Вариационное определение функции напряжений

Вариационное определение функции напряжений. Сохраняя все предпосылки полуобратного метода Сен-Венана, следует считать известными все соотношения задачи кручения, не содержащие варьируемой функции напряжений, в частности принять для перемещений и, v на торцах 2 = 0, z = I выражения, следующие из (3.2.3) [c.412]

Таким образом, вариационная постановка задачи изгиба, базирующаяся на принципе минимума дополнительной работы, сводится к определению подчиненной граничному условию (8.9) функции напряжений Ф (xi, лгг), минимизирующей функционал (8.84). [c.220]

Таким образом, вариационная постановка плоской задачи сводится к определению подчиненной граничным условиям (9.21) функции напряжений Ф (xi, Хг), минимизирующей функционал (9.439), [c.326]

Перейдем к задаче изгиба авиационного профиля — определению из вариационного уравнения (4.6.3) функции напряжений F, обращающейся в нуль на контуре (4.8.1). Переписывая это уравнение в виде [c.444]

Если, как это обычно бывает, действующие на тело внешние силы — массовые и поверхностные — заданы и надо определить напряжения в теле, т. е. тройку вектор-функций 5 , то для этого имеем одно дифференциальное уравнение (1.41) с граничным условием (1.40) или эквивалентное им вариационное уравнение (1.42). Таким образом, уравнения статики дают лишь одно уравнение связи между тремя функциями 5 , т. е. задача определения внутренних напряжений в теле является статически неопределимой. Это и понятно, поскольку до сих пор были совершенно независимо рассмотрены внутренние напряжения и внутренние деформации. На самом же деле в реальных телах внутренние взаимодействия частиц (напряжения) зависят от изменения положения частиц друг относительно друга, например от изменения расстояний между атомами, т. е. между напряжениями и деформациями имеются зависимости, которые налагают на напряжения дополнительные ограничения, поскольку перемещения в среде (континууме) должны быть непрерывными функциями координат. [c.60]

ЧИТЬ приближенное решение задачи, заменяя задачу вариационного исчисления о разыскании максимума или минимума интеграла задачей об определении максимума или минимума некоторой функции Для этого мы берем приближенное выражение функции напряжений в виде ряда [c.135]

Если мы применим вариационное исчисление к определению наименьшего значения потенциальной энергии [ ], мы придем для функции напряжений ср к выражению [26] (см. стр. 36). [c.172]

Вариационная теорема формулируется следующим образом [87]. Определение решения уравнений движения, включающих функции Од (х), которые являются периодическими по отношению к вектору решетки и удовлетворяют условиям непрерывности перемещений и напряжений как внутри элементов, так и по их границам, равносильно отысканию стационарного значения функционала [c.296]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Два последних метода, отличаясь большой точностью, в то же время сложны и не позволяют получить инженерные формулы для расчета усилий необходимо каждый раз суммировать напряжения по отдельным точкам контактной поверхности для определения полного усилия. Вариационный метод также довольно сложен, как можно видеть из приведенного выше примера осадки, но он позволяет получить конечные формулы, хотя и сложные по форме. К недостаткам вариационного метода относят также произвольный выбор подходящих функций и упрощения при математической разработке метода. [c.268]

Выбор подходящих функций является одним из важнейших этапов анализа процессов обработки металлов давлением не только в случае применения вариационных методов этого анализа. Действительно, возможность использования равенств (6-42) для определения по заданным выражениям (6-39) выражений компонентов девиатора напряжений, как и возможность использования равенств (6-43) и (6-44) для нахождения значений заранее неизвестных параметров в выражениях (6-39) и расчета самих напряжений имеет место вне зависимости от вариационных методов решения задач обработки материалов давлением. Что касается так называемых прямых вариационных методов (т. е. использование уравнений [c.187]

Для ЭТОЙ цели указанная сумма (3.30) конечного числа членов подставлялась в определенные интегралы (3.25) и (3.26), выражающие энергии и внутренних и внешних сил. Прежде чем вычислять суммы интегралов, находились их частные производные по неизвестным постоянным С, . .., Затем использовалось вариационное условие 6(1 г+1 ) =0, приводившее к системе п линейных уравнений для определения постоянных Си. .., Сп. Эта система получалась после вычисления интегралов, которые появляются в этих уравнениях (при заданном распределении давления р по пластинке) в качестве коэффициентов этой системы. Можно добавить, что, как показали Ритц, а потом и другие авторы, при надлежащем выборе функций йУ ,(л , у) в представлении (3.30) рассмотренный метод дает очень быструю сходимость и его можно также использовать (после вычисления частных производных второго порядка от ге ) для нахождения действующих в пластинках напряжений изгиба или моментов. В случае пластинки с жестко заделанными краями Ритц и Стодола ) заметили, что вариация части интеграла, определяемого соотношением (3.25), [c.152]

