Задача теплопроводности с внутренними источниками

Мембранная аналогия широко применялась для решения задач теплопроводности с внутренними источниками тепла. Основанием для этого являлось то, что это явление описывается уравнением Пуассона. [c.90]

Используя (1.6) совместно с граничным условием (1.7), определяют искомую погрешность при решении задачи теплопроводности с внутренним источником тепла. В рассматриваемой задаче, как это следует из граничного условия (1.7), температура среды равна нулю. [c.24]

В чем состоит принцип отражения источников при решении задач теплопроводности с внутренними источниками тепла [c.131]

Рассмотрим частный случай нашей задачи, когда = 0 при / <к. В системе (13) при таких предположениях первое уравнение обращается в обычное уравнение теплопроводности с внутренним источником тепла У< 2, t). [c.176]

Физические условия определяют числовые значения всех физических параметров тела, входящих в дифференциальные уравнения теплопроводности и граничные условия. При решении задач с внутренними источниками теплоты физические условия характеризуют также знак и распределение величины [c.179]

Рассмотрим две схемы для реализации нелинейных граничных условий (в том числе довольно сложную следящую систему) и покажем, как, используя метод комбинированных схем, можно решать нелинейную задачу стационарной теплопроводности с внутренними распределенными источниками. [c.122]

Переход от системы разнородных тел к однородному телу проводится по методу, изложенному в 2-6 коэффициенты теплопроводности Л ., Ху, вдоль осей х, у, г могут быть вычислены по формулам (2-64) — (2-67). Так как по условию задачи грани параллелепипеда перпендикулярны осям х, у, г, а коэффициенты теплопроводности %у, рассчитываются вдоль этих осей, то температурное поле анизотропного тела с внутренними источниками тепла можно описать следующим дифференциальным уравнением теплопроводности [14] [c.141]

Уравнение (5-47) имеет тот же вид, что и уравнение теплопроводности для нестационарного поля температуры в твердом теле с внутренними источниками тепла, мощность которых изменяется во времени. Если геометрическая форма потока в трубе и геометрическая форма тела одинаковы, законы изменения во времени градиента давления и мощности внутренних источников тепла совпадают, начальные и граничные условия в обеих задачах идентичны, то решение задачи теплопроводности можно одновременно рассматривать и как решение соответствующей задачи о движении жидкости в трубе. Поскольку в теории теплопроводности известны решения ряда подходящих задач (Л. 41], то эти решения непосредственно или после некоторой переработки (например, в случае несоответствия начальных условий) можно использовать и для расчета нестационарных течений в трубах. [c.71]

Изучение задач оптимального быстродействия для нагрева массивных тел оказывается наиболее адекватным практическим требованиям в условиях априорной фиксации заданной точности нагрева в виде допустимой абсолютной погрешности отклонения результирующего температурного поля от задания по всему объему нагреваемого тела [1]. Такой подход оказывается тем более эффективным для важного в приложениях случая нагрева внутренними источниками тепла, отличающегося существенными особенностями и прежде всего отсутствием полной управляемости в противовес задачам поверхностного нагрева [2]. Распространение полученных в [1] результатов на задачи с внутренним тепловыделением позволяет найти вместе с параметрами оптимального процесса его предельные возможности по точности нагрева, что представляет самостоятельный интерес. В настоящей работе приводится методика инженерного расчета характеристик и предельных качественных показателей оптимальных процессов в неоднородных задачах теплопроводности с позиций, предложенных в [1]. Практический аспект работы заключается прежде всего в приложении получаемых результатов к задачам индукционного нагрева металлов. [c.147]

Операционные методы. Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. Решения, получаемые классическими методами, не всегда удобны для практического использования. Часто требуется иметь приближенные решения, которые получить из классических решений трудно. В результате запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены проф. М. Ващенко-Захарченко [7] и независимо от него Хевисайдом [102]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике, благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, что позволил решить многие задачи, считавшиеся до него почти неразрешимыми. [c.51]

Приведены решения одномерных задач теплопроводности для пластины, цилиндра, шара и полого цилиндра с внутренним источником тепла, линейно зависящим от температуры, при граничных условиях первого рода (линейное измерение температуры поверхности тела). Начальное распределение температуры по характеру совпадает с регулярной частью решений соответствующих известных задач теплопроводности без источника тепла. [c.158]

Для стационарной одномерной задачи о теплопроводности цилиндрической стенки без внутренних источников теплоты дифференциальное уравнение энергии (2.15) с учетом (2.16) приводится к виду [c.278]

Многие инженерные задачи нестационарной теплопроводности в реальных телах сложной формы можно свести к нестационарной теплопроводности в телах простейшей геометрической формы. Плоская стенка толщиной 26 неограниченных размеров в направлении осей ОУ и 02, бесконечно длинный цилиндр радиусом Го и шар радиусом го без внутренних источников тепла (рис. 16.1) охлаждаются в среде с постоянной температурой условия отвода теплоты по всей поверхности этих тел одинаковые (а = 1(1ет). Изотермические поверхности в пластине параллельны осевой плоскости, цилиндрические в цилиндре имеют одну и ту же ось с ним, а сферические в шаре имеют общий с ним центр. Это приводит к тому, что производные д%1ду, д% дг, й0/(Эф и (30/(3ф равны нулю. Тогда температура точек тел про-.стейшей геометрической формы зависит только от координаты X или г и времени т. В начальный момент т = 0 температура распределяется равномерно и равна 0о. [c.244]

Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты. Процессы теплопроводности в химических системах осложняются действием экзотермических или эндотермических эффектов, при которых теплота выделяется или поглощается во всем реакционном объеме. К этому классу задач относятся также системы с фазовыми превращениями, а также процессы, связанные с индукционным или диэлектрическим нагревом. [c.140]

Нестационарная теплопроводность с учетом внутренних источников теплоты. Термография. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного температурного поля с учетом равномерно распределенных в теле внутренних источников теплоты постоянной мощности (Вт/м ) может быть записано в общем виде, как и в предыдущих задачах [c.156]

Особый интерес представляют задачи нестационарной теплопроводности для систем, в которых протекают химические процессы. В этом случае мощность внутренних источников теплоты не остается постоянной, а связана с кинетикой самого химического процесса. [c.158]

Впервые попытка учета внутренних источников тепла в процессах (радиационно-кондуктивного теплообмена была предпринята в [Л. 208], где рассматривалась задача переноса тепла излучением и теплопроводностью через слой серой, нерассеивающей среды с равномерным распределением источников по объему. Однако математическая ошибка, допущенная в работе, свела на нет полученные результаты. [c.389]

Рассматриваемая задача встречается в ряде случаев, связанных с экспериментальным изучением теплоотдачи при больших тепловых потоках или с расчетом тепловыделяющих элементов. Задача предполагается стационарной и одноразмерной — температура меняется лишь по толщине пластины и не меняется по поверхности. Внутренние источники тепла равномерно распределены по объему пластины, их удельная мощность Qo является функцией температуры. Коэффициент теплопроводности i также является функцией температуры. Нужно найти распределение температур по толщине пластины, максимальную температуру и координату максимума. [c.64]

Для установления безразмерных величин, специфических для краевой задачи того или иного рода, нет необходимости в наличии завершенного аналитического решения достаточно располагать дифференциальными уравнениями процесса и формулировками конкретных условий единственности. Обратимся в связи с этим к основной цели — к построению тех безразмерных величин, которые отвечают случаю нестационарной теплопроводности при наличии внутренних источников тепла. С этой целью, прежде всего, необходимо привести к безразмерному виду дифференциальное уравнение (1-9), закладываемое в основу анализа. [c.47]

Для математической формулировки задачи в виде дифференциальных уравнений теплопроводности и соответствующих краевых условий [например, в виде выражений (2.36)-(2.41)] определение температурного состояния тела связано с непосредственным решением этих уравнений. Возможности точных аналитических методов в этом случае ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики материала тела или его отдельных частей не зависят от температуры, а граничные условия выражаются линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности. Если в теле действуют внутренние источники теплоты, мощность которых является функцией температуры, то эта функция также должна быть линейной. [c.43]

Удовольствуемся в настоящем параграфе рассмотрением простейшего случая несжимаемой вязкой жидкости с постоянными физическими характеристиками (плотностью, коэффициентами вязкости, теплопроводности, диффузии), что вполне допустимо, если скорости движения значительно меньше скорости звука и малы разности температур и концентраций примесей. Кроме того, будем, как и ранее, пренебрегать диссипацией механической энергии и внутренними источниками возникновения тепла и вещества. В последней главе курса, посвященной динамике и термодинамике газа при больших скоростях, эти ограничения общности постановки задач о тепломассопереносе будут сняты. [c.486]

Индукционные нагревательные устройства с позиций теории оптимального управления относят к объектам с распределенными параметрами. Процесс нагрева заготовок описывается нелинейным уравнением теплопроводности (1.71) при граничных условиях 0-74). В общем случае управляющими воздействиями являются пространственно распределенные внутренние источники теплоты гю х, t), входящие в уравнение (1.71). При заданных электро- и теплофизических свойствах материала заготовки распределение и мощность внутренних источников теплоты определяются многими факторами, в том числе конструктивными параметрами индукционного нагревателя, электрической схемой его включения, напряжением на индукторе при заданном числе его витков, частотой тока. Отсюда видна тесная связь задачи управления индукционными нагревателями с задачей их конструирования и проектирования. Более того, конструирование технического устройства можно рассматривать как определенный этап в решении общей задачи управления технологическим процессом с целью достижения его макси- [c.230]

Рис. 51. Схема узла RNR-сетш для решения нелинейной задачи теплопроводности с внутренними источниками (стоками).

