Случай бесконечной области

На том же основании формулы (8) и (9) нельзя применять без каких-либо ограничений к случаю бесконечной области, так как определение вспомогательной функции может оказаться невозможным. [c.624]

Случай бесконечной области. С точки зрения приложений представляет большой интерес также рассмотрение бесконечной области. Мы ограничимся пока изучением случая, когда область S состоит из всей плоскости Оху., из которой удалены конечные части, ограниченные простыми замкнутыми контурами (бесконечная пластинка с отверстиями). [c.122]

Обратимся теперь к случаю бесконечной области. Предположим, как и выше, что задачи I и II или смешанная допускают два решения, и составим разность этих двух предполагаемых решений. Пусть и, V, и т. д. относятся к этой разности. В случае задачи I будем иметь = = Уд = О на границе. Значит, главный вектор (X, У) всех усилий, приложенных к границе, равен нулю. В случае же задачи II или смешанной этот вектор считается по условию заранее заданным для обоих решений, поэтому он и здесь будет равен нулю для разности двух решений. [c.136]

Рассмотрим теперь случай бесконечной области S, ограниченной простым замкнутым контуром L бесконечная плоскость с отверстием).. [c.142]

Случай бесконечной области может быть рассмотрен совершенно аналогично тому, что было сделано в двух предыдущих пунктах, и поэтому мы на нем останавливаться здесь не будем. [c.146]

Аналогичные замечания относятся и к случаю бесконечной области. Рассмотрим в качестве простейшего примера произвольное (односвязное или многосвязное) тело и предположим, что Р (г) = Qz, где Q — действительная постоянная. Это соответствует случаю, когда [c.149]

Легко доказать теоремы единственности для первой и второй основных задач в предположении, что рассматриваемые решения регулярны ). При доказательстве мы будем считать, что рассматриваемая область 8 конечна, так как распространение доказательства на случай бесконечной области никаких затруднений не представляет. [c.150]

Предыдущие формулы относятся как к случаю конечной, так и к случаю бесконечной области. Однако в случае бесконечной области им можно придать несколько иной вид, более удобный для нашей цели. [c.285]

Начнем со случая бесконечной области. Если в урав-цении (6 ) положим [c.286]

Все сказанное с очевидными незначительными изменениями приложимо к случаю бесконечной области , отображаемой на круг I С I< 1 функцией вида [c.323]

S конечна, т. е. контур L +i имеется налицо случай бесконечной области рассматривается совершенно аналогично. [c.366]

Б. Случай бесконечной области. В отверстие, проделанное в бесконечном упругом теле (пластинке), вкладывается абсолютно жесткая шайба, контур которой мало отличался от контура отверстия до деформации положение жесткой шайбы считается заданным. В этом случае (бесконечной области) считается, что заданы значения напряжений и вращения на бесконечности (т. е. при прежних обозначениях — значения постоянных Г, Г ) и, кроме того, главный вектор (X, У) внешних усилий, действующих со стороны шайбы на окружающую внешнюю пластинку. Этот главный вектор равен, очевидно, главному вектору сил, приложенных извне к жесткой шайбе (сюда не включаются силы, действующие на контур шайбы со стороны упругой пластинки). [c.477]

Рассмотрим случай бесконечной многосвязной области, например, занимаемой неограниченной пластинкой, ослабленной конечным числом криволинейных отверстий она может быть получена из ранее рассмотренной области при удалении внешнего контура Lq на бесконечность. Для всякой точки, расположенной вне окружности L, охватывающей все границы отверстий, будем иметь [c.127]

Для бесконечной области рассмотрим случай, когда перемещения щ, ич на бесконечности ограничены при этом величины Vu V2, Г, Г в условии [c.133]

Из уравнения (11.62) следует, что при обтекании полубесконечной пластины скорость жидкости распределена в области б > 2 б// по логарифмическому закону однако, в отличие от рассмотренного ранее случая бесконечной пластины, величины ш и 6/7, входящие в выражение для не постоянны, а представляют собой функции х. Вблизи внешней границы турбулентного пограничного слоя, т. е. при г, близких к б, в выражение для помимо логарифмического члена входят члены, пропорциональные г в степени выше второй, т. е. распределение скоростей приобретает сложный характер. Вследствие этого внешняя граница турбулентного пограничного слоя оказывается размытой. [c.411]

