Функция Разложение в ряды по полиномам

Для этого используется разложение функции gi в ряд по полиномам Фабера [88], сходящийся на контуре к-го отверстия. Это разложение имеет вид [c.81]

Разложение в ряд по полиномам Фабера. Пусть F(z z) — функция вида (4.2.1) и требуется найти разложение этой функции в ряд по полиномам Фабера [88], сходящийся на [c.147]

Разложение в ряд по полиномам Фабера функции = [c.147]

Для нахождения p j и воспользуемся моментными уравнениями более высокого порядка. Эти уравнения удобно записать не непосредственно для моментов, а для коэффициентов разложения функции распределения в ряд по полиномам Эрмита. Коэффициенты aW связаны с моментами соотношениями (3.11). Функ- [c.113]

Таким образом, коэффициенты разложения в ряд по полиномам Лежандра функции нагрузки, соответствующей приложению сосредоточенных сил в полюсах 0 = 0 и = тг, будут [c.363]

Полезное н общее выражение для фазовых функций дается разложением в ряд по полиномам Лежандра Я (ц) = Я ( os 0), Если рассеяние симметрично относительно направления падающей волны, то фазовая функция зависит только от у, и ее можно выразить в виде ряда по функциям Лежандра [c.227]

Разложение потока нейтронов в ряд по полиномам Лежандра в плоской геометрии имеет существенный недостаток. На плоской поверхности раздела распределение потока нейтронов, как функция косинуса угла рассеяния .I, обычно претерпевает разрыв при х = 0. Однако любая конечная сумма полиномов Лежандра на интервале — 1 х 1 будет непрерывной при .1 — 0. Таким образом, представление потока нейтронов вблизи поверхностей раздела с по.мощью полиномов Лежандра очень неточно. Эта трудность приводит также к неопределенностям в выполнении граничных условий свободной поверхности. Как отмечалось в разд. 2.5.4, такие граничные условия не могут быть удовлетворены точно, и поэтому были использованы различные приближения. В частности, было предложено использовать отдельные разложения в ряд по полиномам Лежандра для интервалов изменения косинуса угла рассеяния — 1 < .I < О н О .I 1. [c.123]

Очевидно, что приведенное разложение члена рассеяния в уравнении переноса в виде суммы полиномов Лежандра не является необходимым условием методов дискретных ординат. Можно применять и другие полиномы, полиномы плюс дельт а-функции. Кроме того, можно использовать прямое интегрирование дифференциальных сечений. Однако наиболее широко используется все таки разложение в ряд по полиномам Лежандра (или по сферическим гармони- [c.187]

Разложение в ряд по тригонометрическим функциям (ряд Фурье) является наиболее употребительным. Применяются также разложения по полиномам Эрмита, Лежандра, Чебышева и др. Для решения диагностических задач представляет интерес разложение в ряд по ортогональным кусочно-линейным функциям. [c.110]

Это — известное разложение функции f((i) в ряд по полиномам Лежандра, [c.901]

Используем разложение искомой функции в ряд по полиномам Чебышева первого рода r (x) [c.375]

Полиномы Лежандра могут быть получены при разложении в ряд по степеням г функции [c.63]

К третьей группе относятся работы, сочетающие приведение трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам теории оболочек с оценкой области применимости приближенных теорий. В этом направлении выделяется метод, основанный на построении разложений искомых функций по возрастающим степеням координаты в тригонометрические ряды, в ряды по полиномам Лежандра и т. д. Подробный обзор работ, связанных с этим способом приведения, представлен в монографии Н. А. Кильчевского [54]. [c.4]

Отметим, что формулы (4.2.9)-(4.2.11) являются точными, но итоговое представление функции Ф будет приближенным, поскольку при вычислении интегралов используются разложения в ряд. Алгоритмы вычисления интегралов типа Коши от функций вида (4.2.3) и разложения функций этого вида в ряд по полиномам Фабера изложены далее в данном параграфе (стр. 146, 149). [c.143]

В большинстве случаев эта операция применяется к результатам разложения некоторой функции в ряд по полиномам Фабера. Реализована эта операция следующим образом. Пусть [c.148]

