различным аспектам асимптотической теории дифференциальных уравнений с Малым параметром, основанной на идее усреднения (сглаживания) правых частей. Приведено обобщенное уравнение и дана интерпретация метода усреднения, а также описаны наиболее распространенные в динамике операторы сглаживания, позволяющие строить различные варианты теории возмущений по степеням малого параметра ц. Дальню в этой главе рассмотрены различные классы нелинейных систем без частотных резонансов и изложена конструктивная методика построения их асимптотических решений с помощью преобразования Крылова — Боголюбова. [c.16]

Таким образом, оператор усреднения вдшь порождающего решения при строгом его применении дает, вообще говоря, худший результат даже по сравнению с оператором (11). Ведь трудно ожидать, чтобы решение первоначального уравнения (1) общего вида представлялось линейной функцией времени. Отсюда вытекает, что решения z( , л) и z(i, i) могут сильно различаться. Чтобы в некоторой степени устранить этот недостаток, был предложен другой оператор усреднения [8, 24], который может быть назван оператором усреднения при постоянных возмущениях. [c.25]

Таким образом, если усреднение правых частей осуществляется с помощью оператора и для некоторых векторов к выполняется резонансное соотноншнне (51), то в этом случае уже па нервом шаге в преобразовании Крылова — Боголюбова появляются неуничтожимые вековые члены, и, следовательно, асимптотическая теория возмущении вращательных систем вида [c.111]

Асимптотическая теорйя автономных резонансных вращательных систем, использующая усреднение при постоянных возмущениях [c.115]

Пусть выполняется условие резонанса (46) для некоторых к с нормой l ilfeli iV. Проведем процедуру сглаживания (48) с помощью оператора усреднения при постоянных возмущениях., Тогда уравнения сравнения любого приближения запишутся в виде [c.115]

Метод усреднения в сочетании с преобразованием Крылова — Боголюбова, применяемый к уравнениям (25), позволяет в принципе построить асимптотическую теорию возмущений в двухпланетной задаче до любого конечного порядка. Методика и алгоритмы, изложенные в гл. III, здесь естественно находят непосредственное применение. Астрономы разработали несколько [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...