Ввиду отмеченного обстоятельства рассмотрение потока в бесконечной области является не вполне естественным в действительности, ордината свободной поверхности ограничена. Однако математическое решение при такой постановке несколько упрощается по сравнению со случаем ограниченной области с прямолинейным контуром питания [1] вследствие уменьшения числа особых точек, а указанную неувязку с физической картиной можно до некоторой степени устранить, если одну из эквипотенциалей, получаемых из решения, принять за левую границу потока. [c.162]

То, что все ветви третьего семейства порождаются определителем системы (5.2), на первый взгляд может служить основой для ожидания большой степени подобия в соответствующих формах колебаний. Однако оценка величины собственных частот этих мод и сопоставление спектра с дисперсионными кривыми служат основанием для того, чтобы выделить первую ветвь указанного семейства. Это единственная ветвь, которая частично расположена в той области частот, где в бесконечном слое существует только одна распространяющаяся мода (Q < Q ). Распространяющейся моде соответствуют резонансные частоты диска, определяемые на рис. 84 гиперболами ( -моды). Следовательно, первой ветви третьего семейства в области Q < Q соответствуют резонансы на неоднородных волнах — краевой резонанс. Важно, что в рассматриваемом случае v = О имеем чистое проявление краевой моды без связи ее G движениями на распространяющейся моде. Это свидетельствует о возможности существования резонансов в бесконечных областях типа полуполосы для случая v = 0. Более подробный анализ данного вопроса и подтверждение такого предположения приведены в главе 7. [c.217]

При решении этих задач необходимо воспользоваться конформным отображением бесконечной области, занятой матрицей, на внешность единичного круга 1 1 >1. Рассмотрим частный случай функции, производящий отображение [c.130]

Для рассматриваемого случая полубесконечной области непосредственное решение краевых задач (3.82) приводит к расходящимся интегралам. Поэтому необходимо прибегнуть к условному интегрированию, оставляя в формальна вычисленном расходящемся интеграле лишь его конечную часть, а слагаемые, стремящиеся в бесконечность, полагая равными нулю. Такое условное понимание интеграла соответствует выделению в решении для конечной области, когда расходящихся интегралов не возникает, главных членов вблизи конца включения. В этом можно убедиться, составляя указанным методом решения различных частных задач. [c.85]

Рассмотрим сначала нахождение комплексных потенциалов для случая одного отверстия. Если граница области, занимаемой телом, представляет собой простой замкнутый контур, то, согласно [65], можно воспользоваться конформным отображением этой области на единичный круг или на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью. Будем для определенности рассматривать случай, когда область S, занимаемая телом, бесконечна и осуществляется конформное отображение этой области на бесконечную область О, ограниченную единичной окружностью с центром в начале координат. Пусть аналитическая функция t ( ) ( G О, 2 = t ( ) G S) определяет конформное отображение области S на область О. Уравнение границы в преобразованной области имеет вид = 1, или = 1, или = 1/ . [c.76]

Рассмотрим применение этого метода для случая, когда область, занимаемая телом, бесконечна и ее граница состоит из нескольких простых замкнутых контуров Г1,Г2,... Будем считать, что бесконечная область, ограниченная к-м контуром к = 1,2,...,т), может быть конформно отображена на внешность единичного круга с помощью функции [c.80]

Рассмотрим теперь применение метода Шварца к решению плоских задач теории упругости. Для краткости изложения ограничимся случаем плоской деформации сжимаемого материала. Пусть задача решается для бесконечной области, ограниченной простыми замкнутыми непересекающимися контурами Fi, Г2,..., на границах которых заданы поверхностные силы Qi, Q2, , Qm являющиеся непрерывными функциями точек контура. Заданные напряжения на бесконечности обозначим через сг . Будем считать, что массовые силы отсутствуют. Обозначим через U вектор перемещений, а через Nj (j = 1,..., m) — векторы нормали к соответствующим контурам. Тогда уравнения и граничные условия краевой задачи могут быть записаны следующим образом [c.234]

