Энергия деформации для линейно-упругого материала

Энергия деформации для линейно-упругого материала [c.82]

Для линейно-упругого материала стержня возможны следующие эквивалентные записи объемной энергии деформации [c.59]

В соответствии с основным положением, что для линейно-упругого материала накопленная энергия деформации равна работе, совершенной над элементом, а работа равна произведению среднего значения силы на расстояние, при малом демпфировании можно записать [c.517]

При Г = Г , Г = О, так как свободная поверхность надреза не может противостоять нормальным к ней напряжениям, поэтому J = —dU Ida. Для линейно-упругого материала в условиях заданной деформации / идентичен величине высвобождения энергии деформации G. Можно показать, что разность / — J для двух кривых Гх и Гг равна нулю, т. е., что /-интеграл не зависит от пути и формально эквивалентен изменению потенциальной энергии, когда длина надреза увеличивается на da. [c.157]

Здесь Р (а) — линейная функция от о и производных о до порядка п включительно с постоянными коэффициентами, Q e) — такая же функция от деформации е. К соотношению вида (17.5.9) можно прийти, если рассмотреть модель, составленную из большого числа пружин и вязких сопротивлений, соединенных в разных комбинациях последовательно и параллельно. Конечно, было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы, однако способ, основанный на построении реологических моделей, обладает некоторым преимуществом. Мы убедились, что в уравнении (17.5.8) должно быть J. < , при этом не было необходимости в обращении к модели, условие < Е, из которого следует первое неравенство, означает только то, что приложенная сила совершает положительную работу, расходуемую на накопление энергии деформации, а частично рассеиваемую в виде тепла. В общем случае (17.5.9) тоже должны быть выполнены некоторые неравенства, которые могут быть не столь очевидны. Но если построена эквивалентная реологическая модель из стержней, накапливающих энергию, и вязких сопротивлений, рассеивающих ее, то у нас есть полная уверенность в том, что для соответствующего модельного тела законы термодинамики будут выполняться. Второе преимущество модельных представлений состоит в том, что для любой заданной конфигурации системы может быть вычислена внутренняя энергия, представляющая собою энергию упругих пружин, и скорость необратимой диссипации энергии вязкими элементами. Имея в распоряжении закон наследственной упругости (17.5.1), (17.5.2), мы можем подсчитать полную работу деформирования, но не можем отделить накопленную энергию от рассеянной. Поэтому, например. Блонд целиком строит изложение теории на модельных представлениях. [c.590]

Как установлено в гл. 5, величина Г представляет собой скорость высвобождения энергии при динамическом процессе распространения трещины только для случая упругих материалов— линейных или нелинейных. Кроме того, для упругих (без диссипации) материалов плотность полной работы напряжений W идентична плотности энергии деформаций и представляет собой однозначную функцию деформаций е,/. Однако в случае, когда материал в окрестности вершины трещины переходит в пластическое состояние, вследствие чего напряжения оказываются конечными, понятие высвобожденной энергии оказывается, вообще говоря, бессодержательным. [c.64]

Можно также сравнивать величину энергий деформации в напряженных состояниях, близких к состоянию равновесия внутренних напряжений в упругом теле, предполагая, что внешние силы и граничные напряжения, которые действуют в упругой системе в состоянии равновесия, слегка изменяются или варьируются таким образом, что при этом сохраняется взаимная уравновешенность всех сил. Поскольку энергия упругой деформации, запасенная в теле, состоящем из материала, который удовлетворяет линейному закону упругости Гука (тело, для которого соотношения между напряжениями и деформациями выражаются [c.143]

Широкое распространение получил приближенный энергетический метод учета внутреннего трения при колебаниях механических систем, который предполагает введение некоторой функции диссипации энергии за цикл нагружения при сохранении линейно упругой связи между напряжениями и деформациями. Поэтому наряду с упругими константами рассматриваются как независимые диссипативные параметры материала (логарифмические декременты колебаний или коэффициенты рассеяния). Для изотропных тел [111 потери энергии AW в единице объема тела за цикл нагружения определяются с помощью двух коэффициентов ij) , t(i", амплитудных значений энергии формоизменения W и энергии изменения объема W [111 [c.252]