Рассмотренная для двумерного случая локально-одномерная схема естественным образом обобщается и на трехмерные задачи. В этом случае вычисления на каждом шаге по времени проводятся в три этапа путем прогонок в гаправлениях х, у w 2. После прогонок в двух направлениях находятся промежуточные распределения температуры, а после третьей прогонки — окончательное решение на данном шаге. Заметим, что мощность внутренних источников q. при расщеплении уравнения теплопроводности можно относить либо к одному из направлений, как это было сделано выше, либо распределять с некоторыми весовыми коэффициентами между от- [c.122]

Задача ра оаматрмвается в следующей постановке. Ме жду серыми плоскими поверхностями I и 2 с заданными температурами T i и и поглощательными опо-соб ностями щ и Й2 находится серая поглощ эющая и теплопроводная среда с постоянными коэффициентами поглощения а и теплопроводности к (рис. 14-1). Рассеяние в среде и внутренние источники тепла отсутствуют, а толщина слоя равна L. В принятых условиях требуется иайти распределение температур в слое и величину суммарного радиационно-кондуктивного потока тепла через слой. [c.383]

Математически постановка задачи является общей для этих процессов. Конкретности ради рассмотрим задачу по определению температурного поля при горении твердого вещества. При этом в целях простоты отдельные зоны рассматривать не будем. Приводимая ниже формулировка задачи о теплопроводности в теле с подвижными границами отличается, например, от формулировки задачи Стефана [Л. 50] в силу некоторых специфических условий, связанных с решением предлагаемой системы уравнений на электрических моделях. При этом мощности внутренних источников теплоты q-v и поверхностних источнйкдв jj считаются заданными Щ [c.86]

Рассмотрены способы упрощенного определения нестационарных температурных полей при импульсном лучистом нагреве переход от модели неограниченной пластины к модели полуогра-ниченного тела, от внутреннего источника тепла к тепловому потоку на облучаемой поверхности, а также пренебрежение теплопроводностью и переход к определению температур непосредственно по параметрам источника тепла. Проанализированы погрешности решений задач теплопроводности при различных способах упрощения и предложен экспресс-метод выбора способа упрощения с помощью оригинальных диграмм. [c.7]

Для расчетов температурного поля и оценок погрешностей изыеренин температур и плотностей тепловых потоков на облучаемой поверхности термоэлектрического калориметра необходимо решение одномерной (по х. ) линейной краевой задачи теплопроводности для неограниченной пластины (контактного слоя), находящейся в идеальном тепловой контакте (граничные условия четвертого рода) с полуограниченньш телом (телом калориметра). Для времен 10 сек и непропускающего излучение контактного слоя поглощение можно считать поверхностным, чему соответствуют граничные условия второго рода на облучаемой поверхности. Для времен 10 сек следует учитывать закон поглощения излучения и пользоваться внутренним источником тепла в контактном сдое (см. 5.3). Если же контактный слой пропускает излучение, то задача теплопроводности должна решаться с учетом источников тепла в контактном слое и в теле калориметра. Однако, по данным [Юз,lto], подобные слои очень ТОНКИ и обладают значительным электрическим сопротивлением (порядка сотен ом), что делает их пригодными, главным образом, в качестве термометров сопротивления. [c.686]

В настоящей главе выводятся дифференциальные уравнения с коэффициентами типа импульсных функций (асимметрическая единичная функция, дельтафункция Дирака и ее производная) теплопроводности многоступенчатых изотропных тонких пластин и цилиндрических стержней с учетом теплоотдачи и внутренних источников тепла, квазистатической задачи термоупругости осесимметрически деформируемой круглой многоступенчатой пластины. На основе выведенных уравнений для круглых пластин кусочно-постоянной толщины, нагреваемых внутренними источниками тепла или внешней средой, находятся единые для всей области определения замкнутые решения статических и квазистатических задач термоупругости. [c.313]

Используя вывод для задачи 2.7, рещите следующую задачу об одномерной стационарной теплопроводности в полом цилиндре с постоянными к и S. Внутренняя и вненшяя поверхности поддерживаются при постоянных температурах Г, и Гц. Отношение радиусов = 4. Источник задан выражением [c.63]

Решите задачу о течении в канале (рис. 10.12). Внешний и внутрен1шй диаметры канала равны d п D соответственно, причем Did = 2. Внутренний цилиндр диаметром d сделан из сплошного материала, в зазоре текут две различные жидкости. В нижней половине динамическая вязкость жидкости равна i,, а в верхней — iij, причем 12/Д = 2,5. Обе жидкости имеют одну и ту же плотность р. Рассчитайте безразмерное поле скорости W w и значение yRe (для определения числа Re используйте ц,). Процессы теплообмена характеризуются выделе1шем тепла источником мощностью S в верхней половине внутреннего цилиндра и тепловым потоком 0,255 а через дугу длиной 60° на внешней границе. Остальная часть поверхности внешнего цилиндра теплоизолирована. Нижняя половина внутреннего цилиндра сделана из теплонепроводящего материала. И обе жидкости, и тепловыделяющий материал имеют одинаковые значения теплопроводности к и теплоемкости Рассчитайте безразмерное поле температуры и число Nu = h(D - d)/k, где коэффициент И определен по средней температу ре стенок с [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...