Система материальных точек консервативная

Система материальных точек называется консервативной ), если существует силовая функция 0(JJ,, У1,. ..,. Kjv, y r, Zfj), [c.58]

При движении консервативной системы материальных точек полная механическая энергия системы не меняется. [c.76]

В предыдущих параграфах были рассмотрены малые колебания системы материальных точек при предположении, что система находится под действием сил, образующих консервативное силовое поле и сил сопротивления. Система сил, образую- [c.262]

В заключение следует обратить внимание на особенности принятой терминологии. В первом томе различались силовая функция и потенциальная энергия. Здесь ньютоновским потенциалом называется силовая функция консервативного поля сил тяготения, вызываемых системой материальных точек М с массами Ш , действующих на точку М с массой т, равной единице. [c.484]

Мы получили закон сохранения механической энергии для системы материальных точек. Полная энергия (сумма кинетической и потенциальной энергии) изолированной системы, в которой действуют только консервативные силы, есть величина постоянная, какие бы механические изменения не происходили внутри системы. Это означает, что если система переходит из состояния 1 в состояние 2, то ее энергия сохраняется [c.156]

Рассмотрим движение системы материальных точек с голономными, нестационарными связями в консервативном поле сил. Уравнение движения такой системы можно записать в форме Гамильтона [c.60]

С задачей о равновесии системы материальных точек непосредственно связана и задача об устойчивости равновесия системы, когда на эту систему действуют только консервативные силы. Для тяжелых тел эта задача решается на основе принципа Торричелли, который устанавливает, что при устойчивом равновесии центр [c.25]

Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обычный) интеграл энергии ). Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что при финитном изменении координат каждая пара канонически сопряженных переменных 9 -, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости ( 1, р1) будет замкнутой кривой. И если [c.348]

Выведем уравнение кинетической энергии тела с одной неподвижной точкой. Это уравнение при консервативных силах и при отсутствии трения допускает интеграл энергии. Уравнение кинетической энергии можно получить из (6.60), умножая обе части первого уравнения на р, второго на 9, третьего на г и складывая их почленно. Мы же выведем его, обобщая теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек. [c.386]

Система материальных точек и тел консервативна, следовательно, H = H(q,p) (f = 0). [c.449]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Механическая система какова (находится под действием сил, находится в равновесии, находится в состоянии покоя...), расположена где (в поле консервативных сил...), состоит из чего (из материальных точек, из твёрдых тел...). [c.43]

Рассмотрим систему материальных точек, движущуюся в консервативном силовом поле, причем связи, наложенные на точки системы, стационарны. Следовательно, существует интеграл энергии [c.201]

Иногда оказывается, что невозможно найти пределы j и если рассматривать произвольные возмущения Ej и . Но можно найти эти пределы, если возмущения удовлетворяют некоторым условиям. Так возникло понятие об относительной устойчивости. Например, движение материальной точки по окружности будет устойчивым относительно прямоугольной системы координат, если наложить на возмущения движения условия, вытекающие из закона сохранения механической энергии, или, по терминологии Томсона и Тета, оно будет устойчивым для консервативных возмущений. [c.327]

Рассмотрим систему материальных точек с одной степенью свободы, подчиненную стационарным связям и находящуюся под действием задаваемых консервативных сил. Обозначим через q текущую обобщенную координату и предположим, что положение системы, соответствующее нулевому значению координаты q — О, представляет собой положение устойчивого ее равновесия ( 147). [c.479]

Следуя дальнейшим аналогиям между силами Xf, Yi, Zi и укажем, что система сил — 2,. .., N), приложенных к системе N материальных точек, называется консервативной, если сумма работ сил Fi на любом перемещении dPi системы тождественна с полным дифференциалом какой-нибудь функции U от 3iV декартовых координат х , у , точек системы, т. е. когда имеем тождественно [c.267]

Особенно простой случай, в котором имеют место только что указанные обстоятельства, мы будем иметь, если отнесем свободную материальную точку, находящуюся под действием консервативной силы, к системе осей Охуг, равномерно вращающейся вокруг оси z, которая остается неподвижной. Если w есть угловая скорость этих вращающихся осей и ось z предполагается ориентированной в направлении <0, то абсолютная скорость точки определится геометрической суммой относительной скорости с составляющими х, у, z и переносной скорости с составляющими — шу, [c.301]

