Релаксационные методы решения

Следует отметить, что релаксационный метод решения системы разностных уравнений трудно осуществим на современных электронных цифровых вычислительных машинах, так как на них быстрее и дешевле работать с уравнениями в циклическом порядке, нежели искать наибольшие остатки 7]. Поэтому для расчета больших температурных полей (число узлов примерно более 20) целесообразнее использовать итерационные методы решения системы разностных уравнений, например метод Зейделя. [c.92]

Релаксационные методы решения экстремаль ных задач без ограничений (минимизации функции ф(х) на всем пространстве R") предполагают реализацию релаксационных процессов построения последовательностей точек [c.132]

Релаксационные методы решения уравнений Навье — Стокса 57, 64 [c.617]

Надежность применения метода определяется не только фактом принципиальной сходимости к корню, но и тем, каковы затраты времени Т на получение решения с требуемой точностью. Ненадежность итерационных методов проявляется либо при неудачном выборе начального приближения к корню (метод Ньютона), либо при плохой обусловленности задачи (методы релаксационные и простых итераций), либо при повышенных требованиях к точности решения (метод простых итераций), либо при высокой размерности задач (метод Гаусса при неучете разреженности). Поэтому при создании узкоспециализированных программ необходимы предварительный анализ особенностей ММ заданного класса задач (значений п, Ц, допустимых погрешностей) и соответствующий выбор конкретного метода. При создании ППП с широким спектром решаемых задач необходима реализация средств автоматической адаптации метода решения к конкретным условиям. Такая адаптация в современных ППП чаще всего применяется в рамках методов установления или продолжения решения по параметру. [c.235]

Метод решения цепочки уравнений (6.10) для неравновесных функций распределения был развит Боголюбовым на основе существования различных временных масштабов, характеризующих релаксационные процессы в статистических системах. При этом на каждом этапе в процессе приближения системы к равновесию ее состояние определяется различным числом параметров и описывается детерминированным уравнением для соответствующей функции от этих параметров. Действительно, в любом реальном газе существуют три резко разграниченных масштаба времени. [c.100]

Метод решения релаксационных уравнений [c.204]

В настоящее время сохраняется необходимость в дальнейшем совершенствовании методов решения релаксационных уравнений, особенно в случае большого числа компонентов. [c.209]

Решение системы (3.5) производят точным методом Гаусса или релаксационным методом. Таким образом, решение нели- [c.89]

В (Л. 346] разработан метод расчета пограничного слоя на основе решений (2-7) релаксационными методами. [c.116]

Для решения задачи в такой постановке в рамках термодинамики необратимых процессов [2] используем некоторые идеи релаксационного метода, предложенного для жидкостей в работе [3]. [c.132]

Мы можем также сравнить распределение фононов, получаемое из релаксационного метода, с распределением фононов, получаемым из вариационного метода, для случая рассеяния на точечных дефектах. Используя вариационное решение (i ) — (1/<7 ) (q-u) в выражении (4.13) для отклонения от равновесия, имеем [c.47]

В предыдущих параграфах рассматривались методы последовательных приближений для решения уравнений в бесконечной области i > 0. Релаксационные методы [32] применимы к установившимся процессам, заданным в конечной области с известными условиями во всех точках границы. В течение многих лет эти методы [c.464]

В большинстве работ по теплопередаче дается краткое изложение этого метода с точки зрения теории теплопроводности. Подробно он рассмотрен в работе [1]. Хорошее краткое введение в метод дано в [33]. В работе [34] рассматривается решение уравнения Пуассона для трехмерного случая. Совместное использование релаксационных методов и интегральных преобразований излагается в [35]. Применение релаксационных методов к задачам со скрытой теплотой рассмотрено в [36]. [c.465]

Заметим в заключение, что ряд упруго-пластических задач (кручение углового профиля, кручение стержней квадратного и треугольного сечения) решен численными ( релаксационными ) методами. [c.128]

В Л. 243] разработан метод расчета пограничного слоя на основе численных решений уравнения (3-7) релаксационными методами. Функция Р к, а) представлена приближенной формулой [c.308]

Точное решение краевых задач неустановившейся ползучести представляет значительные математические трудности. Рассмотрим приближенные методы решения краевых задач неустановившейся ползучести (основной, релаксационной и смешанной), основанные на принципе минимума дополнительной мощности [13, 781. [c.451]

Метод последовательной верхней релаксации (ПВР) является наиболее распространенным. Метод применяется в случае, когда матрица А симметричная и положительно определенная (это условие обычно выполняется при решении уравнений в частных производных). Итерационная формула релаксационного метода [c.36]