Зная упругие константы материала и кривую линейного деформирования r(s), по уравнениям (4.23) можно определить ход ударной адиабаты в области малых пластических деформаций, где слабым возрастанием модуля объемной упругости можно пренебречь. Для этого рассмотрим баланс энергии в материале при распространении ударной волны. [c.165]

В основе испытаний на вязкость разрушения лежат положения линейной механики разрушения. Разработанные Д. Ж- Ирвиным положения позволяют оценить влияние трещин и подобных им дефектов на сопротивление материала хрупкому разрушению. Базой для развития линейной механики разрушения послужили работы Гриффитса, который показал, что хрупкое разрушение связано с наличием в материале трещин, вызывающих локальную концентрацию напряжений, и происходит в результате самопроизвольного движения этих трещин, поддерживаемого энергией, накопленной в материале вследствие упругой деформации. [c.93]

Функционал, стационарность которого рассматривается, должен быть выражен через тензор напряжений или его инварианты, если среда изотропна геометрические величины не должны в него входить. В линейной теории упругости это не сопряжено с трудностями, так как выражение линейного тензора деформации через тензор напряжений Т известно и это позволяет сразу же получить представление удельной потенциальной энергии через напряжения. В нелинейной теории эта процедура требует обращения уравнения состояния материала о практической неосуществимости такой операции в общем случае (для любого материала) говорилось в 14 и II, 8. Но ход вывода принципа стационарности дополнительной работы требует предположения, что обращение осуществлено принимается, что соотношение [c.141]

Принцип размазывания , использованный в работе [21], отличен от процедуры сглаживания слабоизменя-ющихся функций, примененной в теории армированных сред [5, 6]. Он в большей степени подобен методу усреднения дискретно распределенных свойств армированной среды по всему непрерывному спектру направлений, который применялся в работах [43, 44] для определения эффективных констант композиционного материала. В работе [21], так же как н в работе [44], размазанная сеть волокон эквивалентна такой модели среды, в которой через каждую точку пространства проходят все направления волокон. Л1атрица жесткости такой среды отождествляется с матрицей жесткости однородного линейно-упругого материала. Плотность энергии деформации этого материала равна удельной энергии деформирования четырех стержней (волокон), создающих симметрию упругих свойсгв первой составляющей модели материала 4D. [c.80]

В ряде работ используется двухконстантный, так называемый полулинейный материал Джона (материал гармонического типа, гармонический материал) [176]. Удельная потенциальная энергия деформации для этого материала представляется в виде традиционной для линейной теории упругости квадратичной формы с тем отличием, что главные значения линейного тензора деформации заменены на главные относительные удлинения. [c.27]

Подход Ирвина был аналогичен подходу Орована, но он потратил больше усилий на доказательство возможности применения линейно-упругих соотношений между напряжением разрушения и длиной трещины в случае, если разрушению предшествовала пластическая деформация у вершины трещины. Его результаты были выражены через критическую величину высвобождающейся энергии деформации (или потенциальной энергии), при которой происходит нестабильное развитие трещины. Это значение G p явилось удобным параметром, включающим все дополнительные, зависящие от диссипации энергии составляющие, такие как пластическое течение, могущее в свою очередь привести к выделению тепла или акустической энергии, в дополнение к работе, требуемой для разрушения решетки. Постоянство G p и, следовательно, его использование как меры сопротивления металла разрушению оказалось зависящим от условий эксперимента, но в случаях, называемых квазихрупким разрушением , когда развитию трещины предшествует малое пластическое течение, критическое значение всегда может быть связано с напряжением разрушения методами линейной упругости. Параметр Ирвина Gj(p стал известен как вязкость разрушения материала, хотя в настоящее время этот термин закреплен за параметром интенсивности напряжений Ккр, определяемым из соотношений (257) или (258). Развитие испытательных методов механики разрушения, происшедшее со времени выхода работы Ирвина, определило воспроизводимые экспериментальные условия измерений вязкости, соответствующие условиям службы и поддающиеся [c.105]

