Конечные элементы равновесная

Равновесные и смешанные конечные элементы [c.202]

Задача минимизации функционала (5.318) на множестве М является задачей нелинейного программирования, которую можно решить известными методами, используя при этом дискретизацию с помощью равновесных конечных элементов (см. 4,7). [c.285]

На втором этапе научно-технической революции — этапе научной революции формируются новые подходы к решению важных технических задач — составляются математические модели машин, аппаратов, ироцессов модели анализируются на ЭВМ для отыскания рациональных решений. В учебнике приведены примеры новых подходов математическая модель процессов в химически реагирующих смесях (основана на термодинамическом методе анализа равновесных состояний) математическая модель температурного поля в телах сложной формы (основана на методе конечных элементов) математическая модель теплоотдачи в турбулентном пограничном слое (в основе модели турбулентности — понятие о длине пути смешения). [c.3]

Рассмотрим тонкую многослойную оболочку вращения, выполненную из КМ, при действии осесимметричных нагрузок. Получим основные исходные матрицы для решения методом конечных элементов физически и геометрически нелинейной задачи деформирования такой оболочки. Воспользуемся шаговым методом нагружения, интегрирование будем проводить по предыдущей равновесной конфигурации (см. 3.7). [c.182]

Из статистического толкования второго начала следует, что увеличение энтропии изолированной системы отражает лишь наиболее вероятные, но не все возможные направления действительных процессов. Как бы ни мала была вероятность какого-либо процесса, приводящего к уменьшению энтропии, все же этот процесс когда-либо, т. е. через достаточно большой промежуток времени, произойдет. время Изменение состояния изолированной системы за какой-либо определенный и притом до-- Рис. 3-24. статочно большой промежуток времени, понятно, не может не быть аналогичным (конечно, только в самом общем плане) изменению состояния ее в любой из предшествующих промежутков времени равной величины (если только составляющие систему частицы, рассматриваемые в самом широком понимании как структурные элементы системы, не меняются, т. е. не превращаются беспредельно друг в друга и в новые частицы). Вследствие этого каждое из состояний системы повторяется (в более или менее сходной форме) с частотой тем большей, чем больше вероятность данного состояния. Поэтому изменение энтропии изолированной системы протекает во времени так, как показано на рис. 3-24. Подавляющее время системы находится в равновесном состоянии, отвечающем максимальному значению энтропии системы отклонившись от этого состояния, система возвращается к нему, причем если наблюдать систему достаточно долго, то случаи увеличения и уменьшения энтропии будут встречаться одинаково часто. При этом время повторяемости какого-либо отклонения системы от равновесного состояния тем больше, чем меньше вероятность данного неравновесного состояния, и быстро возрастает с увеличением размеров системы. Для обычных условий оно настолько велико, что требуются практически недостижимые промежутки времени для того, чтобы наблюдать обращение какого-либо из макроскопических процессов. Вследствие этого процессы, являющиеся необратимыми с точки зрения обычной (т. е. феноменологической) термодинамики, будут представляться практически необратимыми и со статистической точки зрения. [c.103]

Энергии неравновесной и равновесной границ, создающих одинаковый разворот кристаллов вдали от границы, различаются величинами энергии упругого поля и энергии взаимодействия между элементами зернограничной структуры. Конечно, это не означает, что если две границы имеют различные значения собственной энергии, то одна из них является неравновесной, поскольку энергия этих границ может быть разной из-за различия их кристаллографических параметров. Известно, что энергия границы зависит от параметров разориентировки зерен и плоскости залегания границы [202], в каком-то смысле, например, специальная граница более равновесна, чем произвольная. Однако далее мы будем рассматривать в основном неравновесное состояние границ, обусловленное присутствием дефектов дислокационного характера, и, используя термин неравновесная граница зерен , будем подразумевать только то, что такая граница имеет нескомпенсированные дальнодействующие напряжения, и на элементы зернограничной структуры действуют нескомпенсированные напряжения от других элементов структуры границы. Изучение указанного вида неравновесных границ имеет особый интерес, поскольку такие границы играют определяющую роль во многих процессах пластической деформации и рекристаллизации [ПО, 111, 146, 193, 203], а также, как будет показано ниже, в необычных свойствах наноструктурных материалов. [c.94]

