Временные и пространственные средние

В этом параграфе доказывается совпадение временных и пространственных средних в системах, совершающих условно-периодическое движение. [c.250]

Доказательство. И временное и пространственное среднее зависят от / линейно, поэтому совпадают по лемме 1, ч. т. д. [c.253]

Временные и пространственные средние [c.22]

Следовательно, временное и пространственное средние совпадают [c.128]

Полученный результат допускает непосредственное обобщение на случай преобразований на торах временные и пространственные средние непрерывных функций совпадают всюду в том и только том случае, если траектории всюду плотны. [c.129]

Эргодичны в том и только том случае, если их орбиты всюду плотны (или в том и только том случае, если временные и пространственные средние непрерывных функций совпадают всюду). [c.131]

Важным динамическим и энергетическим фактором, особенно в нижней термосфере, является турбулентность, временная и пространственная морфология которой остается до конца не выясненной. Ее возникновение обусловлено, главным образом, конвективной неустойчивостью, ветровыми сдвигами, приливными колебаниями, нестабильностью и/или распадом ВГВ и другими возмущениями. Поэтому, при анализе термогидродинамических процессов в средней атмосфере часто оказывается необходимым одновременно рассматривать уравнения, определяющие осредненные поля концентраций, температуры и скорости ветра вместе с такими характеристиками интенсивности турбулентных движений [c.43]

Выше уже указывалось, что гидродинамические поля скорости, давления, температуры и т. д. в случае турбулентных течений имеют столь сложную структуру, что их индивидуальное описание оказывается практически невозможным. Поэтому здесь приходится рассматривать сразу целую совокупность аналогичных течений и изучать лишь осредненные статистические характеристики этой совокупности, предполагая, что все рассматриваемые гидродинамические поля являются случайными полями (в смысле, объясненном в п. 3.2). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что такой подход является возможным, т. е. турбулентными мы будем называть лишь такие течения, для которых существует статистический ансамбль аналогичных течений, характеризуемый определенными распределениями вероятности (с непрерывными плотностями) для значений всевозможных гидродинамических полей. Отметим в этой связи, что обычное определение турбулентных течений просто как течений, сопровождающихся беспорядочными пульсациями всех гидродинамических величин, еще недостаточно для возможности построения математической теории турбулентности. Если же соответствующий статистический ансамбль существует, то отвечающее ему статистическое описание гидродинамических полей турбулентности и с чисто практической точки зрения не будет неполным , так как знание всех деталей очень запутанного индивидуального поля для практики никогда не нужно, а интерес представляют, в первую очередь, средние характеристики. Правда, на практике обычно используются не средние по ансамблю, а временные или пространственные средние поэтому с практической точки зрения следует требовать еще, чтобы случайные поля гидродинамических величин обладали некоторыми эргодическими свойствами. Последнее условие в дальнейшем также всегда будет предполагаться выполняющимся. [c.225]

Дело в том, что согласно нашему новому определению среднее значение понимается как среднее взятое по всем возможным значениям рассматриваемой величины поэтому для эмпирического определения средних значений со значительной степенью точности мы должны были бы иметь результаты большого числа измерений, производившихся в длинной серии повторяющихся аналогичных опытов. На практике, однако, мы чаще всего не имеем такого множества опытов и вынуждены определять средние значения по данным измерений, проводившихся в течение одного-единственного опыта ). Во всех таких случаях обычно используется простейшее осреднение эмпирических данных по некоторому интервалу времени- или пространства. Отсюда видно, что предположение о существовании распределений вероятности само по себе еще не снимает вопроса о законности использования в теории турбулентности обычных временных или пространственных средних, а лишь изменяет постановку этого вопроса. именно, вместо исследования частных свойств того или иного метода осреднения мы должны теперь выяснить, насколько близки соответствующие эмпирические средние,к вероятностным средним значениям, с которыми лишь и имеет дело теория. Положение дел здесь вполне аналогично тому, [c.172]

В некоторых задачах теории турбулентности очень часто можно считать, что соответствующие гидродинамические поля являются однородными хотя бы в одном направлении или стационарными (или даже, что выполняются оба эти условия одновременно). Поэтому если бы удалось доказать, что во всех случаях при налич/ии стационарности или однородности теоретико-вероятностные средние значения можно заменять средними по времени или по пространству, то это имело бы очень большое практическое значение. На самом деле одной лишь стационарности или однородности, вообще говоря, еще недостаточно для сходимости временных или пространственных средних к средним значениям в смысле теории вероятностей ). Тем не [c.207]