Этот же вариант релаксационным методом 4.46) при дт = д, да = д, = просчитывался за 60—65 итераций. Однако ввиду примерно шестикратной разницы во временной цене одной итерации получаем, что по общим затратам машинного времени метод релаксации почти в 3 раза экономичнее. Что же касается области высоких чисел Рэлея, то уже при Ка =10 алгоритм [43] не дает установления даже при очень малых т. Повышенные стабилизирующие свойства релаксационного метода обеспечиваются более гибкой, чем у схем установления, организацией вычислительного процесса при решении стационарных задач ЕК. [c.141]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

Методы решения релаксационных уравнений......66 [c.3]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РЕЛАКСАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 63 [c.63]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РЕЛАКСАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 65 [c.65]

Все параметры имеют здесь индекс 2, который опущен. Для решения уравнения (2.141) можно использовать любые методы решения нелинейных уравнений, однако нужно учитывать некоторые особенности, связанные с тем, что (2.141) имеет два решения. При т=0 это дозвуковое и сверхзвуковое решения. Таким образом, для выделения нужного решения предпочтительно использовать методы, имеющие двухстороннюю сходимость. Можно отметить также, что в данной постановке удается получить решение задачи о неравновесном течении в релаксационной зоне за ударной волной. [c.92]

Для решения этой задачи в работе [161] применили метод сеток с использованием релаксационного метода решения полученной системы линейных уравнений. Л. А. (Рорфман и др. [35] этот метод обобщили для уравнений, учитывающих переменное температурное поле диска, причем сходимость релаксационного метода была улучшена. Так как решение задачи методом сеток потребует использования ЭЦВМ, остановимся вкратце на математическом алгоритме. [c.227]

Релаксационные методы решения задач математического програм чарования (экстремальных задач с огранишниями) отличаются тем, что при выборе направления спуска учитывается, что оно должно быть возможным в том смысле, что очередная точка Xk+i, вычисляемая в ходе реализации релаксационного процесса, должна принадлежать допустимой области G. Метод проекции градиента [36, 55, с. 204] и метод условного градиента [55, с. 210] применимы для задач минимизации на выпуклых множествах, при этом для задач выпуклого программирования существуют априорные оценки, метод возможных направлений [55, с, 214] хотя и проще реализуется, но не позволяет априорно оценить точность решения. [c.133]

Экономичность метода решения систем АУ определяется также затратами оперативной памяти. При неучете разреженности только на хранение матрицы Якоби нужно п ячеек памяти. Поэтому если для одного слова используется 8 байт, то при п=100 для хранения требуется 80 кбайт, а при п = 500 — уже 2 Мбайт. Итак, подтверждается вывод о необходимости учета разреженности при решении задач с п>п р, где Ппр зависит от характеристик используемой ЭВМ и, как правило, составляет несколько десятков. В задачах анализа распределенных моделей, в которых п может превышать 10 , экономичность метода по затратам машинной памяти становится одной из важнейших характеристик. В таких случаях применяют либо релаксационные методы, либо метод Ньютона с использованием на каждой итерации метода Гаусса, но в рамках рассматриваемого ниже диакоптического подхода. [c.234]

В этой главе рассмотрены некоторые специальные методы, которые используют для решения задач газовой динамики. Эти методы выделены в отдельную главу, поскольку, хотя они и не обладают какой-либо общностью, их успешно применяют для решения задач газовой динамики, приспосабливая к конкретным особенностям течения. Описаны следуюш,ие методы метод прямых (изложены два варианта метод интегральных соотношений Дородницына и метод Теленина), метод крупных частиц, метод решения обратной задачи теории сопла, метод решения релаксационных уравнений, метод конечных элементов и релаксационные методы. [c.180]

Даже в упрощенном виде теоретическая задача устойчивости установившегося обтекания тел конечных размеров не решена. Но представляется несомненным, что установившееся течение устойчиво при достаточно малых числах Рейнольдса. Экспериментальные данные указывают на то, что ламинарное течение устойчиво при достаточно малых числах Рейнольдса. Экспериментальные данные также свидетельствуют о том, что ламинарное течение всегда устойчиво в каналах с круговым поперечным сече нием вплоть до TVr = dUgl i = 2100, где d — диаметр трубы и С/ — средняя скорость. Однако когда приняты специальные меры по уменьшению возмущений на входе, ламинарные течения могут существовать при значительно более высоких числах Рей-нольдса. В случае обтекания потоком тел, помещенных в жидкость, критическое число Рейнольдса намного меньше, особенно для плохо обтекаемых тел, обтекание которых происходит с отрывом потока. При этом критические значения имеют порядок от 10 до 100 так, например [351, при поперечном обтекании цилиндра потоком жидкости незатухающее неустановившееся течение наблюдается при = d /p/ji =34, где d диаметр цилиндра. Критическое число Рейнольдса TVr = 17, при котором начинается отрыв потока при обтекании сферы, было найдено Дженсоном [291 его анализ основан на решении полных уравнений Навье — Стокса релаксационными методами. [c.57]

