Периодические решения второго сорта

Условно-периодические решения А/-планетной задачи, найденные Арнольдом в 1.07, являются условно-периодическими решениями второго сорта, пользуясь терминологией Пуанкаре. [c.807]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО СОРТА 435 [c.435]

И. Периодические решения второго сорта [c.435]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО СОРТА 439 [c.439]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО СОРТА 441 [c.441]

Из этих уравнений при заданных значениях Ь жЬ можно определить отношение е к е, для которого существует периодическое решение второго сорта. Корни этого уравнения всегда действительны. [c.441]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО СОРТА 443 [c.443]

Так как в этом случае я — я также должно быть равно 0° или 180°, то здесь, вследствие того, что я — постоянная, неизменно и я. Итак, для периодических решений второго сорта в ограниченной задаче трех тел перигелий малой планеты неподвижен. [c.443]

Периодические решения второго сорта для астероидной задачи трех тел [c.444]

Если задана соизмеримость р д, то отсюда получим значение а, и таблица дает соответствующее значение эксцентриситета орбиты малой планеты, которое соответствует периодическому решению второго сорта. [c.444]

Сопоставляя результаты этого параграфа, находим, что периодические решения второго сорта в задаче трех тел существуют при следующих условиях. Прп р, = 0 [c.445]

Шварцшильд [56] обратил внимание па такой сл>"чай, который относится к периодическим решениям второго сорта ограниченной круговой задачи трех тел. [c.456]

Будем искать периодические решения второго сорта для этих дифференциальных уравнений. Если через п обозначить среднее движение астероида, так что [c.460]

Что касается двух последних уравнений (16), то легко видеть, что гессиан от по и х равен нулю. Здесь получаются различные решения в зависимости от того, принимается ли к = О или /с > 0. При А = О получим обычные периодические решения второго сорта с неподвижным перигелием, и эксцентриситет определится пз уравнения [c.461]

Для решений первого сорта оскулирующий эксцентриситет пропорционален ц см. (5.2.40)] и поэтому обращается в нуль вместе с н, а для решений второго сорта е фО при н = 0. Пуанкаре доказал, что такие периодические решения имеются и в неограниченной задаче трех тел. [c.541]

Доказательство существования периодических решений второго и третьего сорта в задаче трех тел сведено Пуанкаре [2] К исследованию на экстремум некоторой функции Ри смысл которой следующий пусть уравнения движения в задаче трех тел записаны в гамильтоновой форме (см. ч. IV, 1.13) с аналитической по ц при цо функцией Гамильтона Р вида [c.793]

Для существования периодических решений второго и третьего сорта достаточно [2], чтобы в пространстве параметров ёю g2o имела экстремум. Пуанкаре доказывает, что функция р1 всегда имеет экстремумы в пространстве [c.793]

Для периодических решений первого, второго и третьего сорта, так же как п для периодических решений второго рода, характерным является то, что они при д, = О (когда массы двух планет гП] — а]Ц, гпч — гМ- обращаются в нуль) вырождаются в кеплеровские орбиты (круговые или эллиптические), т. е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В связи с этим Пуанкаре ставит и решает новую задачу о периодических решениях в проблеме трех тел им доказано существование таких периодических решений, которые характеризуются существенным (но спонтанным) изменением долгот перигелиев и узлов, обусловленным взаимно близким прохождением планет. Такие периодические решения названы Пуанкаре решениями второго вида. [c.794]

Итак, мы будем иметь три точки точку С", близкую к О, А, близкую к Л, В, близкую к В. Эти точки соответствуют трем периодическим решениям, первое из которых является периодическим решением первого сорта, а два других — второго сорта. [c.308]

Периодические решения первого сорта можно было бы рассматривать как частный случай решений второго сорта. Однако они отличаются от них в одном существенном пункте. Если рассматривать две планеты (прир, = 0), которые обращаются вокруг центральной массы в равномерном движении по круговым орбитам, движение этих трех масс всегда следует рассматривать как периодическое, период которого равен синодическому периоду обращения обеих планет. [c.429]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

Первые условно-периодические решения в задаче трех тел нашел Пуанкаре [2]. Его метод малого параметра (см. 1.01) позволяет находить в определенных системах координат условно-периодические решения задачи трех тел. Периодические решения первого, второго, третьего сорта суть, вообще говоря, [c.806]

А. Пуанкаре назвал периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел, рождаюгциеся из эллиптических решений предельной задачи — задачи двух тел, периодическими решениями второго сорта [7]. При этом он указал на сугцествование симметричных семейств. Однако доказательства их сугцествования [7-9], использую-гцие только условие периодичности, были ошибочны [10-12. [c.133]

Периодические решения второго сорта — это периодические решения плоского планетного варианта задачи трех тел, выро- [c.792]

Корень е этого уравнения не обращается в нуль вместе с е, как это имело место в (22 ). Поэтому значения эксцентриситета, которые соответствуют периодическому рошехгаю при р — q = i, вообще говоря, много больше, чем при р — д > 1, и без подробного исследования нельзя решить, существуют ли вообще периодические решения второго сорта при р — q — 1, так как для этого еще необходимо, чтобы значение корня для е было меньше единицы. Между тем из рассмотренного Хиллом частного случая, о котором дальше будет идти речь, можно ожидать, что этот случай имеет место. [c.443]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

В работе [92] Е. П. Аксенов и В. Г. Демин установили существование. почти-эллиптических периодических относительно регуляризирующего времени т экваториальных орбит в спутниковой задаче, когда центральное тело обладает динамической симметрией и медленным по сравнению со средним движением спутника) вращением. Эти решения образуют двухпараметрическое семейство и могут быть названы решениями второго сорта. В. Г. Деминым найден класс почти-круговых периодических решений [87] в задаче о движении спутника в гравитационном поле, порожденном притяжением сфероидальной планеты и двух точечных масс, двигающихся по круговым орбитам вокруг планеты на расстояниях, больших чем максимальное планетоцентрическое расстояние спутника. В этой же монографии можно найти оо2 семейство периодических движений относительно регуляризирующего времени т ) лунного спутника. [c.795]

Здесь величины со штрихами относятся к Энцеладу, а без штрихов — к Дионе. Движение системы Сатурн—Энцелад—Диона снова напоминает периодическое решение Пуанкаре второго сорта. [c.269]

Ниже будет рассмотрено два примера применения обобщенной схемы КМОЗ к задаче об одномерной системе электронов с локальным взаимодействием (модель Хаббарда) и к задаче об электронном газе, взаимодействующим с примесным магнитным моментом (проблема Кондо). Мы увидим, что в первом случае решение уравнения Шредингера для двух частиц сразу определяет двухчастичную матрицу рассеяния, автоматически удовлетворяющую локальным уравнениям Янга — Бакстера. Схема КМОЗ в этой задаче необходима, главным образом, для учета периодических граничных условий (диагонализация -матрицы). Во второй задаче — о проблеме Кондо — из решения уравнения Шредингера для двух частиц (электрон и примесный спин) находится -матрица. Ее зависимость от спектрального параметра определяется из обобщенных на два сорта частиц (электрон и примесь) уравнений Янга — Бакстера. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...