Для измерения характеристик магнитофонов и протяженных каналов передачи сигналов должна быть предусмотрена возможность временного и пространственного разделения передающей и приемной частей измерительного прибора, т. е. должны быть обеспечены синхронизация коммутатора фильтров в такт с принимаемым сигналом и стабилизация средних частот фильтров. [c.149]

В 14 указывалось, что волны, испускаемые атомами, сохраняют регулярность лишь в течение ограниченного интервала времени. Другими словами, в течение этого интервала времени амплитуда и фаза колебаний приблизительно постоянны, тогда как за больший промежуток времени и фаза, и амплитуда существенно изменяются. Часть последовательности колебаний, на протяжении которой сохраняется их регулярность, называется цугом волн или волновым цугом. Время испускания цуга волн называется длительностью цуга или временем когерентности. Пространственная протяженность цуга L длина цуга волн) и время когерентности Т связаны очевидным соотношением Ь = Тс, где с —скорость света. Если, например, средняя длина цугов волн, излучаемых некоторым источником света, равна по порядку величины 1 см, то время когерентности для этого источника света составляет величину порядка 0,3-10" с. Следовательно, в среднем через такие промежутки времени прекращается излучение одной регулярной последовательности волн, испускаемой источником света, и начинается излучение нового цуга волн с амплитудами, фазами и поляризацией, не связанными закономерно с соответствующими параметрами предшествующего волнового цуга. [c.93]

При течении двухфазной жидкости характер потока во времени меняется, так как в процессе движения газо-жидкостная смесь совершает пульсирующие, колебательные движения. Поэтому все физические величины, определяющие движение, осредняются по пространственно-временным координатам. В таком же понимании употребляется термин установившееся движение . Поскольку в общем случае расход газа пли жидкости чере.з произвольное сечение трубы меняет свои значения в различные моменты времени, отклоняясь ог средних значений в ту или другую сторону, то для каждой формы течения имеется такой промежуток времени, в течение которого этот расход можно считать постоянным. В дальнейшем все величины, связанные с расходом, употребляются именно в этом смысле. Имея это в виду, примем следующие обозначения, опуская знаки осреднения II термин среднее (в тексте дается математическая конструкция пространственно-временного осреднения и осреднения по сечению потока в случае одномерного движения) [c.4]

Это означает, что колебания во времени в точке Xi точно согласованы с колебаниями в точке х - Поле считается когерентным, если максимальное значение выражения (3) достигается для всех точек Xi и j a. По-видимому, теперь очевидно, что значение функции взаимной корреляции не зависит от процесса усреднения, даже если по-прежнему берутся средние значения Поэтому функцию, описывающую оптическое поле, мож ю разделить на две части зависящую только от времени и зависящую только от пространственных координат. Следовательно, [c.41]

В принципе имеются два пути решения проблемы. В первом случае можно предположить, что функция известна на большом отрезке времени (пространства). Исходя из этого, определяют функции распределения вероятностей, используемые для нахождения значений, усредненных по времени и пространству. Во втором случае мы имеем ансамбль подобных функций. При этом также определяются функции распределения вероятностей, но теперь уже путем исследования всех данных ансамбля. Затем эти функции распределения используются для нахождения средних значений по ансамблю. Предположение о том, что процесс является эргодическим, в принципе позволяет нам утверждать, что усреднения по координатам и по ансамблю должны давать один и тот же результат. Таким образом, перейдем теперь к определению корреляционных функций при этом будем полагать, что сигналы являются эргодическими стационарными, и средние значения будем определять только по пространственным координатам. [c.84]

Из общих представлений о процессах взаимодействия оптического излучения с веществом (рис. 3.1) и из приведенных в табл. 11 параметров твердотельных технологических лазеров видно, что для промышленности необходимо разрабатывать лазеры, обеспечивающие перекрытие широких диапазонов энергий и длительностей импульсного излучения и средних мощностей непрерывного или импульсно-периодического излучения. Задание пространственно-временных и энергетических характеристик излучения определяется технологическим режимом, характером обработки и размерами зоны ее воздействия [66, 69, ПО]. [c.113]

Этот период развития отпаянных ЛПМ характеризуется поиском и созданием новых конструктивных и технологических решений, эффективных электрических схем накачки с целью повышения гарантированной (минимальной) наработки АЭ до 1000 ч и выше, средней мощности излучения до 50-100 Вт при практическом КПД не менее 1%, импульсной мощности излучения до 250-500 кВт, энергии в импульсе до 5-10 мДж. Проведены исследования пространственных и временных характеристик выходного излучения ЛПМ с такими уровнями мощности для разных оптических систем как в режиме генератора, так и в режиме усилителя мощности. Разработка мощных и надежных ЛПМ с высоким качеством излучения стимулировалась потребностью создания отечественных технологических установок для разделения изотопов, для высокопроизводительной прецизионной обработки материалов электронной техники, а также для создания медицинских установок [130, 131, 133-174. [c.25]