Введенные упрощения позволяют при определении траектории пятна обойтись без решения трудной вариационной задачи, к которой в общем случае приводит применение принципа максимума тюля. С введением понятия эффективного радиуса взаимодействия пятна с магнитным полем задача сводится к исследованию распределения суммарного или действующего поля па окружности радиуса г, описанной вокруг пятна в рассматриваемой точке траектории. Переходя непосредственно к решению этой задачи, расположим прямоугольную систему координатных осей таким. образом, чтобы плоскость ху совпадала с плоскостью катода, а ось г была направлена кверху, в сторону анода. Пусть в районе катода имеется постоянное неоднородное магнитное поле Я с заданными на поверхности в функции координат ху значениями составляющих напряженности, Ну и Я , производные которых всюду непрерывны и имеют конечные значения. Рассмотрим распределение суммарного поля Я на окружности радиуса г, проведенной вокруг пятна, находящегося в произвольной точке О 216 [c.216]

Если для определения минимума (в) использовать вариационное исчисление, то мы придем к уравнению (30) для функции напряжений ф. Вместо этого используем следующую процедуру приблилтенного решения задачи ). Представим функцию напряжений и виде ряда [c.270]

В связи с попытками решения проблемы приведения вариационными методами следует отметить постановку задачи о наилучшем варианте системы дифференциальных уравнений для определения основных напряженных состояний. Обычно структура уравнений задана (например, в случае изгиба пластинки требуется, чтобы разрешаюш,ее уравнение было четвертого порядка), иш ется наилучшее в энергетическом смысле и постоянное по срединной поверхности распределение перемеш,ений и напряжений ло толш ине, выраженных через одну (искомую) функцию от % (Л. Я. Айнола, 1963). Задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений способом последовательных приближений. [c.263]

Кроме того, при определении главных напряжений нормальное напряжение Ог полагается равным нулю. Дифференциальные уравнения и граничные условия получены из вариационного принципа Лагранжа. Для решения задачи на собственные значения применяется метод разделения переменных в сочетании с методом кусочных полиномов, согласно которому искомые функции для произвольного малого интервала вдоль меридиана аппроксимируются полиномами третьей степени с непрерывными функциями и их первыми производными в концах этого интервала. В конечном итоге авторы получают систему 14(Л -М) однородных алгебраических уравнений относительно 14(Л -Ы) неизвестных, где N — число интервалов деления меридиана. Равенство нулю определителя этой системы дает условия для определения собственных частот, а затем и форм колебаний. Описанная вььше методика была применена к исследованию неосесимметричных (т=1 и м = = 2,3,4 п и т — число окружных и продольных полуволн) по- [c.197]

Определение условий прогрессирующего разру-щения сплошного тела (как и родственная проблема предельного равновесия) требует решения неклассической вариационной задачи, включающей дифференциальные уравнения равновесия или совместности, ограничения на величины переменных (напряжений или приращений деформации), входящих в соответствующие уравнения, и подлежащий максимизации или минимизации критерий оптимальности (целевая функция), которым обычно является один из-параметров, определяющих внешние воздействия. Аппарат для строгого решения задач такого типа на основе любой из теорем теории приспособляемости дает математическая теория оптимальных процессов [43]. Решение одномерных задач предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина рассматривалось в работах [10, [c.37]

Для таких общих граничных условий затруднено решение задач при помощи принципов возможных изменений деформированного и возможных изменений напряженного состояния. Уравнения этих принципов не удается выразить первое только в скоростях, а второе — в напряжениях. Правда, из этого правила есть исключение, функционал (3.20) выражается только через скорости, если силы трения заданы по второй формуле (3.6), как известная доля от т,. им исключением определяется тот успех, который имеет применение вариационных принципов в теории обработки металлов давлением. Можно заметить, что во всех решенных вариационными методами задачах теории обработки металлов давлением по определению деформированного состояния, использовано условие трения х = 113X5 ( ф — известная величина). И это не случайно. Если усложнить условие трения, приняв его по первой формуле (3.6) в виде х = р, как вариационный принцип возможных изменений деформированного состояния не позволит определить поле скоростей, так как в (3.20) войдет неизвестная функция р. [c.86]

Применение вариационного уравнения (4.8) встречает определенные технические трудности. Часть этих трудностей связана, например, с тем, что, задаваясь распределением напряжений в виде функций от координат, содержащих свободные параметры, при вычислении интеграла по объему от потенциала Ф мы не можем представить результата в виде явной функции этих параметров. Чтобы обойти эту трудность, И. Г. Терегулов (19ХХ) предложил видоизменение вариационного принципа. Предположим, что Ф = Ф (дг , 5), где — любые структурные параметры, 5 — однородная функция первой степени от ац, упругость предполагается линейной с тензором податливостей Положим дФЮз = V з) и рассмотрим следующий функционал [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...