В обзоре Дженсона [29] рассматриваются численные методы, используемые при исследовании обтекания сфер и круговых цилиндров в промежуточной области чисел Рейнольдса, от медленных до погранслойных течений. Он получил детальное решение задачи обтекания сфер при промежуточных числах Рейнольдса с использованием релаксационных методов. В его методе уравнения Навье — Стокса и неразрывности сводятся к одному нелинейному уравнению в частных производных, в котором функция [c.64]

Помимо этого, используется ряд методов, которые считаются релаксационными однако на самом деле они являются методами последовательных приближений и в них релаксационные методы используются для решения системы уравнений для значений v в любой заданный момент времени. Таким образом, релаксационные методы использовались для решения системы уравнений (3.11) данной главы, что позволило выразить I m, п+1 через v , в методе Кранка — Никольсона ). Важный метод подобного типа был предложен Либманом [41] ), который подставлял в соотношение (3.2) вместо (3.3) равноценное выражение [c.465]

Саусвелл и Аллен рассмотрелй полосу с симметричными полукруглыми и угловыми выточками [29]. Е.И. Теплицкий решил плоскую задачу о давлении жесткого штампа на упругопластическое полупространство [30]. Н.В. Баничук методом локальных вариаций получил решение задачи о штампе, внедряемом в идеально упругопластическое тело [31]. В работах [32, 33] также рассматривалась задача о вдавливании жесткого штампа в идеальную упругопластическую среду. Решение в [32] бьшо получено релаксационным методом, а в [33] применялся метод конечных элементов. В работах [34, 35] были численно решены упругопластические задачи для щели. [c.8]

Стержень треугольного поперечного сечения. На рис. 3.13 кривыми 1-3 изображены упругопластические границы для следующих стадий кручения w = 1,333 wo 2ojo 4ojo. Здесь oo представляет собой угол кручения на единицу длины стержня, соответствующий возникновению пластических деформаций. Материал стержня идеально упругопластический. Решение получено релаксационным методом [9]. На рис. 3.14 приведена зависимость безразмерного крутящего момента М/Мо от безразмерного угла кручения oj/wq. [c.172]

Уэснер Вайнштейн. Применение вычислительного варианта релаксационного метода к решению задачи о штампе для случая плоской деформации. - Теоретические основы инженерных расчетов. Труды амер. об-ва инж.-мех. М. Мир, т. 91, № 4, 1969 (пер. с англ.). [c.247]

Кроме описанных методов известен оригинальный релаксационный метод, предложенный Н. И. Булеевым [3]. Этот метод, основанный на факторизации разностных уравнений 2-го порядка, имеет скорость сходимости, как у метода ПНР. Н. И. Булеев рекомендует свой метод для решения задач в областях, в которых число узловых точек по одной из переменных невелико, что соответствует нашему примеру. [c.14]

В этой главе излагаются методы расчета сверхзвуковых и смешанных течени11 газа в соплах, а также методы решения релаксационных уравнений. Численные методы, включенные в данную главу, с нашей точки зрения достаточно универсальны. Они широко используются при изучении внешних и внутренних задач газовой динамики с помош,ью ЭВМ [2, 8, 37, 56, 82, 136, 147, 149— 152, 154, 169, 220, 230]. Изложение предполагает знакомство читателя с методом сеток. Изложение теоретических основ сеточпых методов содержится, например, в работах [38, 86, 137, 152, 161, 162, 171, 179-181, 225]. [c.61]

Метод факторизации. В последние годы большой интерес проявляется к исследованию трансзвуковых течений газа на основе уравнений для потенциала скорости. Разработаны эффективные методы решения таких уравнений, получившие название релаксационных методов [71, 215, 219, 222, 224]. К ним относятся метод последовательной верхней релаксации (метод ПВРЛ), которому посвящена значительная часть книги [219], и различные варианты метода приближенной факторизации (метод ПФ). В большинстве опубликованных работ релаксационные методы применялись для задач внешней аэродинамики. Они оказались более эффективными, чем обычные методы устаповления. В работах [71, 224] объектом исследований являются сверхзвуковые сопла. В работе [71] делается вывод, что методы ПФ более эффективны, чем методы ПВРЛ. Этой работе мы будем следовать при изложении метода приближенной факторизации. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...