Теорема Боголюбова

Теорема Боголюбова послужила отправной точкой для многочисленных научных исследований но асимптотической теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, нелинейной механике [20, 23, 30—45]. [c.30]

Более строгое утверждение о соответствии точных и приближенных решений дается теоремой Боголюбова, в силу которой приближенное решение стремится к точному при е - О для любого t из интервала [О, 1/с] (теорема сформулирована для метода осреднения, представляющего собой разновидность метода нормальной формы). [c.200]

Некоторые общие математические формулы, необходимые при выводе вариационной теоремы Боголюбова [c.418]

Вариационная теорема Боголюбова 421 [c.421]

ПРИ ВЫВОДЕ ВАРИАЦИОННОЙ ТЕОРЕМЫ БОГОЛЮБОВА [c.782]

Приведем формулировку теоремы Н. "Н. Боголюбова, относящуюся к первой проблеме. В этой теореме определяется малость ошибки первого приближения. [c.295]

Теорема Н. Н. Боголюбова ) формулируется так [c.296]

Полученные уравнения (5.5) также являются стохастическими. Далее принимаем, что из устойчивости эволюционных уравнений (5.5) следует устойчивость исходного стохастического уравнения (5.1). При этом остаются справедливыми теоремы Н. Н. Боголюбова о близости решений обеих систем на интервале порядка t — с тем лишь отличием, что близость решений понимается здесь в смысле почти наверное [37, 94 ]. Это предположение позволяет, исследуя условия асимптотической Р-устойчивости, устойчивости по вероятности, и Р-ограниченности по моментам решений уравнений (5.5), получить условия соответствующего типа устойчивости для исходной стохастической системы. [c.200]

Идея исследования состоит в применении метода усреднения к стохастическому дифференциальному уравнению (6.2). Полученные при этом эволюционные уравнения также оказываются стохастическими. Далее, в соответствии с асимптотическими методами, изложенными в гл. IV, принимается, что из устойчивости эволюционных уравнений следует устойчивость исходной стохастической системы. При этом остаются справедливыми теоремы Н. Н. Боголюбова о близости решений обеих систем на интервале порядка (/ — 1/Ро). с тем лишь отличием, что близость решений понимается здесь в смысле почти наверное [94, 106, 107]. Это предположение позволяет, исследуя условия асимптотической Р-устойчивости, устойчивости по вероятности и Р-ограниченности по моментам решений эволюционных уравнений, получить условия соответствующего типа устойчивости для исходной стохастической системы. Для исследуемого класса динамических систем (6.2) можно показать, что близость (в асимптотическом приближении) исследуемых процессов в смысле близости по моментам означает и близость выборочных траекторий процессов, например, в среднеквадратичном. Такой подход особенно удобно использовать при исследовании динамической устойчивости параметрических систем по выборочным траекториям в условиях неполной статистической информации или неопределенности о действующих на систему возмущений. [c.233]

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Классическая теорема, устанавливающая е-оценку для нормы llz(i, i)—z t, ц)11, принадлежит Н. Н. Боголюбову [29]. [c.30]

Теорема обоснования замены уравнения (5) линейным уравнением (6) является следствием теоремы 1.2 Н. Н. Боголюбова и качественно выражает следующее если нелинейное уравнение (5) имеет решение вида [c.63]

Объединяя это следствие эргодической теоремы Биркгофа 4.1.2 с теоремой Крылова — Боголюбова 4.1.1, мы получаем положительный ответ на вопрос А из п. 4.1 а р]. [c.147]

Доказательство. Сначала покажем, что для каждой непрерывной функции ф временные средние также сходятся равномерно. Доказательство по существу еще раз повторяет соображения, используемые при доказательстве теоремы Крылова — Боголюбова 4.1.1. Зафиксируем е>0 и найдем такую функцию <р Ф, что тах <р(аг) — ф(х) < е. Тогда [c.151]

Связь между понятиями топологической энтропии и энтропии относительно инвариантной меры более полна и точна, чем для таких пар понятий, как рекуррентность орбит — типичное относительно инвариантной меры возвращение, топологическая транзитивность — эргодичность, минимальность — строгая эргодичность, топологическое перемешивание — перемешивание. Для этих случаев данная связь односторонняя статистическое свойство влечет топологический аналог, но, вообще говоря, не наоборот. В случае энтропий связь между ними описывается вариационным принципом (теорема 4.5.3), который утверждает, что топологическая энтропия непрерывного отображения равна точной верхней грани энтропий этого отображения по всем инвариантным мерам. Таким образом, не только статистическое свойство (скажем, положительность энтропии относительно инвариантной меры) влечет топологический аналог (в этом случае положительность топологической энтропии), но и наоборот, из положительности топологической энтропии следует существование инвариантной меры с положительной энтропией (это свойство представляет собой количественное усиление теоремы Крылова — Боголюбова 4.1.1 для случая отображений с положительной топологической энтропией). [c.170]