Следует подчеркнуть, что теорема единствепности нами доказана для геометрически линейной теории упругости. Для нелинейной теории и больших деформаций приведенный выше способ доказательства недействителен, так как тогда положительная определейность энергии деформации может нарушаться. Последнее означает одно из двух либо принятая модель сплошпой среды некорректна, либо материал неустойчив. Примером неустойчивого материала служит материал с падаюш,ей диаграммой растяжения, когда одному и тому же значению на- [c.62]

Так как корректное выражение для приходящейся на единицу объема работы деформирования, совершаемой шестью компонентами напряжения аж, Оу, Ог, Туг, Тгх, Хху В бесконсчно малом элементе упругого материала, невозможно вывести до тех пор, пока не постулирован закон связи между напряжениями и деформациями, то использование для упругой среды вариационных принципов, связанных с энергией деформации ю, предполагает справедливость линейных связей между напряжениями и деформациями (приведенное выше второе необходимое условие). [c.144]

Исходным является не линейное выражение (2.7), а предположение о существовании удельной потенциальной энергии деформации U гц) с уже рассмотренными выше свойствами dO = оцйгц или ац = дП/дгц, благодаря которому устанавливается упругое поведение материала (упругость по Грину). Для iy(e,/) в окрестности начального состояния (характеризуемого равенством гц = 0) выполняют разложение в степенной ряд по 8,/ с удержанием членов до второй степени включительно. Тогда [c.57]

Гриффитс предполагал, что величина бГ есть поверхностная энергия твердого тела, имеющая ту же физическую природу, что и для жидкости. Однако впоследствии выяснилось, что затраты энергии при создании новых поверхностей при развитии трещины связаны главным образом с работой пластической деформации объемов материала, расположенных перед фронтом трещины. Если линейные размеры этих объемов малы сравнительно с длиной трещины, то поток упругой энергии по-прежнему можно вычислить, сообразуясь только с упругим решением, а затрату энергии на разрушение относить теперь к работе пластической деформации. В этом состоит концепция квазихрупкого разрушения, изложенная в [231]. Эта концепция позволила перейти от идеального материала в схеме Гриффитса к реальным материалам. Эффективность этой концепции состоит в том, что разрушение реальных конструкций практически всегда происходит по квазихрупкому механизму — макрохрупкий излом содержит значительные остаточные деформации вблизи поверхности разрушения. Таким образом, оказалось возможным распространить теорию разрушения Гриффитса на решение инженерных проблем. Энергия Г обеспечивает существование твердого тела как единого целого, а при образовании новых поверхностей (из начального разреза) принято считать, что энергия Г имеет поверхностную природу и поэтому может быть выражена соотношением [c.328]

Гриффитс предполагал, что величина бГ есть поверхностная энергия твердого тела, имеющая ту же физическую природу, что и для жидкости. Однако впоследствии выяснилось, что затраты энергии при создании новых поверхностей при развитии трещины связаны главным образом с работой пластической деформации объемов материала, расположенных перед фронтом трещины. Если линейные размеры этих объемов малы сравнительно с длиной трещины, то поток упругой энергии по-прежнему можно вычислить, сообразуясь только с упругим решением, а затрату энергии на разрушение относить теперь к работе пластической деформации. В этом состоит концепция квазихрункого разруше- [c.28]

