Интегралы Интегрирование по параметру

Интегрирование по параметру несобственных интегралов [c.171]

Рассмотренные нами гауссовские интегралы по гауссовской мере Винера в конечномерном представлении сводятся к п-мер-ному гауссовскому интегралу и расчету соответствующего определителя. Более сложные функционалы / [х(т)] формально интегрируются с помощью разложения в функциональный ряд Тейлора. Соответствующие моменты функционального распределения Гаусса аналогично конечномерному случаю вычисляются с помощью функционального дифференцирования гауссовского интеграла Винера по параметру . Как и при обычном интегрировании, здесь могут быть введены кратные функциональные интегралы, используются функциональные замены переменных, интегрирование по частям и другие приемы. [c.231]

Таким образом, установлены следующие фундаментальные особенности интеграла Лапласа (изображения по Лапласу). Интеграл сходится в полуплоскости Re /7 > Sq, где Sq — показатель роста оригинала, и равномерно сходится в полуплоскости s Si > > So, где Sj — произвольное сколь угодно близкое к о число (но не равное ему). Равномерная сходимость интеграла Лапласа и непрерывность по параметру р подынтегрального выражения / (/) обеспечивают непрерывность интеграла (изображения) в полуплоскости Re /7 > о и делают возможным при интегрировании изображения F (р) изменять порядок интегрирования в получаемом двукратном интеграле. Наконец, интеграл Лапласа (изображение F (р)) есть функция аналитическая при Re р > Sq, допустимо дифференцирование под знаком интеграла при Re р > о и при Re /7 -> + оо интеграл Лапласа исчезает (см. (6.37) ). [c.202]

Можно убедиться, что этот интеграл вида (8.105). В качестве большого положительного параметра X, содержащегося в интеграле (8.105), примем в интеграле Ф (оо) число Прандтля Рг. Для определенности положим Рг = 1, это значение параметра оказывается достаточно большим, чтобы можно было применить к Ф (оо) асимптотическое интегрирование по Лапласу. Наибольший вклад в него дает подынтегральная функция при малых значениях Т1, так как с ростом т] подынтегральное выражение в Ф (оо) достаточно быстро стремится к нулю. Проинтегрировав (8.114), величину Ф (оо) можно представить в виде [c.305]

Представим интеграл по поверхности F в виде суммы трех интегралов по поверхностям f , F2 и F3, составляющим поверхность F. В силу одномерности течения интегрирование по боковой поверхности дает в результате нуль, а при интегрировании по поперечным сечениям параметры могут быть вынесены за знак интеграла, ибо [c.108]

Здесь Е и Цп — упругие параметры для данного конечного элемента j, 2,о обозначены определенные интегралы (интегрирование ведется по обт -ему элемента) [c.237]

Естественными пределами интегрирования по импульсам служат сх5 эти пределы не зависят от объема ящика, в который помещена система. Если р, и /, — достаточно регулярные функции импульса, то эти интегралы сходятся и равны конечным числам для любых заданных N к Т. С другой стороны, функции представляющие динамические функции замкнутой конечной s-частичной системы (s. 5), не могут зависеть ни от iV, ни от Т. Следовательно, зависимость от этих параметров может возникать только за счет частичных функций распределения /, ( i. . . г/ ). [c.90]

Для дальнейшего решающим является присутствие в фазе подынтегрального выражения (16.35) большого параметра kr. Так как kr 1, то подынтегральное выражение быстро меняет знак вдоль пути интегрирования, т. е. его фаза меняется на jt при малом изменении К Это приводит к почти полной компенсации значений интеграла в близких участках интегрирования. Весь интеграл (16.35) при kr " > 1 мал. Можно было бы попытаться получить старший член разложения этого интеграла по /kr интегрированием по частям. При этом мы нашли бы, что весь интеграл убывает не медленнее, чем l/kr. Однако при этом под интегралом возник бы знаменатель ij) = dy /dh. Очевидно, что если где-либо на контуре интегрирования этот знаменатель обращается в ноль, то интегрирование по частям недопустимо. При интегрировании в окрестностях этих точек происходит [c.166]