Для оценки корреляционных членов в этих уравнениях можно предположить, что временная эволюция функций и /С определяется уравнениями для операторов поля свободных частиц. Тогда несложный анализ показывает, что корреляционные члены быстро осциллируют и отличны от нуля на самом раннем этапе эволюции, когда ( 1 о) и ( 2 — о) где — средняя энергия частицы. Таким образом, если система достаточно хорошо описывается в рамках модели квазичастиц, то для не слишком малых промежутков времени и 2 можно по-прежнему пользоваться соотношениями (6.3.93). В пространственно однородном состоянии, которое мы рассматриваем, из (6.3.94) следует, что [c.79]

В заключение отметим, что распределение средней интенсивности Т х,у) в изображении когерентно освещаемого шероховатого объекта совпадает с интенсивностью, которая. наблюдалась бы, если бы объект освещался пространственно некогерентным светом с той же самой спектральной плотностью мощности. Некогерентное освещение можно считать эквивалентным быстрой временной последовательности пространственно-когерентных волновых фронтов, эффективная фазовая структура каждого из которых исключительно сложна и совершенно не зависит от фазовой структуры других членов последовательности. Таким образом, проинтегрированная по времени интенсивность изображения, наблюдаемая при пространственно-некогерентном освещении, идентична усредненной по ансамблю интенсивности 7 (х, у) (в предположении одинаковой ширины по- [c.331]

Чтобы среднее значение и дисперсия гамма-распределения, аппроксимирующего распределение интегральной интенсивности во времени и пространстве, были равны подлинным среднему значению и дисперсии величины и , нужно надлежащим образом выбрать параметр Ж гамма-распределения. В связи с факторизацией, представленной в формуле (9.2.30), число степеней свободы, требующееся для подбора правильных среднего значения и дисперсии, будет выражаться в виде произведения числа временных степеней свободы на число пространственных степеней свободы Жв - [c.451]

По теореме об усреднении [4] предел всегда существует. Между временными g I, ср°) и пространственными Х 1) средними известны соотношения [4, 20] [c.167]

Значительный вклад в структуру и энергетику средней атмосферы и термосферы вносят также различные динамические процессы, включая волновые движения. Динамика, связанная с общей циркуляцией, обусловливает перераспределение вещества и энергии в глобальном масштабе. Она во многом определяет (через обмен массой, импульсом и энергией) общий энергетический баланс, отражая тем самым глубокие внутренние связи во всем околопланетном пространстве. Вместе с тем, важную роль в тепловом балансе различных областей и наблюдаемых пространственно-временных вариациях структурных параметров играют также динамические вариации поля давления, в первую очередь уже упоминавшиеся атмосферные приливы и внутренние гравитационные волны ВГВ). Основным источником приливов в атмосферах планет земной группы служат солнечный нагрев и гравитационное притяжение Солнца (для Земли также и Луны). [c.42]

Вернемся теперь к упоминавшемуся выше важному вопросу о том, при каких условиях временные и пространственные средние значения случайного поля и , t) при неограниченном увеличении интервала осреднения сходятся к соответствующим теоре-тико-вероятностным средним значениям. При этом мы придем к некоторым специальным классам таких полей, представляющим большой интерес для теории турбулентности. [c.197]

Эргодическая теория восходит своими корнями к знаменитой эргодиче-скои гипотезе Больцмана, которая для систем, встречающихся в статистической механике, постулирует равенство некоторых временных и пространственных средних. В математике понятия эргодической теории появились в результате анализа равномерных распределений последовательностей. В качестве одного из первых примеров можно назвать теорему Кроне-кера — Вейля о равномерном распределении (предложение 4.2.1). А. Пуанкаре заметил, что сохранение конечной инвариантной меры приводит к весьма сильным выводам относительно наличия возвращения, и сформулировал эти выводы в своей теореме о возвращении (теорема 4.1.19 [c.20]