Вязкость разрушения. При испытаниях вязкости разрушения основного материала и сварных соединений при комнатной температуре и 77 К наблюдалось пластичное разрушение по типу отрыва без каких-либо признаков нестабильного разрушения. При проведении на диаграмме нагрузка — раскрытие трещины линии, наклон которой на 5 % меньше, чем наклон линейной части диаграммы, признаков роста трещины не обнаружено, и истинные значения критического коэффициента интенсивности напряжений Ki определить было невозможно. Оба материала настолько вязки, что просто не хватает толщины образца для того, чтобы накопленная упругая энергия могла вызвать даже незначительное увеличение роста трещины. Проведенные ранее исследования плит сплава 5083-0 и сварных соединений, выполненных с присадкой проволоки сплава 5183, [7] показали, что при испытаниях изгибом надрезанных образцов размером 203X203 мм толщины образца недостаточно для обеспечения условий плоской деформации в материале. Было установлено, что такие условия обеспечиваются на образцах толщиной 305 и шириной 610 мм. [c.114]

Прототипом задач линейной механики разрушения служит задача Гриффнтса о трещине отрыва в неограниченной среде при условиях плоской деформации (рис. 6.1). Трещина длиной 21 представлена в виде плоского математического разреза. На бесконечности заданы номинальные напряжения а, нормальные к плоскости трещины. Материал подчиняется закону Гука с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона V. Для того, чтобы размер трещины I увеличился на 1, необходимо затратить работу, значение которой пропорционально (И. Гриффитс связывал эту работу с энергией поверхностных сил. В действительности основная часть работы затрачивается на пластическое деформирование и другие необратимые явления. Все эти факторы учитываются в виде удельной работы разрушения V, отнесенной к единице площади вновь образованной трещины. Удельная работа у имеет размерность Дж/м = Н/м. Для конструкционных материалов удобна единица измерения кДж/м = кН/м. Согласно энергетической концепции Гриффитса трещина не растет, если значение потенциальной энергии системы П, высвобождаемой при продвижении фронта трещины на Л, меньше работы разрушения, т. е. — П < усИ. При — П > [c.159]

Как известно, несовершенство упорядоченного расположения атомов в поликристаллических металлах и минералах оказывает влияние на скорость и поглощение акустических волн в этих материалах. Поскольку многие породы состоят из зерен, которые имеют очевидную кристаллическую структуру или, по крайней мере, химическое строение которых предполагает упорядоченность атомов, можно ожидать, что такие же эффект могут проявляться и при распространении сейсмических волн. Полный обзор исследования по этому вопросу и обсуждение наиболее важных идей было дано Мэйсоном (1976 г.). Главная идея заключается в том, что напряжения могут изменять положение дефектов в кристаллической решетке. Это изменяет связь деформации с напряжением в среде, увеличивая значения упругих модулей и добавляя к ним мнимую часть. Чтобы изменить положение дефекта, требуются как тепловая энергия, так и механическое напряжение. Тепловая энергия затрачивается на преодоление энергетического барьера, который смещается под воздействием напряжений. Согласно Мэйсону дефектом, который наиболее сильно влияет на скорость и поглощение волн, является дислокация, представляющая линейную область нарушенного порядка, удерживаемая на обоих концах некоторыми дефектными атомами. В одном слу тае сейсмические волны заставляют дислокацию колебаться подобно растянутой струне, излучая энергию при взаимодействии с тепловыми фоно-иами. Это явление обусловливает широкий максимум поглощения в мегагерцовом диапазоне частот. Более вероятно, что дислокации пересекают энергетический барьер и только частично находятся в области мини-чума потенциальной энергии. Каждая дислокация может содержать некоторое число узлов, при этом движение дислокации происходит в том случае, когда все узлы переходят через потенциальный барьер в соответствии с приложенным напряжением, Этот механизм ведет к независимости Q от частоты. Оба механизма дают значения Q, находящиеся в хорошем согласии с экспериментами на гранитах формации Уистерли и других породах, если использовать некоторые правдоподобные предположения о размере и плотности дислокаций. Результаты более поздних экспериментов [99] не удалось объяснить движением дислокаций в твердой фазе пород. В связи с этим была развита модель, базирующаяся на теории Герца для контактируюш,их сфер, в которой учитывается движение дислокаций на поверхности трещин. Искажения материала, наблюдаемые при деформациях, достигающих 10-, могут быть Объяснены наличием дислокаций, отрывающихся от концевых дефектных атомов. [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...