Коши единичный

Если между моментами времени х ш t материал перемещается как твердое тело, все рассмотренные в этом разделе тензоры, за исключением F и R, совпадают с единичным тензором. При анализе некоторых задач удобно использовать тензоры, которые для случая перемещения как твердого тела сводятся к нулевому тензору. Поэтому в литературе используются дополнительные тензоры (часто называемые тензорами деформации) мы будем рассматривать из этих тензоров только тензор деформации Коши G и тензор деформации Фингера Н [c.96]

Здесь использован (и будет использоваться в дальнейшем) специальный символ <=> для того, чтобы подчеркнуть особый смысл равенства правой и левой частей уравнения. Фактически Уи (т) суть ковариантные компоненты единичного тензора в системе координат величины же ( )j суть ковариантные компоненты тензора Коши в системе координат х Хотя их две матрицы совпадают при любом т, ясно, что речь идет о двух различных тензорах равенство компонент двух тензоров еще не означает равенства тензоров, если компоненты не рассматриваются в одной и той же системе координат. [c.112]

Если разбить тело плоскостями, параллельными координатным, на элементарные параллелепипеды, то у поверхности образуются элементы в форме элементарных тетраэдров (рис. 2.12, а, 6). Наклонная грань тетраэдров с единичной нормалью v соответствует поверхности тела. Обозначим через внешнюю поверхностную распределенную нагрузку. Используя формулу Коши (2.4), запишем [c.60]

Каждое из решений zj(z) j = 1,..., 4), удовлетворяющее этим начальным условиям, есть столбец матрицы K(z), поэтому матрица K(z) при z = О является единичной. Частное решение неоднородного уравнения (4.21) получаем, решая это уравнение при нулевых начальных условиях. Компоненты вектора С(с1, С2, сз, С4) находим из краевых условий (условий закрепления концов стержня). Найти все j из краевых условий при Z = О нельзя. В этом основная особенность задач статики (и динамики) упругих систем. В теоретической механике (в разделе динамика) все начальные условия задают в начальный момент времени (задача Коши). Поэтому эти задачи часто называют одноточечными краевыми, а задачи статики и динамики упругих систем - двухточечными краевыми. [c.197]

Напряжения сг,у, опреде.ляемые как составляющие силы ti, распределенные по плоскости с единичной нормалью щ, удовлетворяют уравнениям движения Коши [c.16]

В случае противотока, когда возмущения по параметрам рабочей среды и температуре газа задаются на разных концах теплообменника, приходится решать линейную краевую задачу. Как известно, для линейных систем решение краевой задачи сводится к решению нескольких задач Коши [Л. 71]. Для противотока решение проводится в два этапа. На первом этапе уравнения интегрируются при единичном возмущении по температуре газа в сечении Х—0. Результаты решения обозначим через где 11 = 1, D2, q, t. [c.107]

Здесь f — вектор массовых сил а — вектор ускорения, определенный в (1.23) t — вектор истинных напряжений Коши, действующий на граничной площадке дш. Вектор t имеет тот же самый смысл, что и вектор t( ) в (1.72), но здесь индекс (п) опущен, так как в (1.111), (1.112) под единичным вектором нормали подразумевается вектор внешней нормали п к поверхности дш. Знаком X обозначена операция векторного произведения. Область ограниченная замкнутой поверхностью дш, — произвольная подобласть области V аксиома локализации). Из уравнения (1.112) следует симметрия тензора напряжений Коши, а следовательно, и тензоров напряжений s, т, т, [c.59]

Здесь Т — вектор условных напряжений Коши, характеризующий элементарную силу, действующую на граничной площадке ди), но отнесенную к элементарной площадке dA G дС1 с единичным вектором внешней нормали N в отсчетной конфигурации (см. (1.72)). [c.61]

Заполнение матрицы фундаментальных решений о можно представить так. На участке (S(d, S(2)) одномерной системы решается задача Коши при Hi = H2 = 0 (1.107) при начальных условиях, когда только j-я компонента вектора состояния в первом сечении [X(d , X(n F равна единице, остальные компоненты— нули. В результате интегрирования (1.107) в сечении s = =5(2) получим определенный вектор состояния. Этот вектор заносится как /-Й столбец в матрицу о). Получив решения всех 2п задач с единичными условиями, полностью заполним матрицу фундаментальных решений. Вектор частного решения получается после интегрирования неоднородного уравнения (1.107) при нулевых начальных условиях. [c.33]

