Интегралы Винера

Концепция усреднения по траекториям была впервые введена в математическую физику Норбертом Винером [3] в его теории броуновского движения. Поскольку интегралы Винера играют важную роль и в статистической механике, мы начнем наши лекции с нескольких замечаний относительно теории броуновского движения и интеграла Винера. [c.234]

Этот интеграл в функциональном пространстве называется интегралом Винера [3] от функционала / г(0 . [c.238]

Не зная интегралов Винера, Фейнман [12] независимо развил чрезвычайно сходный предельный процесс, который можно использовать в качестве основы для формулировки квантовой механики. [c.243]

Алгоритмы для вычисления интегралов Фейнмана в сущности совпадают с теми, которые применялись при вычислении интегралов Винера и наоборот. Только некоторые из интегралов Винера и Фейнмана могут быть вычислены в замкнутой форме, причем важным классом таких интегралов являются экспоненциальные функции от интегралов от сумм линейных и квадратичных функций траекторий [4. 5, 14—16]. Поэтому в дальнейшем мы часто будем использовать алгоритм, связанный с вычислением итерационного решения [13] интегральных уравнений (3.9) и (4.4). Итерационное решение уравнения (4.4) [c.244]

Введенную, таким образом, вероятность для множества непрерывных траекторий х х) называют мерой Винера. Устремим ширину ворот Ь,—й1 к нулю (при этом интегралы исчезнут), а их число п — к бесконечности. Тогда, обозначив Ьг—а,—и (/п= = dx, получим из (5.147) символическую формулу для меры Винера ё-пгх х) [c.92]

Важно отметить, что существует соответствие между винеров-скими интегралами (5.150) и дифференциальными уравнениями в частных производных. Так, исходному интегралу от / =1 соответствует уравнение диффузии, которому подчиняется условная плотность вероятности. Другому интегралу [c.95]

В 25 было показано, что функциональные интегралы по мере Винера dwx x) от л-точечного функционала Р сводятся к обычному л-кратному интегралу [c.227]

Рассмотренные нами гауссовские интегралы по гауссовской мере Винера в конечномерном представлении сводятся к п-мер-ному гауссовскому интегралу и расчету соответствующего определителя. Более сложные функционалы / [х(т)] формально интегрируются с помощью разложения в функциональный ряд Тейлора. Соответствующие моменты функционального распределения Гаусса аналогично конечномерному случаю вычисляются с помощью функционального дифференцирования гауссовского интеграла Винера по параметру . Как и при обычном интегрировании, здесь могут быть введены кратные функциональные интегралы, используются функциональные замены переменных, интегрирование по частям и другие приемы. [c.231]

При решении поставленной задачи методом Винера-Хопфа было показано, что при f < f / в вершину трещины еще не успевают прийти волны напряжений и позтому (г) = 0. В промежутке времени l I < t < С2 I зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени была построена в результате численного интегрирования, а при t > С2 I входящие в решение интегралы удалось вычислить в замкнутом виде, и окончательный результат при этом был равен [c.41]

Соотношения (3.41) и (3.42) называются формулами Винера—Хинчина. Соотношения (3.35) и (3.37) являются частными случаями формул (3.41) — (3.42), когда мнимые части интегралов равны нулю, что имеет место в том случае, если функции S (a) и АГ (т) — четные. [c.107]

При построении системы КОР используется метод Винера-Хопфа. Первоначально полученные замкнутые решения выражаются тройными интегралами, и при их реализации возникают различные вычислительные проблемы, связанные с медленной сходимостью обращений преобразования Лапласа. Спектральный анализ соответствующих характеристических функций позволил преодолеть эти трудности и построить эффективное решение, в котором все ряды и интегралы имеют экспоненциальную сходимость. Для сингулярных точек области получены асимптотические представления решений и явные формулы для коэффициентов интенсивности. Получены простые формулы для временных осадок штампа на прямоугольнике. Выполнены численные проверки сходимости, приводятся численные результаты по исследованию изменения коэффициента интенсивности напряжений в процессе консолидации. [c.574]

Винеровские интегралы гауссовского типа, в которых функционал / [хСт)], как и в самой гауссовской мере Винера (5.149), является экспонентой от квадратичного функционала от х(т) (например, [c.95]

Однако эта функция не приводится к суперпозиции экспонент, и поэтому теория, изложенная в главе 3, приложима к рассматриваемому случаю не полностью. Выполняются равенство Гоо (т", ri) = Фоо( г Ti ) и соотношения Соболева, выражающие резольвенты уравнений для полубесконечной и конечной сред через резольвентные функции. Можно ввести преобразования Лапласа от резольвенты и резольвентной функции, в частности Н-функцию. Остаются справедливыми выражения для двустороннего преобразования Лапласа от Фс ) и соотношение Винера—Хопфа, а также уравнения, содержащие производные по толщине слоя го- Однако преобразование Лапласа от ядерной функции не является интегралом типа Коши. Явное выражение для ii-функции можно записать в том же виде, что и для неподвижной среды, но обратить преобразования Лапласа от резольвентных функций и представить их в виде, удобном для вычисления и исследования, в общем случае не удается. Поэтому асимптотическую теорию для рассеяния в дви-жухщосся средах нельзя построить так, как это было сделано для сред без учета их движения. [c.246]

Для удобства мы выбрали временные интервалы одинаковыми, как и в случае интегралов Римана и Лебега, для широкого са функционалов величина интеграла не зависит от способа 5иения полной области интегрирования, если только при п- -оо цый подынтервал стремится к нулю, а число подынтервалов гановится бесконечным. В дальнейшем нижний предел интегри-Грования с означает, что интеграл берется по классу с, т. е. непре- рывных функций, которые связывают точки (Гд, и (г, t ). Элемент объема d r означает меру Винера для функции r(t). [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...