Кинетика фазовых переходов, так же как и кинетика любых иных явлений, выходит за рамки собственно квази-стационарной термодинамики. В вопросах изменения агрегатных состояний термодинамика ограничивается рассмотрением равновесных систем, которые включают в себя уже сформировавшуюся новую фазу. Сам же ход формирования как микро-, так и макроскопических частиц вновь образующейся фазы, их роста и накопления остается за пределами анализа. В границах термодинамических представлений, как указывает Я- И. Френкель [Л. 50], под температурой агрегатного перехода (при заданном давлении) понимается не та температура, при которой фактически начинаются фазовые превращения, а та, при которой микроструктурные изменения, приводящие к возникновению новой фазы, прекращаются и система приходит в стабильное состояние. Очевидно, что и в стабильной системе изменение количественного соотношения между газообразной и конденсированной фазами возможно лишь при некотором нарушении взаимного равновесия элементов системы. Квазистационарная термодинамика допускает такие отклонения, однако каждое из них должно быть исчезающе мало. Это означает, что изменения макроскопического масштаба могут происходить лишь на протяжении бесконечно больших отрезков времени, во всяком случае по сравнению со временем восстановления нарушенного равновесия. В действительности же, как это отмечалось ранее, в быстротекущих процессах (например, при движении в условиях больших продольных градиентов давления) скорость изменения состояний среды, вызываемая внешними воздействиями, оказывается вполне сопоставимой со скоростью развития внутренних процессов, ведущих к восстановлению равновесия системы. Следует отметить, что особенно значительные нарушения равновесного состояния происходят в период зарождения новой фазы и начала ее развития. Мы здесь рассмотрим некоторые элементы процесса формирования конденсированной фазы, во-первых, ввиду его большого практического значения, во-вторых, для того, чтобы несколько осветить физическую картину явлений, приводящих в конечном счете к термодинамически устойчивому двухфазному состоянию. [c.121]

С.Д. Волковым высказана идея, что характер распределения напряжений в вершине трещины в принципе повторяет ниспадающий участок кривой на полной диаграмме деформирования материала, полученной при испытании гладкого образца [55, 59]. Проблема сингулярности за дачи при этом решается автоматически вследствие убывания до нуля сопротивления материала в особой точке (вершина трещины), где деформация максимальна и равна предельной для полностью равновесного состояния [155]. Жесткость нагружающей системы для элемента материала у вершины трещины может быть конечной и достаточной для устойчивой закритической деформации в этой зоне, чем и объясняется возможность существования равновесных трещин. [c.26]

По мере повышения давления различие удельны.х объемов и прочих физических характеристик равновесных элементов — кипящей жидкости и сухого насыщенного пара — уменьшается, а вместе с тем уменьшается и величина теплоты испарения. В критической точке К (конечная точка линии испарения — рис. 10 и 11) исчезают основные различия между жидкостью и ее [c.25]

В атом рассуждении имеются противоречия с одной стороны, строятся молекулярные орбитали для системы бесконечно удаленных атомов, с другой — рассматривается только симметричная конфигурация атомов, свойственная молекуле, когда атомы находятся на небольших конечных расстояниях. Для бесконечно удаленных атомов элементы симметрии равновесной конфигурации могут и отсутствовать, и ее нет необходимости предполагать.— Прим. ред. [c.304]

Данные табл. 3 позволяют, таким образом, оценить количество отложившегося на поверхности элемента при протекании процесса (в случае каждой из рассматриваемых реакций) путем расчета состава равновесной смеси для гетерогенной реакции, выражая содержание каждого вещества при равновесии в молях. На основании проведенных расчетов (для температуры процесса насыщения 1000°) можно заключить, что, например, в случае хромирования железа безразлично для конечного результата насыщения, будет ли процесс идти по реакции восстановления или по реакции замещения. Наоборот, при насыщении никеля целесообразно применять водородную среду (реализуется преимущественно реакция восстановления). [c.22]