Двойными называют [102] тензоры второго ранга, диады которых составлены из векторов, взятых из разных векторных базисов. Из соотношений (6.45) усматривается, что в них тензоры F, F" , F, F = F рассматриваются как двойные тензоры деформации. Существенно, что эти несимметричные тензоры, рассматриваемые как двойные, имеют симметричные компоненты. Отметим, что одни и те же ковариантные компоненты имеют тензор деформации Коши—Лагранжа (6.46), двойной тензор — градиент движения F (6.45) и единичный (метрический) тензор 1 = G (6.17). [c.90]

Однако при вычислении интеграла типа Коши слагаемые с такими полюсами отфильтровываются , поскольку представляют собой функции, аналитические внутри единичной окружности, и в окончательное решение не попадают. [c.149]

Предположим, что функция ю(х, 0) ограничена и удовлетворяет условию (4.5), где 1 = х, 0 = 0, к=т—1, где Si — единичная сфера в П(х). Тогда при достаточной гладкости функции ю(х, 0) и функции ф(у) на Ге( ) в силу теоремы 4,3 существует в смысле Коши интеграл вида [c.47]

Пусть, например, О представляет собой единичный круг. Предположим сначала, что задача решена и мы нашли гармоническое продолжение и г) заданной на окружности функции (С). Тогда мы можем построить сопряженную с ней гармоническую функцию и (г) и к аналитической в круге функции / = и + (У применить интегральную формулу Коши [c.82]

Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию /(г) по граничным значениям ее действительной части [c.83]

Поскольку на единичной окружности = 1/ и так как (1/z) — = F (z)—функция комплексного переменного аналитическая внутри круга, то по теореме Коши впе круга имеет место равенство [83] [c.18]

Важной гипотезой, служащей для механического описания действия внутренних сил в деформируемом теле,является принцип напряжений Эйлера и Коши В каждом поперечном сечении, мысленно проведенном внутри тела, имеет место взаимодействие сил такого же характера, как и распределенных по поверхности нагрузок. Рассмотрим в этой связи деформированное тело, которое под нагрузкой находится в равновесии (рис. 1.1). Воображаемое сечение делит тело на две части объемами У и Уг. Элемент поверхности ДЛ с центром в точке Р поперечного сечения характеризуется единичным вектором нор- [c.12]

Процесс деформирования, описываемый мерой Коши—Грина, можно характеризовать изменением длин единичных отрезков по главным направлениям до значений V, и последующим пово-0 [c.22]

Поскольку эти равенства должны выполняться для всех единичных векторов п, заключаем, что тензоры напряжений Коши г (ж ) и Т х ) связаны соотношением [c.135]

Предположим, что функции ф — + е ) дважды дифференцируемы в й при всех е, а их первые и вторые частные производные — также порядка о(х е) при каждом хе 2. Если функция реакции дважды дифференцируема в окрестности единичной матрицы, то тензор напряжений Коши [c.153]

Нормальная компонента n-t(x, п) называется нормальным усилием в точке х на поверхностях, единичные нормали к которым в точке X равны п, а касательная компонента t—(n-t)n называется касательным (сдвиговым) усилием на этих поверхностях. Из фундаментальной теоремы Коши (1) видно, что нормальное усилие — это нормальная компонента тензора Т [c.139]

Правая часть этого уравнения представляется в виде суммы двух вкладов вклада от поверхности, представляемого в виде интегральной суммы по dBt от некоторой поверхностной величины ассоциируемой с полем Ф вклада от объема или тела, представляемого в виде интегральной суммы по Bt от массовой величины 0 Ф , также связываемой с Ф. Величина описывает та к называемое контактное действие. Следуя Эйлеру и Коши, будем считать, что тензорное поле 4-, рассчитанное на единицу площади, зависит от локальной геометрии граничной поверхности dBt только в первом порядке Таким образом, это тензорное поле зависит только от направления касательной плоскости в точке x dBt (которая для регулярной границы dBt является непрерывно меняющейся) или, другими словами, только от направления единичной внешней нормали п в точке X е dBt. Следовательно, [c.99]

Вектор напряжения р на произвольно ориентированной площадке с единичной нормалью п (рис. 1) определяется формулами Коши [c.12]

Если функция (О(5), отображающая окружность единичного радиуса на контур Г границы упругого тела, рациональна, ме-тод остается по существу тем же самым и регаение задачи всегда может быть доведено до конца и представлено в замкнутом виде. Выражения, фигурирующие в равенствах (10.5.3) и (10.5.4), при этом всегда могут быть представлены как контурные значения рациональных аналитических функций переменной и интегралы типа Коши вычисляются как интегралы Коши. Метод комплексной переменной применительно к плоским задачам очень хороша представлен в ряде монографий и учебной литературе (Мусхели-швили, Савин, Новожилов, Амен-Заде и др.), поэтому здесь он не будет развиваться более подробно и иллюстрироваться другими примерами. [c.342]