Дело в том, что если среднее значение понимать как среднее, взятое по всем возможным значениям рассматриваемой величины, то тогда для эмпирического определения таких значений со значительной степенью точности следовало бы использовать результаты большого числа измерений, производящихся в длинной серии повторяющихся аналогичных опытов. На практике, однако, чаще всего множество опытов не производится и средние значения приходится определять по данным измерений, проводившихся в течение одного единственного опыта. Во всех таких случаях обычно используется простейшее осреднение эмпирических данных по некоторому интервалу времени или пространства. Отсюда видно, что предположение о существовании распределений вероятности само по себе еще не снимает вопроса о законности использования в теории турбулентности обычных временных или пространственных средних, а лишь изменяет постановку этого вопроса. А именно, вместо исследования частных свойств того или иного метода осреднения мы должны теперь выяснить, насколько близки соответствующие эмпирические средние к вероятностным средним значениям, с которыми лишь и имеет дело теория. Положение дел здссь вполне аналогично тому, которое имеется в обычной статистической механике систем с конечным числом степеней свободы, где также приходится заменять теоретические средние по совокупности возможных состояний системы (или, как чаще говорят, средние по ансамблю ) непосредственно наблюдаемыми временными средними. Известно, что в статистической механике при [c.174]

Аналогично гюлученному ранее результату для временной нестационарности-уравнение (1.84)-из уравнения (1.98) следует, что интеграл от нестационарного мгновенного частотно-волнового спектра по временной и пространственной частотам равен среднему квадрату процесса в момент времени t в точке случайного неоднородного поля с координатой х 00 00 [c.35]

Вариации рассеивающих свойств атмосферы носят спектральный, временный и пространственный характер. Счетлэнд показал 35], что для типичной линии поглощения газа с расстоянием между ее центром и крыльями Av 0,3 см спектральная зависимость коэффициента обратного рассеяния Pя(v) и ослабления н. o(v) слабее, чем В принципе во всем широком диапазоне частот от УФ до среднего ИК, пригодном для лазерного газоанализа атмосферы, спектральные вариации характеристик рассеяния в достаточно узком интервале (менее 10 см ) гарантированно не превышают 1 % (например, согласно модели [8]). [c.148]

Случайные процессы, с которыми приходится иметь дело на практике, часто можно с достаточной точностью описывать с помощью стационарных или однородных случайных функций. Однако такое описание оказывается справедливым только в пределах ограниченных временных и пространственных интервалов. При увеличении пространственных или временных интервалов средние значения могут изменяться, что, строго говоря, приводит к нестационарности и неоднородности. Примером может служить ветер в турбулентной атмосфере, среднюю скорость которого допустимо считать постоянной лишь в пределах органиченного временного интервала. [c.275]

Из выражения (45) следует, что для температурного поля = 0т должны быть заданы скорость изменения его во времени dVy,ldt и функция пространственного распределения температуры dW Jdxj. Полное описание этих параметров с учетом произвольной ориентации поля можно выполнить в тензорной форме. Однако для нормирования во времени достаточно задавать среднее А/т значение отклонений и амплитуду изменений б/т. н температуры, так как согласно теореме о среднем и теореме оценки определенного интеграла влияния t.. [c.45]

Лит. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982 Смит Я,, В е йи X.. Ферриты, пер. с англ., М., 1962. Ю. П. Ирхин. МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ — раздел симметрии кристаллов, учитывающий специфику их магнитных свойств, а именно в М. с. принимается во внимание симметрия уравнений движения по отношению к операции обращения времени Л, под действием к-рой координаты всех точек кристалла остаются неизменными, а скорости меняются на противоположные. Соответственно, под действием операции R средняя по времени микроскопическая плотность заряда р(х, у, z), описывающая обычную (электрическую) структуру кристалла, не меняется, и кроме р рассматривается микроскопическая средняя плотность магнитного момента т [х, у, z) [или, что эквивалентно, тока(гг, у, г)], меняющая знак под действием В. Группой магнитной симметрии кристалла называется множество преобразований (пространственных и комбинаций из R и пространственных преобразований), оставляющих инвариантными функции р х, I/, а) и ш (х, у, z). Если представить операцию Я как замену чёрного цвета на белый, то магнитные группы совпадают с шубпиковскими группами симметрии и антисимметрии. [c.661]

Анализ корреляционных свойств флуктуаций позволяет перейти к описанию статистики сигнала после фотодетектирования. Как следует из (1.5.5), распределение числа фОтоотсчетов зависит от количества областей корреляции М интенсивности в продетектиро-ванном сигнале. В простейшем случае, когда речь идет о коротких временных интервалах Ti (освещенная площадь на цели изменяется несущественно), М может быть оценено через средние количества времеиых и пространственных областей корреляции на интервале Ми, [c.150]