Сравним теперь объем вычислений, необходимых для решения этой же задачи методам последовательных приближений. При (0 = 10 (рад/сек)2 параметр гибкости [1] примерно равен 5. Для расчета обычно используется приближенный оператор ( лопатка постоянного винтового шага ). В каждом приближении необходимо вычислять 10 интегралов. Считая, что для такого параметра гибкости частота первой формы может быть определена после двух приближений, а второй формы — после трех (этот объем, по-видимому, минимален), получаем, что объем таблицы составит примерно 150- 200 столбцов (с использованием интегрирования по правилу парабол). При этом еще остается неясным, какого порядка погрешность внесена заменой оператора. Для расчета частот более высоких форм колебаний различие в объеме вычислений будет еще резче. [c.306]

Н входит и в подынтегральное выражение, и в пределы интегрирования, поэтому нужно использовать соответствующую формулу дифференцирования интегралов по параметру. [c.278]

Мы разбили здесь полную область интегрирования на подобласти, на которых запаздывающая функция Грина постоянна, и использовали свойство периодичности и по х. Будем решать это уравнение итерациями, рассматривая % как параметр малости. В первом приближении вместо и подставляем в правую часть ф. После этого область интегрирования по г можно разбить на отрезки длины L и, используя формулы перемножения из УП. 2, свести все интегралы к интегралу по стандартному промежутку (г-, г- — Ь). Элементарное суммирование возникающих рядов приводит окончательно к формуле [c.251]

При выводе (60,13) существенно использована также возможность переставить в интеграле столкновений начальное и конечное состояния, после чего становится очевидным сокращение линейных по Ag членов кроме того, это позволяет производить интегрирование по всему -пространству. В 41 такое преобразование было сделано в силу симметрии по отношению к обращению времени, связывающей вероятности прямого и обратного столкновений. При наличии магнитного поля такая симметрия имеет место только при условии изменения направления поля В иа обратное, так что она связывает вероятности столкновения по существу в различных полях. Однако, мы увидим ниже, что в данном случае симметрия относительно обращения времени восстанавливается интегрированием по прицельным параметрам. [c.313]

Рассмотрим область, которая получается исключением из 0° полусферы 5 малого радиуса е с центром в начале координат. Применяя в этой области к функциям / и/ формулу Грина, сведем интегрирование по 5, в выражении для к интегрированию по 8 . Переходя в последнем интеграле к сферическим координатам и раскладывая подынтегральную функцию в степенной ряд по малому параметру е, при е О, окончательно получим [c.117]

При наличии данных о параметрах потока по поверхностям Ot и интегралы в выражении (3) могут быть вычислены. При анализе переходных режимов методически удобно разделить полный интеграл, определяющий перенос величины СцГ, на части, введя промежуточные пределы интегрирования, которые соответствуют радиусу R np разграничивающему поток протекания и кольцевой вихрь, и радиусу расположения центра кольцевого вихря. [c.273]

Если известны параметры потока в сечениях перед рабочим колесом и за ним (по поверхностям Tj и аа), а также распределение давлений по поверхности втулки, можно вычислить интегралы, входящие в выражение (8) для осевой силы, приложенной к рабочему колесу. Переходя к промежуточным пределам интегрирования, получим [c.277]