Основываясь на теореме Боголюбова и Владимирова [7], Файнберг [8] показал, что такого рода условие сводится к требованию квазилокальности оператора 6А [х д )16(р у). Другими словами, все матричные элементы по системе 1п-состояний должны быть полиномами от соответствующих импульсов. Это ограничение играет весьма важную роль для устранения произвола в КЛЧ. [c.35]

Можно показать, что полученные в предыдущих разделах этого параграфа результаты, основанные частично на полукачест-венных соображениях и оценке максимального слагаемого статистической суммы изинговской системы, являются следствием вариационного подхода к оценке этой суммы. Так как вариационная теорема Боголюбова, лежащая в основе статистического вариационного принципа, имеет общее значение и используется не только в применении к дискретным системам, докажем ее здесь в общем виде (Н. Н. Боголюбов, 1956). [c.689]

Остальные задачи дополнительного раздела главы посвящены дискретным система.м (ячеистая модель жидкости в этом отношении является как бы переходной). Это и задачи на использование регулярных методов (низкие и высокие температуры) или на использование приближения Брегга—Вильямса. В раздел задач вынесено доказательство ряда теорем общего характера, не являющихся специально статистическими, которые используются в основном тексте главы при выводе вариационной теоремы Боголюбова в общем виде (вариант ее вывода приведен в задаче 33). И последний параграф — это использование вариационного принципа применительно к характерным задачам теории дискретных систем при простейшем однопараметровом выборе нулевого гамильтониана. В задаче 28 показано, что полученные таким образом решения, эквивалентные результатам приближения Брегга—Вильямса, при специальном выборе взаимодействия узлов (бесконечно слабое взаимодействие с бесконечным радиусом его действия) являются точными в пределе N 00. [c.716]

Таким образом, учитывая, что А пропорционально ркр —Рг можно заключить, что для частиц с плотностями Рг <С Ркр устойчивыми будут те стационарные решения, для которых os 2 ( —Г) > О, а для частиц с плотностями рг>ркр устойчивыми будут те, для которых os2( —L)<0. Согласно второй теореме Н. Н. Боголюбова (см. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, 1963) это условие обеспечивает существование устой-24 р, [c.369]

Как указывалось, выше, отбрасывание старших членов в этой процедуре небезопасно. Для систем исходного семейства существование инвариантных торов, соответствующих положениям равновесия вспомогательных факторсистем, выводится из теоремы Крылова—Боголюбова (Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Мит- [c.27]

Др. пример неожиданного принудительного про-должения многомерных А, ф, даёт теорема об острие клина (получена Н. Н. Боголюбовым в 1956), играющая важную роль в теории дисперсионных соотношений и аксноматич. киаытовой теории поля. Но этой теореме две ф-ции, аналитические каждая в своей спец. вида трубчатой области и совпадающие на 71-мерном чисто вещественном открытом множестве соприкосновения этих областей (т. е. на множестве вдвое меньшей размерности), аналитически продолжаются в комплексную окрестность G этого множества и представляют собой единую А. ф. Вид области G можно найти с помощью теоремы о С-выпуклой оболочке (получена [c.80]

БОГОЛЮБОВА ТЕОРЁМА — теорема статистич. физики об особенностях типа i/q у Грина функций д-пя бо-зе- и ферми-систем при малых импульсах q. Доказала Н. Н. Боголюбовым в 1961. [c.217]