Равновесная п неравновесная задачи. При рассмотрении теплового электромагнитного поля с учетом ангармонизма вещества, как и в линейном случае (гл. 4), воз можны две постановки задачи, т. е. следует различать равновесное излучение внутри бесконечной нелинейной среды (или в замкнутой полости с нелинейным элементом, перемешивающим моды )) и тепловое излучение снаружи нелинейного подогреваемого вещества, занимающего конечную область пространства. [c.150]

Выше был рассмотрен метод линеаризации на примере достаточно простого уравнения динамики. При определении математических моделей элементов и систем автоматического регулирования в линейном приближении приходится проводить линеаризацию и более сложных уравнений, содержащих производные высокого порядка от выходных и входных величин по времени, а также нелинейные функции от таких производных. Несмотря на свою сложность, линеаризация уравнений динамики всегда осуществима описанным методом, если отклонения величин малы и нелинейные функции являются аналитическими, т. е. имеют конечные производные всех порядков по рассматриваемым переменным в окрестности, определяемой значениями величин при выбранном равновесном состоянии элемента или системы автоматического регулирования. [c.32]

Десятая глава посвящена проблеме изучения и использования условий устойчивого закритического деформирования материалов в элементах конструкций. Рассмотрены наиболее простые деформируемые тела, допускающие аналитическое решение нелинейной краевой задачи. Полученные решения, иллюстрируя закономерности изучаемого механического явления, являются, кроме того, элементами методического обеспечения некоторых зкспериментальных исследований. Показано, что обеспечение условий равновесного накопления повреждений на закритической стадии деформирования является способом использования резервов несущей способности, которые могут быть весьма значительными, и целью оптимального проектирования конструкций на базе соответствующего развития численных методов решения кргъевых задач механики. Рассмотрен вопрос оценки устойчивости накопления повреждений на закритической стадии деформирования при решении краевых задач методом конечных элементов. Приведены аналитические и численные решения краевых задач, иллюстрирующие процессы развития зон разупрочнения в деформируемых телах. Обсуждается методология прочностного анализа на основе понятия "катастрофичность разрушения . [c.13]

Силовые граничные условия будут представлять уравнения рарчовесия щпангоута, на который кроме внешних сил Рг действуют реакции многослойной оболочки. Получим эти уравнения с использованием принципа возможных перемещений. При этом будем считать, ч о для /г-й 4 армоники разложения известны матрица жесткости и ректор-столбец приведенных узловых сил конечного элемента многослойной оболочки, которые вычисляются по стандартным процедурам интегрирования канонической системы дифференциальных уравнений статики и последующих преобразований (разд. 5.1.6). Для узла конструкции, содержащего шпангоут и примыкающий элемент оболочки, согласно принципу возможных перемещений для равновесного состояния будем иметь [c.264]

Дальнейшее обобщение и развитие энергетических концепций стали возможны на основе фундаментальных законов термодинамики. Трибосистема с позиций термодинамики необратимых процессов, как отмечалось выше, при определенных условиях является открытой термодинамической системой, обменивающейся энергией и веществом с окружающей средой. Известно, что в термодинамике неравновесных систем в отличие от равновесной термодинамики изучают изменения состояний, протекаюи ,ие с конечными, отличными от нуля скоростями. Предмет исследования - переносы массы, энергии, вызванные различными факторами, называемыми силами. Причиной возникновения потока всегда являются различия в значениях термодинамических сил температуры, давления и концентрации или их функции, т.е. перепады, или градиенты. Поэтому поток теплоты в трибосистеме появляется, если возникает градиент температуры, а поток вещества есть следствие наличия градиента концентрации и т.д. Следовательно, термодинамические силы представляют собой градиенты, характеризующие удаленность трибосистемы от термодинамического равновесия. Суть применения законов классической термодинамики к неравновесным системам заключается в предположении о локальном равновесии внутри малых элементов областей системы. Представление о локальном равновесии позволяет изучать больп1ое число практически важных неравновесных систем, к которым с полным основанием можно отнести и трибосистемы. При этом все уравнения сохраняют свою ценность по отношению к малым областям, а значит, и общность описываемых ими закономерностей. Так, уравнение Гиббса, показываюилее зависимость внутренней энергии U от энтропии S, объема и химических потен- [c.107]

