Движение тела под действием центральной силы

Движение тела под действием центральной силы 383 [c.463]

Для иллюстрации изложенных методов рассмотрим в этой главе задачу двух тел, движущихся под действием взаимного притяжения или отталкивания. Следует заметить, что задача о движении тела под действием центральной силы не всегда решается в элементарных функциях. Однако мы попытаемся исследовать эту проблему настолько полно, насколько это позволяют известные методы. [c.72]

Соотношение (2.12) — уравнение плоскости, т. е. движение тела под действием центральной силы, приложенной в начале координат (в точке О), происходит в плоскости, проходящей через эту точку. Физически это означает, что силы, не находящиеся в плоскости, содержащей радиус-вектор г движущегося тела и вектор его скорости г, отсутствуют. Положение плоскости (2.12) в пространстве полностью определяют начальными усло- [c.57]

Задачу о движении двух тел под действием центральных сил всегда можно свести к разновидности задачи о движении одного тела. Это является значительным упрощением. Хотя [c.280]

Первая книга, состоящая из 14 отделов, построена в нарочито абстрактном математическом плане. Только в следствиях и поучениях (схолиях) теорем просвечивают иногда те физические или астрономические применения, которые впоследствии эти теоремы находят. Основное содержание книги — движение материальных точек и твердых тел под действием центральных сил. [c.163]

Значительное место уделено Мещерским исследованию движений точки переменной массы под действием центральных сил. По существу, диссертация Мещерского заложила основы небесной механики тел переменной массы. Если закон изменения массы точки известен, то для исследования геометрических, кинематических и динамических характеристик движения весьма плодотворным оказывается [c.113]

Ввиду того, что размеры небесных тел несравненно меньше разделяющих их расстояний, можно вместо тел рассматривать материальные точки, сосредоточивая массы тел в их центрах тяжести, а в таком случае силы тяготения являются центральными. Если между небесными телами, связанными силами тяготения в отдельную систему, имеется одно или несколько тел, значительно превосходящих массой остальные, то движения тел системы можно считать совершающимися под действием центральных сил, центрами которых являются эти массивные тела. Формулы Бине дают решение задачи о движении небесных тел под действием одной центральной силы. [c.327]

Пример на первую теорему. При использовании первой теоремы приложенные силы необходимо перенести в центр тяжести параллельно их прежним направлениям. Так, если твердое тело движется под действием центральной силы, то движение его центра тяжести, вообще говоря, будет отличаться от движения помещенной в центре тяжести точки (массой, равной массе тела), к которой приложена та же самая центральная сила. Теорема утверждает, что если найдена центральная сила, действующая на каждый элемент тела, то движение центра тяжести будет таким же, каким бы оно было, если бы все эти силы были приложены к центру тяжести параллельно их первоначальным направлениям. [c.73]

Итак, задача двух тел свелась к задаче о движении одной материальной точки с приведенной массой в Ц-системе под действием центральной силы уравнение движения имеет обычный вид [c.143]

Исследуем движение тела (материальной точки) массы т под действием центральной силы Р, вначале не конкретизируя ее характер. [c.86]

По Ньютону, действие силы может быть непосредственным, контактным и — на расстоянии от какого-то силового центра. Силу, действующую на расстоянии, он называет центральной или центростремительной силой , с которой тела к некоторой точке как к центру отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся к этой категории он относит, например, силу тяжести, магнитную силу. Центральные силы имеют три величины . Абсолютная величина определяется действующей причиной , исходящей от силового центра (гравитационной массой, магнитной массой и т. д.) движущая величина выражает изменение количества движения, вызванное данной силой в единицу времени ускорительная величина пропорциональна ускорению, полученному телом под действием силы, при этом сила F, Лм [c.87]

Белецкий В. В., Об интегрируемости уравнений движения твердого тела около закрепленной точки под действием центрального ньютоновского поля сил. Доклады Академии наук СССР, 1957, т. ИЗ, вып. 2, 287—290. [c.412]

И та и другая из упомянутых задач (и всякая другая задача такого же рода) могут рассматриваться как задачи о движении материальной точки единичной массы под действием с)1лы притяжения центрального тела-точки и под действие.м силы сопротивления атмосферы, плотность которой в каждой ее точке есть определенная функция координат этой точки (например, функция высоты точки над поверхностью Земли). Тогда задача опять приводится к рассмотрению и исследованию уравнений движения вида (12.1), где составляющие основного ускорения определяются формулами (12.2), а X, У, 2 суть составляющие ускорения, вызываемого силой сопротивления. [c.597]