В перенормируемых моделях можно поэтому при желании совершенно абстрагироваться от затравочных параметров и УФ-расходимостей, рассматриваемых по отдельности, и полностью характеризовать результаты теоретич. расчётов заданием конечного числа физ. значений масс и зарядов. Матем. основу этого утверждения представляет Боголюбова — Парасюка теорема о пере-нормируемости. Из неё следует достаточно простая рецептура получения конечных однозначных выражений для матричных элементов, формализованная в виде т. н. Д-операции Боголюбова. [c.304]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Н. Н- Боголюбовым в нач. 50-х гг. Проблема устранения расходимостей была затем рассмотрена на её основе Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком, Доказанная ими теорема о П. (см. Боголюбова — Парасюка теорема) с полной матем. строгостью исчерпывающе решает задачу получения конечных однозначных выражений для элементов матрицы рассеяния в рамках теории возмущений, без обращения к промежуточной регуляризации, контрчленам и сингулярным соотношениям П. типа (3). Рецептурная часть теории Боголюбова — Парасюка, г. н. Д-операция Боголюбова, уже около трёх десятилетий является практич. основой получения конечных результатов в перенормируемых моделях КТП. [c.564]

П. с. весьма существенны при доказательстве и пра-ктич. применении теорем квантовой статистич. механики — Боголюбова теоремы и Голдетоуна теоремы, отражающих глобальные свойства симметрии системы. Эти теоремы наряду с П. с. используются при рассмотрении гидродинамики простой и сверхтекучей жидкости, сверхпроводимости, жидких кристаллов, спиновых волн в магнетиках и т. п. [c.98]

В простых случаях процедуру перенормировок удобно и наглядно проводить с помощью контрчленов. Однако для коэффициентных ф-ций высших порядков, отвечающих Фейнмана диаграммам сложной топологии, напр. содержащим т. н. перекрывающиеся расходимости, операция вычитания расходимостей требует тёткой и однозначной формулировки. Такая формализация в импульсном представлении была получена в сер. 1950-х гг. Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком в виде теоремы о перенормировках (см. Боголюбова — Тарасюка теорема). Рецептурная часть этой теоремы, взвестная под назв. Я-О. Боголюбова, устанавливает относительно простое правило получения конечного, т. е. не содержащего УФ-расходимостей, выражения для коэффициентной ф-ции Т, соответствующей произвольной диаграмме О (обобщённому узлу) данного порядка теории возмущений. [c.399]

Теория возмущений п-го порядка в смысле Крылова — Боголюбова содержит возмущения любого порядка (не только до п-го), найденные классическими методами теории вог муще1шй. Если вектор-функция Z(z, t, ) является аналитической относительно р S [О, ji ], то в этом случае можно ожидать, что функции Ui, z,t, ) также окажутся аналитическими относительно р е [О, Z [О, где существование величины ц, , гарантируется теоремой Коши о существовании аналитического реншпия. Но нрп этих условиях функции Uk z,t, ) могут быть представлены в воде рядов по степеняй Р, и, подставляя их в формулу для замены переменных (58), можно перестроить полученные разложения в классические разложения теории возмущений по степеням малого параметра ц. [c.32]

Нахождение функций преобразования и, v из уравнений Крылова — Боголюбова (74), (75) в аналитической. форме в общем случае не представляется возможным, однако есть такие интересные для приложений случаи, когда это возможно сделать. О них будет рассказано ниже, а здесь мы приведем формулировку теоремы Волосова [20], устанавливающую е-близость медленных переменных многочастотных уравнений вида (63) и медленных переменных, определяемых усредненными уравнениями первого приближения (65), на асимптотически большом промежутке времени. [c.36]

Ранее было рассмотрено уравнение Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда (стр. 84), решение которого основано на суперпозиционном приближении. Уравнение для бинарной функции распределения, основанное на понятиях условных функций распределения, составляется в принципе проще, но результаты его решения имеют такое же важное значение, как и решение уравнения ББГК. На основании теоремы о полной вероятности имеем простое по структуре уравнение [c.96]

Таким образом, наше представление об энтропии как о мере сложности подтверждается. Если система обладает мерой максимальной энтропии, на которой достигается sup в (2.8), то в силу (3.5) существуют и траектории максимальной сложности, у которых сложность равна топологической эптропии системы (большей она не может быть в силу (3.4)). Описание всех эргоднческих инвариантных мер в рассматриваемой ситуации дает теория Крылова — Боголюбова. Теорема 3.2 проливает дополнительный свет на устройство эр-годических множеств . [c.202]

Теорема 4.1.1 (теорема Крылова — Боголюбова) [ ]. Любое непрерывное преобразование метризуемого компактного пространства обладает инвариантной борелевской вероятностной мерой. [c.145]

Если существует собственное замкнутое /-инвариантное подмножество Л с supp д, то по теореме Крылова — Боголюбова 4.1.1 найдется инвариантная борелевская вероятностная мера и для отображения / . Но тогда supp V с А. Следовательно, фи, и мы пришли к противоречию. [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...