ВОЗМОЖНОСТЬ непосредственного расчета коэффициентов интенсивности напряжений вдоль фронта дефекта, имеющего произвольную конфигурацию, при комбинированном типе нагружения. Параграф 4 посвящен трехмерной линейно-уиругой механике разрушения, использующей метод граничных элементов, основанный на сингулярных решениях уравнений Навье, описывающих равновесное состояние твердых тел без трещины. Параграф 5 касается методов суперпозиции, применяемых в общем случае для решения трехмерных задач линейной механики разрушения и, в частности, метода альтернирования Шварца — Неймана. Последний подход, используемый в сочетании с методами конечных или граничных элементов для расчета напряжений в твердом теле без трещины, как показано, является наиболее эффективным способом исследования поверхностных дефектов, форму которых можно представить математическими средствами. В главе приведены примеры, иллюстрирующие описанные методы. Глава заканчивается выводами, собранными в 6. [c.183]

Каждый матричный элемент оператора % (т) строится, согласно (19.2.1), в виде матричного произведения операторов X , (или и С), располагаемых в определенном порядке. Операторы С ж диагональны, а оператор X, напротив, недиагонален он описывает переходы от одной корреляционной формы к другой в соответствии с определенными правилами отбора, обсуждавшимися в разд. 14.2 и 14.3, где исследовались возможные отдельные переходы. Здесь мы встречаемся с глобальной проблемой, которую можно сформулировать следующим образом. Чтобы построить матричные элементы (19.2.3), (19.2.4) в приближении пг-го порядка, согласно (19.2.1), мы должны совершить переход от s -Ь г)-частичного вакуумного состояния (справа) к некоррелированному — или к полностью коррелированному — s-частичному состоянию (слева) за т шагов, используя в качестве промежуточные состояний только коррелированные. В общем случае существует много различных путей перехода (когда он в принципе возможен) от начального в конечное состояние. Таким образом, мы сталкиваемся с топологической проблемой. Так же как и в равновесном случае (см. гл. 6), хотя и по другой причине, основная роль при анализе траекторий принадлежит типу их связности. Здесь также для исследовзния проблемы целесообразно воспользоваться диаграммной техникой, в основу которой положены диаграммы, введенные в разд. 14.2 и 14.3. [c.259]

В предыдущих параграфах рассматривались лишь очень малые возмущения сжимаемой среды, сопровождаемые ничтожными отклонениями давления, плотности и температуры от их равновесного значения и очень малой по сравнению со скоростью распространения звука возмущенной скоростью. При однородности полей невозмущенных элементов (давления, плотности и т. п.) в неподвижном или квазитвердо поступательно движущемся газе скорость распространения звуковых волп была всюду одинакова и зависела только от физических констант к, Н к абсолютной температуры газа. Как это следует из формул (8) и (9), с возрастанием по абсолютной величине интенсивности возмущений того или другого знака (относительного сжатия или разрежения газа) растут или убывают и скорости абсолютного движения частиц в возмущенно.м газе. Можно предугадать, что распространение возмущений конечной интенсивности вызовет в покоящемся или движущемся поступательно как одно целое газе появление новых скоростей, отличающихся от старых, невозмущенных, на конечную величину. Такое конечное изменение поля скоростей, согласно закону сохранения энергии, приведет к конечному изменению термодинамических элементов потока, а следовательно, и к изменению самой скорости распространения возмущений в газе. Если вспомнить указанную в конце 27 тенденцию увеличения скорости распространения звука (и, вообще, малых возмущений) при прохождении волны [c.164]

Если принять, что сваривается кипящая малоуглеродистая сталь с исходными концентрациями [Si]u = 0,03% и (0]и = 0,02%, то из сопоставления величин iTgg, отвечающих различным температурам, и произведения исходных концентращ1Й [0] [Si]u (табл. 32) следует, что при температурах 1800° С и выше первая величина значительно превосходит вторую, т. е. реакция (66) должна протекать в правую сторону. При этом сварочная ванна будет обогащаться кремнием и кислородом одновременно. Если предположить, что концентрация кремния в на1 б,)лее разогретой части жидкой ванны достигла значения [Si] = = 0,3% и кислорода [О] = 0,2%, то реальное произведение концентраций достигнет [0]2[Si] = 1,2-Ю , что примерно отвечает константе равновесия прп температуре 2000° С. Прп дальнейшем спаде температуры сосуществующие концентрации кремния и кислорода окажутся выше равновесных, начнется окисление кремния преимущественно за счет кислорода, растворенного в жидком металле. Однако конечная концентрация кремния в шве будет выше исходной, так как для полного окисления этого элемента нехватает кислорода в металле (относительно большая часть закиси железа переходит в шлак), а вследствие достаточно большой скорости процесса охлаждения и кристаллизации металла равновесие в системе шлак — металл не достигается. [c.97]