К задаче о движении тел в центральном поле тяготения относится, например, изучение движения планет солнечной системы. В этом случае Солнце и планеты можно принимать за материальные точки. Рассматривая движение какой-либо планеты, будем считать, что она движется только под действием сил тяготения к Солнцу, пренебрегая при этом влиянием других планет. Это допустимо потому, что масса Солнца почти в 750 раз превышает массу всех вместе взятых планет. Кроме того, можно также пренебречь и силой, с которой рассматриваемая планета притягивает к себе Солнце, потому что вызываемое ею ускорение Солнца мало. При этих упрощениях задача, по существу, сводится к изучению движения материальной точки (планеты) в поле тяготения, созданном другой неподвижной материальной точкой (Солнцем), т. е. к изучению движения тела, принимаемого за материальную точку в центральном силовом поле. [c.115]

Рассмотрим сначала общую задачу о движении материальной точки (планеты или спутника) под действием ньютонианского притяжения некоторого центрального тела, рассматриваемого также как материальная точка, и добавочной возмущающей силы, произвольным образом зависящей от времени, положения движущейся точки и ее скорости. [c.566]

Представим теперь опять невозмущенное движение, определяемое заданными начальными условиями и протекающее под действием одной только силы притяжения центрального тела-точки. Пусть в некоторый момент времени, отличный от начального, движущаяся материальная точка испытала действие мгновенной малой возмущающей силы. Тогда эффект этой силы будет совершенно аналогичен эффекту действия мгновенной силы в начальный момент. Таким образом, в рассматриваемый момент времени координаты и составляющие скорости получат малые приращения ( возмущения ), а следовательно, изменятся также мгновенно и элементы орбиты. В дальнейшем движение точки опять будет происходить в полном согласии с законами Кеплера, по кеплеровской орбите, но с возмущенными элементами. [c.576]

В предыдущем параграфе было показано, что возмущенное движение, происходящее под совместным действием притяжения центрального тела-точки и произвольной возмущающей силы, можно рассматривать как такое кеплеровское движение, все эле менты которого суть некоторые непрерывные функции времени. Эти неизвестные заранее функции удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений первого порядка, и наша задача заключается теперь в выводе этих уравнений. [c.578]

Но для каждого значения 5 (5=1, 2,. .., п) система (13.Г) представляет собой систему дифференциальных уравнений н е-возмущенного движения точки определяющих движение этой точки только под действием силы притяжения центрального тела-точки Мо так, как будто бы во всем пространстве существовали только две точки Мо и М,. [c.656]

Если движение точки происходит под действием притяжения центрального тела и потенциальной возмущающей силы, то помимо оскулирующих элементов р, е, i, Q, со, т часто пользуются каноническими элементами Якоби аи 2, з, Pi, Р2, Рз, связанными с первыми элементами соотношениями [c.339]

Пусть Хи Х2, Хз — прямоугольные координаты небесного тела Р с массой т, движущегося под действием притяжения центрального тела 5 (с массой 1) и возмущающих сил. Его уравнения движения при условии, что в отсутствие возмущающих сил движение является кеплеровским, записываются в виде [c.677]

Введение понятия гиперболического прохождения подразумевает, что в течение короткого периода времени прохождения корабля в непосредственной близости от возмущающего тела действием сил солнечного притяжения можно пренебречь и относительную траекторию движения можно считать точно гиперболической. Пусть М — центральное тело, т — возмущающее тело, V — скорость космического корабля относительно М, и — скорость тела т ж Voo — скорость корабля относительно т. Схема гиперболического прохождения с целью увеличения скорости движения космического корабля изображена на рис. 6.37, где параметры движения до прохождения помечены индексом 1, а после прохождения — индексом 2. Тело т движется со скоростью U по орбите, пересекающейся под углом с орбитой космического корабля, который движется со скоростью V. Зная величины 7, F и р, нетрудно построить [c.197]