Блок-схемы экспериментальной установки для измерения пространственных, временных и энергетических характеристик излучения ЛПМ представлены на рис. 4.1. Испытания проводились в основном с отпаянным саморазогревным АЭ ГЛ-201 (см. гл. 2), часть исследований — с удлиненным АЭ ГЛ-201Д (см.гл.З). Характеристики выходного излучения АЭ ГЛ-201 исследовались в режиме без зеркал, с одним зеркалом, с плоским и плоско-сферическим резонаторами и с телескопическим HP. В плоском резонаторе в качестве глухого зеркала 3 использовалось зеркало с многослойным диэлектрическим покрытием, в качестве выходного 4 — стеклянная плоскопараллельная пластина без покрытия (коэффициенты отражения зеркал 99% и 8% соответственно). Вогнутое диэлектрическое зеркало с радиусом кривизны R = 3 м (диаметр 35 мм) и коэффициентом отражения 99% и стеклянная плоскопараллельная пластина образовывали плоскосферический резонатор длиной 1,5 м. Зеркало с радиусом кривизны R = 3 м использовалось в качестве глухого зеркала и в телескопическом HP с коэффициентом увеличения М = 10-300. Выходными зеркалами в HP служили выпуклые зеркала с диэлектрическим или алюминиевым покрытием, имеющие диаметр 1-2,5 мм и радиус кривизны R = 10-300 мм. Эти зеркала наклеены на просветленную плоскопараллельную стеклянную подложку так, что оптическая ось зеркала образует с плоскостью подложки угол не менее 94°. Последнее необходимо для устранения обратной паразитной связи подложки с активной средой АЭ. При коэффициентах увеличения М = 15-60 в качестве выходных зеркал резонатора использовались и стеклянные мениски диаметром 35 мм. При М — 5 глухое вогнутое зеркало имело R — = 3,5 м, а выходное выпуклое — 0,7 м. В режиме работы с одним зеркалом применялись выпуклые зеркала с Д = 0,6-10 см. Средняя [c.108]

Измерительная аппаратура (рис. 5.8, б) позволяла исследовать временные, пространственные и энергетические характеристики излучения на выходе как ЗГ, так и УМ. Средняя мощность излучения измерялась с помощью преобразователя мощности лазерного излучения ТИ-3, подключенного к милливольтметру Ml36 (15). Для регистрации импульсов излучения были использованы фотоэлемент ФЭК-14К (16) и осциллограф С1-75 (17). С помощью вращающегося диска 20 с отверстием (диаметр отверстия 0,1 мм), фотоэлемента 16 и запоминающего осциллографа С8-7А (21) снимались распределения интенсивности в фокальной плоскости линзы 12 и зеркала 19 и в плоскости фокусировки излучения, по которым оценивались геометрические (<9геом) И реальные (0реал) расходимости пучков. Фокусировка излучения на выходе ЗГ осуществлялась просветленной линзой 12 с фокусным расстоянием F — 0,7 м или вогнутым зеркалом 19 с радиусом кривизны Л = 5 м, на выходе УМ — зеркалом с Д = 15 м. [c.140]

Количество резонаторных пучков ограничено временем существования инверсии (20-40 не) и обычно равно двум или трем. Пучки частично перекрываются в пространстве и во времени, конкурируя между собой по мощности в процессе формирования. Каждый пучок излучения характеризуется своими пространственными, временными и энергетическими характеристиками — средней и пиковой мощностью, расходимостью, распределением интенсивности в ближней и дальней зонах, абсолютным значением и процентным содержанием мощности на отдельных длинах волн (Л = 0,51 и 0,58 мкм), импульсной энергией, длительностью, временем возникновения и исчезновения импульса, степенью стабильности импульсной энергии и оси диаграммы направленности. Характеристики пучков в однозеркальном режиме определяются параметрами зеркала, в режиме генератора — типом резонатора и параметрами его зеркал и существенно зависят от условий возбуждения (характеристик импульсов накачки, уровня вводимой мощности, давления буферного газа, ЧПИ). [c.281]

Можно определить лагранжеву пространственно-временную корреляционную функцию следующим образом. Введем для пространственного разделения и временной задержки т среднюю скорость, определяемую как мгновенное среднее значение скорости по объему порядка Важно, чтобы I и т были много меньше соответственно масштаба и периода макровихрей. Если это сделано, то при вычислении корреляций средняя скорость не будет меняться при переходе от одной точки к другой. Если мы определим лагранжеву корреляцию как корреляцию величин, взятых в системе координат, движущейся со скоростью v, мы можем высказать разумную гипотезу, что такие корреляцихг имеют подобие в инерционной подобласти спектра турбулентности. Например, лагранжева корреляция скоростей может быть записана в виде [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...