Основные граничные плоские и антиплоские задачи теории упругости для многосвязной области, содержащей криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены в работах [94—96] к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. При этом предполагалось, что контуры разрезов и отверстий не пересекаются между собой (см. параграф 3 данной главы). Краевые трещины рассматривались только в некоторых частных случаях граничного контура (окружность, прямая), когда удается построить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, не содержащие искомых функций на этом контуре [70, 95]. В последнее время изучались также задачи в случае произвольной симметричной области с краевой трещиной, находящейся на оси упругой и геометрической симметрии [27, 53, 58, 104] (см. также параграфы 3—5 четвертой главы). Ниже, следуя работе [97], приводятся обобщения указанных выше результатов на общий случай многосвязной области с разрезами и отверстиями, когда разрезы одним или двумя концами могут выходить на внешнюю границу и контуры отверстий. Получены численные решения построенных интегральных уравнений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины. [c.33]

Рассмотрим теперь случай бесконечной многосвязной области Q, представляющей собой внешность конечной совокупности замкнутых непересекающихся поверхностей Гк. Поверхности Г как части границы области Q ориентированы противоположно своим внутренним областям 3 . Применяя формулу (1.32) к областям Qk и учитывая, что ориентация Г сказывается лишь на знаке интеграла в левой части (1.32), получим, что [c.34]

Замечание 2.1. Формула (2.12) распространяется также па случай бесконечной или полубесконечной области Q, если предположить, что д ш х) 0( с - 1) при si, S2, S3 , s =si+ +S2+Sj=0, 1,2 1,2, 3,4. [c.184]

Случай потока вокруг контура G, расположенного вблизи бесконечной плоской границы (скорость потока параллельна границе), эквивалентен симметричному потоку вокруг пары конгруэнтных контуров. Это — простой случай двухсвязной области, которая в принципе может быть отображена на две окружности. [c.180]

Выбор наиболее простого способа задания закона распределения случайной величины зависит от характера области ее возможных значений [6]. Для рассматриваемых в настоящей главе приложений можно ограничиться случаем, когда область возможных значений случайной величины (обозначим ее представляет собой интервал (а, Ь) с конечными или бесконечно удаленными концами. Пусть х < Х2 — две произвольные точки внутри этого интервала. Закон распределения удобно задать функцией интервала Р(х, ха) 0, которая представляет собой вероятность неравенства д 1 х , последнее можно выразить сокращенно, пользуясь обычно принятой в теории вероятностей символикой Р(х, хз) = Я х1 I дсг , где выражение в фигур- [c.376]

Рассмотрим случай, когда область контакта й представляет собой в плане бесконечную полосу ( х а, [1/ < оо), и введем в рассмотрение трансформанты Фурье функции д( ,г]) и 6(х,у) по г] и у соотношениями [c.35]

Накладывая определенные ограничения на характер убывания вектора U(x,t) и его производных при [л ] оо, такие, что грангл-ные интегралы в (4.9) по сфере радиуса Го при го- оо стремятся к нулю, распространяем эту формулу на случай бесконечных областей. [c.191]

Изотропное упругое тело. Плоская задача. Выше упоминались работы Г.В. Колосова, Инглиса, Н.И. Мусхелишвили, Вольфа, Нейбера [1], Вестергарда [1, 2], Снеддона [1-3], Ирвина [3-5, 7, 9] и др. В этих работах был рассмотрен широкий круг задач, относящихся к случаю бесконечной области, ослабленной одной или несколькими трещинами. [c.420]

Теоремы единственности для нашего случая легко доказываются способом, вполне аналогичным тому, который был изложен в 40 для случая бесконечной области. В нашем случае следует применить инте-гральную формулу (4) 40 к области, ограниченной отрезком АВ границы и полуокружностью АСВ (рис. 45), и затем перейти к пределу, когда А ж В уходят в бесконечность в противоположные стороны. Указанное доказательство непосредственно применимо к случаю, когда компоненты смещений и напряжений непрерывны вплоть до границы, не считая бесконечно удаленной точки, где они ведут себя согласно принятым выше условиям. [c.342]

