Теорема Крылова — Боголюбова

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Объединяя это следствие эргодической теоремы Биркгофа 4.1.2 с теоремой Крылова — Боголюбова 4.1.1, мы получаем положительный ответ на вопрос А из п. 4.1 а р]. [c.147]

Доказательство. Сначала покажем, что для каждой непрерывной функции ф временные средние также сходятся равномерно. Доказательство по существу еще раз повторяет соображения, используемые при доказательстве теоремы Крылова — Боголюбова 4.1.1. Зафиксируем е>0 и найдем такую функцию <р Ф, что тах <р(аг) — ф(х) < е. Тогда [c.151]

Связь между понятиями топологической энтропии и энтропии относительно инвариантной меры более полна и точна, чем для таких пар понятий, как рекуррентность орбит — типичное относительно инвариантной меры возвращение, топологическая транзитивность — эргодичность, минимальность — строгая эргодичность, топологическое перемешивание — перемешивание. Для этих случаев данная связь односторонняя статистическое свойство влечет топологический аналог, но, вообще говоря, не наоборот. В случае энтропий связь между ними описывается вариационным принципом (теорема 4.5.3), который утверждает, что топологическая энтропия непрерывного отображения равна точной верхней грани энтропий этого отображения по всем инвариантным мерам. Таким образом, не только статистическое свойство (скажем, положительность энтропии относительно инвариантной меры) влечет топологический аналог (в этом случае положительность топологической энтропии), но и наоборот, из положительности топологической энтропии следует существование инвариантной меры с положительной энтропией (это свойство представляет собой количественное усиление теоремы Крылова — Боголюбова 4.1.1 для случая отображений с положительной топологической энтропией). [c.170]

Как указывалось, выше, отбрасывание старших членов в этой процедуре небезопасно. Для систем исходного семейства существование инвариантных торов, соответствующих положениям равновесия вспомогательных факторсистем, выводится из теоремы Крылова—Боголюбова (Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Мит- [c.27]

Теорема 4.1.1 (теорема Крылова — Боголюбова) [ ]. Любое непрерывное преобразование метризуемого компактного пространства обладает инвариантной борелевской вероятностной мерой. [c.145]

Если существует собственное замкнутое /-инвариантное подмножество Л с supp д, то по теореме Крылова — Боголюбова 4.1.1 найдется инвариантная борелевская вероятностная мера и для отображения / . Но тогда supp V с А. Следовательно, фи, и мы пришли к противоречию. [c.153]

Теория возмущений п-го порядка в смысле Крылова — Боголюбова содержит возмущения любого порядка (не только до п-го), найденные классическими методами теории вог муще1шй. Если вектор-функция Z(z, t, ) является аналитической относительно р S [О, ji ], то в этом случае можно ожидать, что функции Ui, z,t, ) также окажутся аналитическими относительно р е [О, Z [О, где существование величины ц, , гарантируется теоремой Коши о существовании аналитического реншпия. Но нрп этих условиях функции Uk z,t, ) могут быть представлены в воде рядов по степеняй Р, и, подставляя их в формулу для замены переменных (58), можно перестроить полученные разложения в классические разложения теории возмущений по степеням малого параметра ц. [c.32]

Нахождение функций преобразования и, v из уравнений Крылова — Боголюбова (74), (75) в аналитической. форме в общем случае не представляется возможным, однако есть такие интересные для приложений случаи, когда это возможно сделать. О них будет рассказано ниже, а здесь мы приведем формулировку теоремы Волосова [20], устанавливающую е-близость медленных переменных многочастотных уравнений вида (63) и медленных переменных, определяемых усредненными уравнениями первого приближения (65), на асимптотически большом промежутке времени. [c.36]

Таким образом, наше представление об энтропии как о мере сложности подтверждается. Если система обладает мерой максимальной энтропии, на которой достигается sup в (2.8), то в силу (3.5) существуют и траектории максимальной сложности, у которых сложность равна топологической эптропии системы (большей она не может быть в силу (3.4)). Описание всех эргоднческих инвариантных мер в рассматриваемой ситуации дает теория Крылова — Боголюбова. Теорема 3.2 проливает дополнительный свет на устройство эр-годических множеств . [c.202]

Основу таких оценок составляет теорема М. А. Красносельского 60, 61] об асимптотической эквивалентности погрешности приближений метода БГ и погрешности приближений рядом Фурье искомого решения. Корни этой идеи восходят к работам Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [64]. Об обосновании метода Бубнова — Галеркина применительно к линейным задачам см. работы М. В. Келдыша [49] и С. Г. Михлина [69]. [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...