Если выполнены вышеуказанные ограничения и система не диссипативна, то обычно предполагается, что функция Гамильтона и полная энергия тождественны. Случаи, отличные от тех, которые касаются чисто консервативных систем, должны, строго говоря, исследоваться отдельно, как и случай движения материальной точки в электромагнитном поле. Такое отождествление весьма важно, так как значение функции Гамильтона заключается в измерении полной энергии, которая при этом может быть вычислена без определения компонент силы, как в ньютоновской схеме. [c.124]

Рассмотрим теперь незамкнутую систему. В такой системе на каждую материальную точку, кроме внутренних консервативных сил Fi, могут действовать и внешние консервативные или [c.156]

Перечисленные примеры систем, в которых были обнаружены хаотические движения, относятся к неконсервативным системам. Для консервативных гамильтоновых систем примеры хаотических движений были известны еще раньше — это движение без сопротивления материальной точки по инерции в пространстве отрицательной кривизны [363, 485, 498] и, в частности, по поверхности, изображенной на рис. 1.16, и многие другие. Об этом направлении будет рассказано в гл. 4. [c.24]

Простейшей консервативной системой является материаль ная точка, совершающая движение по некоторой заданной мате риальной кривой под действием силы, зависящей от положение материальной точки. Движение такой точки полностью опреде ляется уравнением живых сил [c.550]

Пример. Одномерная консервативная система двух материальных точек (рис. 2.2) движется в потенциальном силовом поле с энергией [c.24]

Систему двух абсолютно твердых шаров можно рассматривать как консервативную систему материальных точек и записать условие сохранения полной механической энергии (3.5.52) консервативной системы [c.157]

Таким образом, движение системы взаимно притягивающихся материальных точек принадлежит к классу консервативных движении. [c.339]

Представим себе консервативную систему, состоящую из материальных точек М , Жз,. .., М . Положим, что эта система имеет к степеней свободы, и обозначим обобщенные координаты системы через 1, 92> Як- - Ь1 будем исследовать малые колебания системы около ее равновесного положения, которое предполагаем устойчивым. Приняв равновесные значения координат за нуль отсчета этих координат, будем считать, что в равновесном положении 1 = 92= [c.448]

Установив эти предварительные результаты, исследуем функцию Гамильтона для замкнутой механической системы, состоящей из N материальных точек. Между точками могут действовать потенциальные силы, которые зависят только от величины разности радиусов-векторов точек. Отсюда в силу консервативности системы следует, что [c.82]

Рассмотрим простейшую автономную консервативную систему с одной степенью свободы движение материальной точки по прямой под действием силы, зависящей только от расстояния. Положение материальной точки вполне определяется заданием одного числа — абсциссы дг. Механическое состояние системы определяется заданием положения [c.104]

Величины Q, О имеют вид (2.29) только для системы в которой каждую частицу можно с достаточной точностью считать свободной материальной точкой в противном случае будут не декартовыми, а криволинейными координатами и функция Гамиль- тона, т. е. полная энергия консервативной системы 5Jv, будет равна ( 1) [c.22]

Системы, находящиеся под действием консервативных сил. Силовая функция.—Силы, прямо приложенные к системе материальных точек, называются консервативными (в их совокупности), если они позиционные и если сумма их элементрных работ на всяком перемещении системы есть полный дифференциал функции и от Зя координат точек системы, т, е. если тождественно выполнено равенство [c.310]

МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ— состояние покоя или прямолинейноравномерного движения системы материальных точек (тела, звена, механизма). М. может 1ть устойчивым, неустойчивым и безразличным. При устойчивом равновесии достаточно малые отклонения системы (тела) от положения равновесия вызывают силы, стремящиеся вернуть ее в состояние равновесия. Условием устойчивого равновесия для консервативной системы (где механическая энергйя не превращается в тепловую) является минимум потенциальной энергии данной системы (теорема Лагранжа—Дирихле). Если на систему с идеальными связями действуют только силы тяжести, то устойчивым будет положение, при котором центр тяжести занимает самое низкое положение (принциТП Торичелли). [c.178]