ПЛОЩАДЕЙ 3AKOH — закон движения материальной точки (или центра масс тела) под действием центральной силы, согласно к-рому а) траекторией точки является плоская кривая, лежащая в плоскости, проходящей через центр силы б) площадь, заметаемая радиусом-вектором точки, проведённым из центра силы, растёт пропорц. времени, т. е. точка движется с пост, секторной скоростью. П. а. и.чеет место при движении планет (см. Кеплера за кони), ИСЗ, космич. летательных аппаратов и т. п. [c.639]

ПЛОЩАДЕЙ ЗАКОН — закон движеиия мате риальиой точки (или центра масс тела) под действием центральной силы. Согласно П. з. а) траекторией точки является плоская кривая, лежащая в плоскости, проходящей через центр силы б) площадь, описываемая радиусом-вектором точки, проведенным из центра силы, растет пропорционально времени, т. о. точка движется с постоянной секторной скоростью. И. з. имеет место при движении планет (см. Кеплера законы), искусственных спутников, космич. кораблей и т. и. [c.49]

ЭТО имеет место в наземной технике) и в космических пространствах (как это имеет место в астрономии и космонавтике) связано с действием на них гравитационных сил. Последние можно рассматривать как центральные силы, т. е. силы, линии действия которых проходят через одну точку — центр космического тела. В связи с этим изучение движения тел, которые в первом приближении мож)Ю моделировать материальными точками, под действием центральных сил представляет актуальную проблему. Исследование ее начнем с вопроса об неинерциальных эффектах, связанных с движением Земли, действующих на точку, находящуюся под воздействием гра витационной силы. [c.136]

Таким образом, ось z ротора быстровращающе-гося гироскопа при заданных условиях отклонится от заданного направления в пространстве на угол, в сто тысяч раз меньший, чем угол отклонения оси z ротора негироскопического твердого тела. Настоящий пример характеризует эффективную неподатливость оси Z быстровращающегося гироскопа по отношению к действующему на него моменту внешних сил. Интересно заметить, что установившаяся прецессия гироскопа, так же как и движение материальной точки под действием центральной силы, является движением, не требующим затраты энергии. Например, при установившемся движении спутника Земли (рис. 11.10) по круговой орбите скорость V движения спутника перпендикулярна силе G притяжения спутника к Земле и работа, совершаемая силой G при полете спутника, = = GV os (GV) = о, так как os (GV) = 0. [c.82]

Приведение задачи о рассеянии к лабораторной системе координат. В предыдущем параграфе мы рассматривали рассеяние частиц в поле неподвижного заряда, т. е. изучали движение одной точки. На практике, однако, в этом процессе всегда участвуют два взаимодействуюш,их тела, например в опыте Резерфорда мы имеем а-частицу и атомное ядро. При. этом вторая частица не является неподвижной, а перемещается в результате взаимодействия с первой. Но мы знаем, что задачу о движении двух тел, находящихся под действием центральной силы взаимного притяжения или отталкивания, можно свести к задаче о движении одного тела. Поэтому может показаться, что единственная поправка, которую нам надлежит сделать, состоит в замене массы т на приведенную массу ц. Однако в действительности вопрос этот не так прост. Дело в том, что измеряемый в лабораторных условиях угол рассеяния (мы обозначим его через ) есть угол между конечным и начальным направлениями движения частицы ). В то же время угол 0, вычисляемый по формулам соответствующей задачи для одного тела, есть угол между конечным и начальным направлением [c.101]

В письме от 28 января 1741 г. Даниил Бернулли спрашивал Эйлера, может ли он решить проблему центральных сил методом изопериметров. Эйлер нашел решение этой задачи в марте 1743 г. В 1744 г. оно было опубликовано им в приложении Об определении движения брошенных тел в несо-противляющейся среде методом максимумов и минимумов к знаменитой книге Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле . Эйлеру, как правильно указывает Серре ), принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном приложении показал, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, интеграл vds, где v — скорость, всегда равен минимуму или максимуму. Эйлер не дал этому выражению какого-либо специального наименования. [c.788]

И. В. Мещерский рассмотрел также большое количество частных задач о движении точки переменной массы, например, восходящее движение ракеты и вертикальное движение аэростата. Специальному исследованию он подверг движения точки переменной маосы под действием центральной силы, заложив тем самым основания небесной механики тел переменной массы. Он изучал также и некоторые проблемы комет. Мехцерский впервые сформулировал и так называемые обратные задачи, когда по заданным внешним силам и траектории определяется закон изменения массы. [c.250]