В этой главе рассмотрены параметры разрушения трещины, которые определяют как квазистатический, так и динамический рост трещины, находящейся в упругом или упругопластическом материале. Для двумерных задач, например, эти параметры определяются с помощью интегралов, контур интегрирования которых представляет собой окружность Ге с радиусом е, где Е — бесконечно малая величина. Подынтегральное выражение, включающее в себя описания полей напряжений, деформаций и перемещений, в общем случае представляет собой функцию 1/е, где е — расстояние от вершины трещины в результате интеграл, взятый по контуру интегрирования Ге, оказывается конечной величиной. Этот интегральный параметр стремятся представить, пользуясь теоремой о дивергенции, суммой интеграла по дальнему контуру с интегралом по конечной области. Подобное альтернативное представление оказывается удобным для численного исследования задач механики разрушения. В некоторых частных случаях упомянутый выше интеграл по конечной области исчезает, в результате чего появляется возможность выразить интегральный параметр разрушения только через интеграл [c.129]

При использовании подвижного (несингулярного) изопараметрического элемента коэффициенты интенсивности напряжений рассчитывают, пользуясь косвенными подходами. Наиболее точная оценка может быть получена при использовании интегралов, не зависящих от пути интегрирования, которые берут по дальнему контуру, о чем будет идти речь ниже. Подобные упрощенные методы могут обеспечить приемлемые оценки таких параметров, как коэффициенты интенсивности напряжений, однако описанные выше более тонкие подходы, в частности метод, использующий подвижный сингулярный элемент, по-прежнему являются незаменимым инструментом исследования таких явлений, связанных с разрушением, как ветвление трещины и т. п. [c.289]

Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1). [c.478]

В интеграле (8.1) дифференциал (1з не является полным (в механике СТО время не считается независимым, поскольку связано с пространственными координатами), поэтому при варьировании траектории (по 5) пределы интегрирования Р1 и Р2 будут меняться. Лля устранения этого недостатка вводят независимый параметр Л такой, чтобы его значения Л1 = А(Р1) и Л2 = КР2) были фиксированными. Имеем тогда [c.239]

Область V ограничена поверхностью 5. Внутри 5 и и V непрерывны и содержится точка Гь В конкретных задачах 5 должно содержать поверхность металлических тел и внешнюю поверхность, которую в некоторых случаях мы будем устремлять в бесконечность. Эта формула — основная в дальнейших построениях параграфа. В обоих интегралах справа Г1 является параметром, который входит в О дифференцирование и интегрирование производят по г. Применение функции Грина обычно приводит к представлению решения в виде интеграла, зависящего от параметра. [c.107]

В ней л играет лишь роль параметра внутреннее интегрирование выполняется по переменной а, а внешнее — по X. Раскрывая выражение косинуса, напишем (6.120) в следующем виде (пределы. интегралов по-прежнему опускаем) [c.182]

Поскольку в интеграле, входящем в равенство (11.35), интегрирование проводится по координате, в этот интеграл входит еще и параметр ам, так что мы можем записать [c.71]

Как видим, интеграл Лапласа при s > Sq мажорируется сходящимся интегралом, зависящим от параметра р (неравенство (6.33), где S Re р), а при s > Sq — мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от параметра р (неравенством (6.34) ). Следовательно, интеграл Лапласа не только сходится при s > Sq (что было установлено ранее), но и равномерно сходится при s Sj > Sq. Последнее обстоятельство чрезвычайно важно, так как равномерно сходящийся несобственный интеграл от непрерывной функции параметра, во-первых, представляет непрерывную функцию этого параметра и, во-вторых, в таком интеграле при интегрировании по параметру допустимо изменение порядка интегрирования. Оба эти факта легко обосновываются или непосредственно или отделением в интеграле действительной и мнимой частей, для которых в силу их равномерной сходимости упомянутые факты справедливы [13]. [c.201]

Если моменты функций определять по конечным промежуткам интегрирования, то ни проблемы сходимости интегралов, ни проблемы хвостов не возникает. Наиболее целесообразно при этом выбирать в качестве промежутка интегрирования отрезок [О, 1] в безразмерном времени. Однако при интегрировании по конечному интервалу определить явный вид зависимости моментов кривой отклика от параметров математической модели мон<но, зная аналитическое выражение функции отклика v (t). Получить такие выражения довольно сложно, поэтому наибольшее распрост- [c.275]