Примером консервативной незамкнутой системы служит система, состоящая из материальных точек, движущихся в поле тяготения массы, не включенной в систему (скажем, материальная точка в поле тяготения Земли), а примером замкнутой, по неконсервативнон системы — система, в которой внутренние взаимодействия зависят и от скоростей точек. [c.76]

ЦИХ консервативное силовое поле в этих случаях, называется системой восстанавливающих сил. Частным случаем восстанавливающих сил являются силы упругости, в 191 первого тома были рассмотрены примеры колебательного движения материальной точки, находящейся под действием упругой или ква-зиупругой силы. Содержание 89—91 является дальнейшим развитием теории, рассмотренной в динамике точки. [c.263]

Рассмотрим систему из п тел, принимаемых за материальные точки, между которыми действуют консервативные и неконсерва-тпвные силы. В соответствии со вторым законом динамики для каждого из тел системы можно написать уравнение [c.54]

О трении и сопротивлениях. На первый взгляд может показаться, что материальные системы не являются консервативными. Может казаться, что внешняя работа, необходимая для того, чтобы заставить систему перейти без заметных начальной и конечной скоростей из одного положения в другое, не будет равна работе возвращаемой системой при обратном переходе из второго положения в пе13вое. Так, если рукой сжать спиральную пружину, причем сжатие превзойдет некоторый предел, то пружина не вернется вполне в свое первоначальное состояние. Она, следовательно, вернет только часть затраченной внешней работы. Для того чтобы вернуть пружину в первоначальное состояние, надо будет приложить к ней натяжение, т. е. затратить новую работу. [c.76]

Отметим еще одну возможность упрощения задачи интегрирования канонической системы уравнений. Пусть функция Гамильтона Н не зависит явно от времени. Тогда, отбрасывая в уравнениях (40) последнюю дробь, содержащую dt получим систему из 2п — 1 уравнений, которая по-прежнему имеет множитель М = 1. Поэтому для построения ее общего интеграла достаточно знать 2п — 2 первых интеграла. Но так как в рассматриваемом случае материальная система является обобщенно консервативной, то один интеграл нам известен заранее. Это обобщенный интеграл энергии Н = h = onst (см. п. 151). Поэтому для построения общего интеграла достаточно знать еще 2п — 3 первых интеграла. Если, например, п = 2, то кроме интеграла энергии Н = h достаточно найти еще только один первый интеграл. [c.325]

В качестве такой системы естественно принять материальную точку, движение которой происходит в плоскости ху под действием сил консервативного поля, причем хну — обычные декартовы координаты. Можно, разумеется, принять и более сложную систему, для которой х и. у будут лагран-жевыми координатами. [c.542]

Квадратичная форма (2.12) так же, как и кинетическая энергия, является знакопостоянной положительной. Последнее вытекает из условия устойчивости положения равновесия, сформулированного в теореме Лагранжа—Дирихле если для материальной системы, находящейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным и стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым. Поскольку значение потенциальной энергии в положении равновесия принято равным нулю и одновременно отвечает минимуму, при любом отклонении системы от устойчивого положения равновесия имеем F >0. [c.60]

Представим себе консервативную систему, состоящую из материальных точек Л11, М2,. .., М . Положим, что эта система имее две степени свободы обобщенные координаты системы обозначим [c.423]

П. Материальная точка массы т движется по плоскости Ох хг в консервативном поле с потенциалом У(х , Хг) = х1 + х + х Фикция Гамильтона Н= /2т ру +рг) + 2) представляет полную энергию системы, а постоянная энергии Л изменяется в диапазоне от -21/2% до + 00. Область Я(р, х) < к) офаничена и почти все движения в ней обладают свойством возвращаемости Однако при Л > О существуют асимптотические движения с начальными условиями, когда /2р2Ф)т + Х2 (0) + Х2 (0) = О, Х2(0) = 0. Фазовый поток, спроектированный на плоскости (р,, дс,), (/>2, ДС2), соответственно имеет вид, представленный на рис. 52. [c.165]

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое дока-аательетво того, что для любой материальной системы (в консервативном силавом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы, находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ). [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...