В 1697 г. И. Бернулли поставил еще одну задачу на минимум провести кратчайшую линию между двумя заданными точками на произвольной поверхности. Первые исследования этой задачи выполнены Лейбницем и Я. Бернулли, но наиболее важный результат найден самим И. Бернулли. Он показал, что в любой точке кратчайшей линии соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к касательной плоскости к поверхности, что, как известно, является основньш свойством геодезических линий. Понимая всю важность задачи о геодезических линиях, И. Бернулли, хотя и не опубликовал сразу найденный результат (он сообщил его в конце 1728 г. Упсальскому профессору Клингенштерну, а напечатаны его работы о геодезических линиях были лишь в 1742 г.), но предложил заняться этой задачей своему ученику Л. Эйлеру. Эйлер, которому тогда был 21 год, нашел (в 1728 г.) общее решение поставленной задачи. Четыре года спустя Эйлер опубликовал мемуар, в котором изопериметрическая задача была сформулирована в общем виде Затем во втором томе своей Механики , вышедшем в 1736 г., Эйлер снова занялся исследованием геодезических линий и решил изопериметрическую задачу о брахистохроне заданной длины. В 1741 г. Д. Бернулли поставил перед Эйлером проблему определить движение тела (материальной точки) под действием центральных сил методом изопериметров. Эйлер опубликовал найденное им решение в 1744 г. в приложении Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов к знаменитой книге Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле . Именно Эйлеру принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном приложении показал, что для траекторий, описываемых [c.197]

Итак, движение космических тел можно моделировать как движение материальной точки, находящейся иод действием иритяги-вающего центра, или как движение точки, находящейся под действием центральной притягивающ( й силы. [c.145]

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ — приложенные к материальному телу силы, линии действия к-рых при любом положении тела проходят через иек-рую определенную точку, наз. центром сил. Примерами Ц. с. с тужат силы тях отеиия, направленные к центру Солнца или планеты, кулоноры силы электростатич. притяжения или отталкивания и др. Под действием Ц. с. центр масс свободного тела движется по плоской кривой, а радиус, соединяющий этот центр с центром силы, описывает в любые равные промежутки времени равные площади (см. Площадей аакон). Теория движения под действием Ц. с. имеет важные приложения в небесной механике, при расчете движения космич. ракет, искусственных спутников и т. д. [c.391]

Невоэмущенным или кеплеровым движением называют такое движение материальной точки, которое происходит под действием только одной центральной силы гравитационного притяжения, величина которой, приложенная к пассивно гравитирующему КА, обратно пропорциональна квадрату расстояния до притягивающего центра. В этом случае оказывается возможным аналитически получить все необходимые первые интегралы уравнений движения баллистического невозмущенного движения КА, полностью его описывающие. Для решения этой задачи обычно используют хорошо разработанные в небесной механике методы решения задачи двух тел. сводящейся при принятых предположениях к ограниченной задаче двух тел. [c.52]

Итак, невоэмущенным называют движение КА, происходящее под действием только центральной составляющей сил тяготения основного притягивающего тела. В поиске решения системы уравнений (2.4) и состоит сущность теории невозмущенного (кеплерова) движения КА. Так как (2.4) является системой б-го порядка, то для ее решения необходимо определить шесть интегралов. Общим интегралом системы (2.4) являются соотношения между временем I, координатами КА х, у,гк шестью произвольными постоянными Ср С2,. .., Сд1 [c.55]

Синхронизация орбитальных систем. Под орбитальной в общем случае будем понимать систему, состоящую из k I взаимодействующих твердых или деформируемых тел. в которой центры масс или другие характерные точки i,. .., тел. .... могут совершать движения по замкнутым траекториям относительно некоторого тела Во, г.азываемого несущим или центральным (рис. 2), За центральное тело, как правило, можно принять любое из тел системы, однако обычно в качестве такового выбирают вполне определенное, отличающееся от остальных каким-нибудь характерным признаком (например, имеющее значительно большую массу). На каждое из тел помимо сил взаимодействии могут действовать заданные как консервативные, так и неконсерватив-ные силы. С изучением различных частнглх случаев орбитальных систем приходится сталкивэться в теории вибрационных устройств и в небесной механике. [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...