В низкотемпературной зоне при сварке под флюсом реакции взаимодействия со шлаком идут в обратную сторону. При температурах, близких к температуре кристаллизации, марганец и кремний играют роль раскислителей и в виде окислов уходят в шлак. Образовавшиеся при высоких температурах концентря-ции кремния, марганца и кислорода в сварочной ванне оказываются выше равновесных. При понижении температуры окисление Мп и Si идет за счет кислорода, растворенного в жидком металле. В результате конечная концентрация кремния и мар ганца в шве будет выше исходной, так как для полного окисления этих элементов нехватает кислорода. Это вызвано тем, что большая часть закиси железа переходит в шлак (при спаде температуры растворимость FeO в металле снижается), а вследствие достаточно большой скорости процесса охлаждения и кристаллизации металла равновесие в системе шлак — металл не достигается. [c.343]

В случае кратковременности сварочного нагрева и по существу минимальной выдержке при Ттах на окончательную структуру и свойства влияет и ветвь нагрева металла. Непродолжительное пребывание металла выше критических температур приводит к тому, что образующиеся новые структурные фазы могут не выравнить свой состав. Поэтому кристаллы этой высокотемпературной фазы (например, аустенит, получившийся при нагреве из ферритоперлитной структуры) к моменту охлаждения могут быть не гомогенизированными, т. е. иметь различную концентрацию элементов в различных участках одного и того же зерна. Это может вызвать различные результаты термического воздействия на конечную структуру и свойства при одинаковых циклах охлаждения, но при различной длительности достижения Гтах и выдержке при этой температуре. В целом быстрый нагрев и малая выдержка приводит к меньшему росту зерна для данной Тщах (см- рнс. УП.З), чем при медленном нагреве и длительной выдержке при Т = Ттах, но при охлаждении с достаточно большими скоростями будет способствовать получению менее равновесной структуры по сравнению с такой же скоростью охлаждения Шохл более гомогенизированного при высоких температурах металла. [c.335]

Одномерное неравновесное течение с гомогенной конденсацией. В общем случае в потоке может происходить одновременно конденсация нескольких компонентов, однако, согласно правилу фаз (6.10), число конденсирующихся компопептов пе должно превышать числа независимых элементов, из которых образованы компоненты смеси. Одновременно с конденсацией могут протекать и химические реакции, при этом целесообразно массовые (или молярные) доли пеконденсирующихся компопептов определять либо из уравнений химической кинетики, если реакции протекают неравновесно, либо из закона действующих масс, если они протекают равновесно. Молярные доли конденсирующихся компонентов следует определять из конечных уравнений материального баланса, число которых, в силу правила фаз, равпо числу конденсирующихся компонентов. [c.323]

III начало термодинамики установлено Вальтером Нернстом (W. F. Nernst, 1906) как обобщение экспериментальных данных по термодинамике гальванических элементов в форме так называемой тепловой теоремы Нернста. Она требует, чтобы всякий термодинамический процесс, протекаюш,ий при фиксированной температуре в, сколь угодно близкой к нулю, в < 0о — О, не сопровождался бы изменением энтропии S (ИНЫМИ словами, изотерма 0 = 0 совпадает с предельной адиабатой 5о). Приведенная нами ранее формулировка Планка является более жесткой (и, конечно, более удобной), она требует, чтобы величина 5q была конечной и 5q = 0. В следующем томе, посвященном равновесной статистической механике, мы покажем, что мягкая формулировка Нернста не является собственно аксиомой, как в макроскопической термодинамике, а может быть получена в микроскопическом подходе по существу автоматически. [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...