Первые два результата следуют сразу же из интегральной теоремы Коши для единичного круга, когда обозначает точку пне его. Выражение для третьего интеграла следует из теоремы Коши для внешней области или из теоремы о вычетах для внутренней области. Отсюда 1 fio)da [c.226]

При решении большого класса задач удобно использовать фундаментальную систему Коиш Линейно-независимые функции составляющие эту систему, являются линейными комбинациями функций, входящих в (15), и обладают тем свойством, что матрица Коши для этих функций при j = О является единичной [c.194]

Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой системы осей дается формулами (1.3.6). Их можно получить также, исходя из зависимости Коши (1.4.5). Совместим N с единичным вектором тогда k s проекции на старые оси квазивектора — напряжения на площадке с нормалью — по (1.4.6) будут [c.28]

С помощью (1.3.13) и (1.3.15) формулу (1.3.16) можно предсгавигь в виде, в котором х полностью определяется тензором напряжения Т<, и единичной внешней нормалью п. К аналогичному виду с помощью формулы О.Коши (1.3.13) приводится формула (1.3.17). Однако эти виды записи касательного напряжения х здесь не приводятся, так как в следующем пункте будет показано, что для расчета поверхностного касательного нащ)яжения тР достаточно использовать не весь тшзор напряжения Т , а лишь его девиаториую часть. [c.90]

Статические условия в напряжениях на границе Sg с единичной вншшш нормалью п (2.1.169) считаются заданными, если в каждой точке S этой границы известно полное поверхностное напряжение ст", которое по формуле О.Коши (1.3.13) определяет вид тензора натфяжений [c.98]

Принцип напряжения Коши ставит в соответствие в произвольной точке Рсплошной среды каждому единичному в-ктору нормали П1, определяюш,ему ориентацию бесконечно малого элемента поверхности, содержащего точку Р, вектор напряжения 4" (рис. 2.3). [c.71]

Мера Коши в жестком перемещении оказалась единичным 1зором [c.19]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Онн голоморфны как функции ох и при 1т и > 0 и 1т м < о соответственно п имеют одинаковые граничные значения лри 1т и = О, по предположеншо ). Тем самым, по теореме 2-13, они аналитичны во всем единичном диске и продолжают друг друга. Значит, в этом случае (2-100) представляет собой формулу Коши [c.113]

Этот результат является следствием условия изотропности материала. Действительно, если свойства материала, ,одинаковы во всех направлениях , то естественно предположить, что тензор напряжений Коши будет равномерным сжатием (растяжением). Однако тот же самый упругий материал, подвергшийся произвольной деформации, как правило, утрачивает свойство изотропности, поскольку в силу теоремы 3.6-2 нельзя ожидать, что матрица Г°(х, F) будет пропорциональна единичной при любой матрице f еМ+. Таким образом, хотя априори и возможно выбрать в качестве отсчётной любую деформированную конфигурацию, в общем случае нельзя считать материал изотропным относительно произвольной отсчётной конфигурации. Изотропность есть свойство, имеюш,ее место лишь при определённом выборе отсчётной конфигурации. [c.149]

С учетом равенства (7) это означает, trro t(x, )—аддитивная функция в точке Хд. Но любое однородное аддитивное отображение является тензором. Итак, мы показали, что t(x, v) = T(x)v, и если в этом результате ограничиться единичными векторами, то мы и получим фундаментальную теорему Коши (1).Ш [c.139]

Из теоремы разложения Коши следует, что деформация локального элемента среды Р может быть получена чистым растяжением элемента на величину, скажем, 1а, а =1,2,3, вдоль трех подходящих взаимно ортогональных осей Са, а затем поворотом элемейта как твердого тела относительно зтих осей можно выполнить сначала поворот, а затем растяжения вдоль получившихся осей. Коэффициенты %а называются главными коэффициентами растяжения при деформации. Единичные собственные векторы тензоров и и V направлены вдоль главных осей тензора деформации в конфигурациях Ж в. и Ж соответственно действительно, так как [c.85]

Резольвента унитарного оператора голоморфна внутри и вне единичного круга. При этом соответствующее спектральное представление дается интегралом Коши—Стилтьеса по единичной окружности. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...