Если поток не встречает никаких препятствий в виде твердых тел пли границ (стенок), то газ не испытывает никаких воз-муш ений. Простейшей границей, могуш ей изменить характер равномерного поступательного течения газа, является прямолинейная твердая стенка. Рассмотрим сначала случай, когда такая стенка расположена параллельно направлению течения, т. е. совпадает с одной из линий тока. Если движуш,ийся газ занимает всю бесконечную область над стенкой и сама стенка тоже бесконечна по длине, то ясно, что в этом случае стенка не окажет никакого влияния на течение газа ). Отметим, что это положение справедливо и в обш ем случае для кривых линий тока [c.155]

Обратимся теперь к многосвязной бесконечной области 5, которую можно рассматривать как предельный случай конечной многоснязной области, наружный контур которой целиком уходит в бесконечность. Формулы, полученные для конечной многосвяаной области, будут справедливы для любой конечной части рассматриваемой области и необходимо только выяснить поведение функций <р (z) и t ) (г) в окрестности бесконечно удаленной точки. [c.292]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

Задачи с дренажными трубами рассматривались многими авторами. А. А. Гриб [38] исследовал движение со свободной поверхностью в области, ограниченной водонепроницаемым слоем в виде угла, при наличии дренажной трубы. Случай бесконечного ряда дрен под свободной поверхностью, с учетом капиллярности грунта, рассмотрен В. В. Ведерниковым [39] задача об одной дрене в бесконечной области со свободной поверхностью — Е. Д. Хо-мовской [40] и другим методом — В. В. Ведерниковым [27], [c.285]

Рассматриваются полностью развитые течения вязкой несжимаемой изотропнопроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения при наличии поперечного магнитного поля (Bo/a) —Gyy- -Gzz). Получено точное решение задачи в общем виде и его предельный случай, соответствующий течению в плоской щели. Показано, что при высоких числах Гартмана в окрестности оси канала может образовываться зона повышенных скоростей. Течение в плоской щели обладает в связи с этим парадоксальным свойством расход увеличивается с ростом числа Гартмана. Причина этого заключается в том, что предельный переход выносит на бесконечность область с бесконечно большой ЭДС, а рассматривается область, где течение происходит в режиме насоса. В заключение обсуждаются некоторые другие течения в неоднородных полях остроконечной геометрии. [c.628]

П.И. Перлии, используя численный метод, решил ряд задач о распределении напряжений вокруг отверстий в форме окружности и различных эллипсов лри этом бьши рассмотрены также случаи частичного охвата отверстия пластической зоной и случай двухсвязной области, занимаемой телом [ 19-21 ]. Тот же метод был применен B. . Са-жиным при решении упругопластической задачи для плоскости при наличии отверстия, близкого к квадрату предполагалось, что на бесконечности имеет место всестороннее сжатие, а пластическая область охватывает все отверстие [22, 23 ]. B. . Сажин рассмотрел также другие интересные задачи применительно к проблеме проявления горного давления вблизи выработок различной формы [24, 25]. [c.8]

Рассмотрим случай, когда область S является бесконечной и многосвязной. (К нему может быть сведено большое количество задач, имеющих практическое значение. В частности, если размеры отверстий невелики по сравнению с размерами пластины и эти отверстия расположены на достаточном удалении от краеп, то пластину конечных размеров можно принять за бесконечную.) Тогда аналитические функции фа(2а) могут быть представлены в виде [90, 195] [c.94]

Перейдем к случаю полубесконечной области Q типа полупространства, под которой будем подразумевать область с бесконечной границей, обладающую следующим свойством область й принадлежит некоторому полупространству и содержит другое полупространство (границы обоих полупространств конечно параллельны). Далее в качестве областей с бесконечной границей будем рассматривать только полубесконечные области типа полупространства, которые для краткости будем называть просто по-лубесконечными областями. [c.35]