Таким образом, определение собственных чисел и собственных функшш задачи (5.1.3) для областей D е М состоит в определении и для канонической о сти и интегрировании задачи Коши (5.1.7), для которой П/ и W/ являются начальными условиями. Правые части уравнений продолжения (5.1.7) для каждого значения параметра являются решением задачи (5.1.8). Поскольку в п цессе продолжения по параметру для каждого значения X известны юбственные функции к, (Х) и собственные значения (2 (Х), то решение задачи (5.1.5) сводится к вьпш-слениям интегралов в соотношениях (5.1.12)-(5.1.14) и суммированию [c.150]

Пусть известны течение на предыдущем слое (параметры с нижними нолуцелыми индексами), ординаты и г верхней и нижней границ потока для следующего слоя и шаг /г . Запишем систему (1.6) для каждого элементарного отрезка, взяв в качестве г и ординаты двух соседних точек разбиения. Разностная схема, при помощи которой находятся параметры с верхними нолуцелыми индексами, получается интегрированием по х от хо до хо- -Нх системы (1.6) и последующим применением теоремы о среднем при вычислении интегралов по граням и площади четырехугольника, который в плоскости ж, г образуют соответствующие вертикальные и продольные элементарные отрезки (рис. 1). В итоге получим [c.144]

Уравнение (10.55) является универсальным для каждой из представленных на рис. 10.29 балок, так как с его помощью можно, не прибегая к интегрированию дифференциального уравнения, записать изогнутую ось балки на каждом ее участке. Следует отметить, что частные интегралы, вычисленные по методу начальных параметров, автоматически удовлетворяют условиям сопряжения смежных участков балки. В этом смысле метод начальных параметров оказывается созвучен с методом Клебща, но в отличие от него обладает большей простотой и универсальностью. [c.298]

Исследуем теперь подробнее смешения и поля, создаваемые акустическим источником [формулы (7.4) и (7.5)]. Обсудим интегрирование по переменной к. Интегралы по к, рассматриваемые как функции параметра р, регулярны всюду в правой полуплоскости комплексного переменного р. Удобно поэтому преобразовать интегралы, считая сначала р вещественным и полонгитель-ным числом. Рассмотрим сначала интеграл, входящий в Еу. [c.219]

Результаты предварительного расчета без учета кривизны линий тока примем в качестве нулевого приближения. По данным этого приближения можно найти радиусы осесимметричных поверхностей тока, вычислив расход Gi в сечении 1—1, характеризуемый интегралом в левой части уравнения (XI.47), и разделив его на N частей. Эта операция выполняется за счет подбора верхнего предела интегрирования Га и при использовании ЭВМ затруднений не встречает. Далее по формуле (XI.32) определим iu на поверхностях тока и по уравнению (XI.55), с помощью метода последовательных приближений — величину с г, а значит, и новое значение угла 1. Таким образом вычисляются параметры в сечении /—1 в первом приближении. Итерационный процесс осуществляется до достижения необходимой точности. Полученное распределение параметров в сечении 1—1 потребуется в конце расчета уточнить еще раз, так как определяющая (при заданных %ис и присг с = 0) расход безразмерная скорость Яс, — функция параметра (и/с1 )с> вычисляемого после расчета сечения 2—2. [c.199]

Итак, соотношение (2.41) определяет G с помощью интеграла, не зависящего от пути интегрирования (в этом уравнении отсутствует интеграл по области). Этот результат получил Гур-тин [8]. Заметим, что — квазнстатическое значение удельной высвобожденной энергии J (т. е. в этом случае инерционностью материала пренебрегаем). Таким образом, G представляет математически удобный интеграл в случаях (1) изотропной однородной линейной упругости, (2) когда и Я не зависят от температуры и (3) когда температура удовлетворяет зависимости 0 а —О, причем физический смысл этой величины в некоторой степени остается неясным. Здесь следует отметить, что ситуация, когда имеющий физический смысл параметр разрушения может быть равноценно представлен одним лишь интегралом по дальнему контуру (т. е. без учета интеграла по области), на практике случается достаточно редко. [c.139]