Для доказательства этого утверждения рассмотрим вначале случай, когда область Q является конечной областью. Тогда вектор g(t) можно трактовать как вектор жесткого перемещения вязкоупругого тела, занимающего область Q. Этому вектору перемещений соответствуют нулевые объемные и поверхностные силы, в связи с чем формула (1.36) при o q=1 является следствием формулы представления перемещений (1.20). Пусть теперь Q — бесконечная область с конечной границей Г, представляющей собой конечную совокупность замкнутых поверхностей Гк. При этом Q=—1. Поверхности как части границы Г ориентированы противоположно своим внутренним конечным областям Q . Пусть J eQ+. Тогда точка х являёгся внешней к Гк при всех к. Следовательно, интеграл в (1.36) по каждой поверхности Г равен нулю. [c.137]

Чтобы показать это, заметим, что можно рассмотреть преобразование, которое происходит в плоскости (плоскости движения). Так как законы отражения зависят только от ориентации касательной к кривой, от которой происходит отражение, то якобиан будет содержать производные первого порядка от единичного вектора касательной, т. е. самое большее вторые производные от преобразованных координат по исходным. Следовател р-но, границу можно заменить соприкасающейся окружностью в этом случае якобиан, т. е. отношение объема бесконечно малой области после столкновения к объему соответствующей области до столкновения, вообще говоря, мог бы быть любой конечной безразмерной функцией радиуса этой окружности и угла падения. Но он не может зависеть от радиуса, поскольку невозможно образовать безразмерную функцию, содержащую единственную длину следовательно, якобиан должен быть одни1М и тем же для любого значения кривизны, т. е. он должен быть равен величине /1 = —1, как при отражении от плоской стенки (что соответствует предельному случаю бесконечно большого радиуса). [c.28]

В [5, 50] изучается случай, когда область контакта П — незаштрихо-ванный клин угла 2(3 (рис. 1). Основное внимание уделяется выделению особенностей контактных давлений в кончике штампа. Исключаются решения уравнения (1) с бесконечной энергией типа решения В. Л. Рвачева [54] для задачи б при о = тг/4 и плоской подошве штампа. Вводятся полярные координаты г = р соз ф, г = рБшф и новые функции (р, ф) = д(г,, Ф) /( 5 )- При помощи преобразования Меллина получается одномерное интегральное уравнение. Для случая f p, ф) = ( 1 6 [c.185]

СЯ случаем, когда область контакта представляет собой узкую бесконечную полосу —оо<х<оо —б< /<б . Тогда перемвщения граничных точек упругого полупространства вдоль оси Ох от распределенных по этой полосе напряжений тДх, у), согласно (11), будут даваться формулой [c.292]

Весьма интересный анализ был произведен советским механиком В. А. Егоровым [6.1], [7.1]. Рассматривая случай, когда область О есть сфера притяжения или сфера действия меньшей звезды относительно большей звезды, он пришел к следующему выводу если в круговой ограниченной задаче трех тел отношение притягивающих масс т /т достаточно мало, то непритягивающая точка, пришедшая из бесконечности в сферу притяжения меньшей звезды, обязательно выйдет из этой сферы. Вывод остается в силе, если вместо сферы притяжения брать сферу действия меньшей звезды. [c.260]

Заметим, что в задаче обтекания постоянство вектора V, является обязательным [134] в отличие от постановок для вихревого движения идеальной жидкости, когда па бесконечности допустимо задание неоднородного поля скорости. Некоторый промежуточный вариант — внутренняя задача в неограниченной области, например задача о течении жидкости в бесконечной трубе. В этом случае вопрос о концевых условиях далеко не тривиален, хотя для ламинарных движений естественно считать, что на концах (имеющих разные сечения) асимптотически должны быть заданы нуазейлевы режимы. Частным случаем задачи в бесконечной области является проблема вязких струй, которая в обобщенной форхмулировке может быть поставлена следующим образом. На сфере единичного радиуса или иа другой ограничепиой поверхности дано произвольное поле вектора скорости. Требуется найти стационарное решение Ьне этой сферы, сопрягающееся с покоем на бесконечности. Теории вязких струй посвящена обширная литература [7, 26, 96]. Эта проблема подробно обсуждается в настоящей монографии. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...