Простейшее приближение теории возмущений для газа частиц со слабым взаимодействием в случае сил с малым радиусом действия позволяет получить парную корреляционную функцию, приводящую, как это впервые показал Боголюбов [4], к интегралу столкновений Ландау [9]. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим решение уравнения (48.5). Заметим, что переход от уравнения (48.3) к уравнению (48.5) делает его неточным для больших расстояний между парой частиц в случае их взаимодействия по закону Кулона. В то же время пренебрежение последним слагаемым левой части уравнения (47.9) делает уравнение (48.5) неточным для малых расстояний между парой частиц, коррреляция которых описывается функцией если их взаимодействие на малых расстояниях не является малым. Однако именно такой случай и соответствует интегралу столкновений Ландау, в котором приходится проводить обрезание интегрирования как со стороны больших, так и со стороны малых прицельных параметров. [c.194]

Коэффициенты 74 и соответствуют статистическим весам состояний 2 и 2. Параметры потенциальной кривой для синглетного состояния определяются достаточно точно из спектроскопических данных. Для описания потенциальной кривой 2 состояния в работе [7] использовался потенциал Ридберга с последующей аппроксимацией потенциалом 6-ехр Букингема, а в работе [8] интегралы находились непосредственно численным интегрированием потенциальных кривых. Так как экспериментальные спектроскопические данные охватывают лишь небольшую область энергий, то недостающая часть кривой находилась по подобию потенциальных кривых щелочных металлов и потенциальной кривой для водорода, вычисленной теоретически, на основании метода, предложенного в работе [10]. [c.366]

В [224, 227] рассматривается деформация бесконечного клина, вершина которого срезана по дуге окружности. В [224] эта задача рассмотрена, когда на границе клина заданы контактные условия, в [227] — смешанные условия. Точное решение задач составлено из рядов по тригонометрическим функциям угла 6 и из интегралов типа Фурье по функциям osln(r/a), sin In (г/а) (p — параметр интегрирования). [c.147]

При попытках решения задачи о полном статистическом описании турбулентности при помощи определения характеристического функционала поля скорости из уравнения Хопфа мы сталкиваемся с той трудностью, что сколько-нибудь общего математического аппарата для решения линейных уравнений в вариационных производных еще не создано (и даже отсутствуют точные теоремы об условиях существования и единственности решений таких уравнений). Методы решения некоторых специальных типов линейных уравнений в вариационных производных, развитые, в частности. Татарским (1961) и Новиковым (1961г), для решения уравнения Хопфа оказываются недостаточными. Об единственном общем подходе к теории интегрирования уравнений в вариационных производных, связанном с использованием так называемых континуальных интегралов, мы еще будем говорить позже (в п. 29.5) пока, однако, мы рассмотрим некоторые более простые приближенные методы, аналогичные методам решения дифференциальных уравнений с помощью рядов по степеням независимых переменных или входящих б уравнения параметров. [c.641]

Выражение (2.4.13) громоздко и неэффективно для численных расчетов. Более эффективным является асимптотическое разложение функции ф( ) по безразмерному параметру а Гс /к, который считается малым. Тогда полные эллиптические интегралы могут быть вычислень путем разложения подынтегральной функции в ряд по а и почленного интегрирования этого ряда. [c.32]

Подставим ряд (11.6) в (11.5) и поменяем порядок суммирования и интегрирования Все члены с нечетньсми степенями х при интсфировании дадут нуль. Для интегралов с четными степенями воспользуемся формулой (11.8). В результате получаем для / ряд по обратным степеням большого параметра р [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...