Применение специальных методов решения задачи при заданных силе или моменте вызвано следуюпщми обстоятельствами. Традиционные разложения в ряды по собственным функциям операторов AJ, AJ или по тем же полиномам Лежандра приводят к необходимости исследования бесконечных систем интегральных уравнений Вольтерра, что вносит теоретические трудности и существенные вычислительные проблемы при решении конкретных задач. Методы, основанные на использовании неклассических спектральных соотношения для операторов BI и BJ, приводят лишь к решению последовательности независимых уравнений Вольтерра и позволяют дать строгое их обоснование. [c.67]

Из теории специальных функций [10, 33] известно, что разложение функций в ряд по полиномам Лежандра обладает теми же свойствами, что и разложение функций в ряд Фурье. [c.240]

Коэффициенты разложения этой функции в ряд по полиномам Лежандра по (6.41) будут [c.362]

Разложение в ряд по сферическим поверхностным векторам, которые в данном случае выражаются через полиномы Лежандра от аргумента вектора, представляющего сосредоточенную силу Q , можно получить, как указано в 6 и 7 главы 6, путём предельного перехода рассматриваем разложение в ряд вектор-функции [c.455]

Решение кинетического уравнения чаш е всего ищется путем разложения функции распределения в ряд по ортогональным полиномам, составленным из косинусов угла между направлением скорости электрона и направлением электрического поля [1]. Обычно ограничиваются первыми двумя членами разложения — симметричной и антисимметричной частью. Очевидно, что такой метод решения применим лишь к системам, которые в первом приближении описываются симметричной функцией, асимметричная часть должна быть малой поправкой. Аналогично в методе Чепмена и Энскога [2] нулевым приближением является максвелловское распределение частиц по скоростям, влияние полей и градиентов учитывается лишь в первом приближении. В связи с этим могут представить определенный теоретический интерес попытки найти такие решения кинетического уравнения, хотя бы в рамках специальных моделей, которые точны в том смысле, что не представляют собой части ряда последовательных приближений. [c.179]

В настоящем разделе рассмотрена с помощью метода сферических гармоник задача о плоском изотропном источнике в бесконечной среде, В рамках этого метода угловая зависимость потока учитывается с помощью разложения в ряд по полной системе элементарных функций. В общем случае естественным выбором являются сферические гармоники, но для плоской и сферической геометрий они сводятся к полиномам Лежандра. [c.67]

В дальнейшем, рассматривая функции, вектор-функции или векторные поля f x , х , ж ), зависящие от координат х , х , з точки оболочки, будем предполагать, что они в достаточной степени гладки, например, /(ж , х , ж ) (й и /ге 1. Тогда f x , х , ж ) относительно скалярной координаты ж для каждой фиксированной точки x , з ) 8 можно разлагать в ряд по полиномам Лежандра Аргумент ш = - полиномов Лежандра изменяется в промежутке [—1, 1], когда [-К ]. Разложение функции (вектор-функции, векторного поля) имеет вид (см., например, [И]) [c.34]

Если ограничиться двумя первыми членами разложения функции F (j ) в ряд по ортогональным полиномам, то получим в общем случае статистическую линеаризацию многомерных нелинейностей [33, 34, 68, 69 ], так как в этом случае [c.150]

Полиномиальное нагружение (Менаже, 1901). При нагружении поверхностными силами, задаваемыми полиномом степени п, высшая степень полиномов, входящих в правые части выражений (2.4.7), равна + 2 поэтому разложения этих выражений в ряды по степеням д обрываются функция напряжений представляется автоматически находимым полиномом от X, у. [c.492]

Воспользуемся для нахождения чисел Pd, Fo, Bi точечным аппроксимированием функций. В качестве аппроксимирующего полинома здесь будет полином, получаемый после следующих преобразований выражения (3.18). Ограничиваясь первым членом суммы ряда, входящего в правую часть этого выражения, раскладывая косинус в ряд по аргументу и сохраняя три первых члена разложения, получаем [c.39]

Для подтверждения этих положений составлены три варианта разрешающих уравнений теплопроводности, отличающиеся выбором базисных функций и неизвестных. На рис. 3.9 показано изменение во времени температуры в центральной точке поверхности г = Л/2 пластины при решении задачи о тепловом ударе, сформулированной относительно коэффициентов разложения температурной функции в ряд по нормированным полиномам Лежандра (рис. 3.9, а) [c.123]

В предыдущем параграфе был рассмотрен один из возможных методов представления функции распределения в виде ряда (2.7). Функцию распределения можно искать в виде разложения ие только по полиномам Эрмита, но и по любым другим функциям. Выбор того или иного представления для функции распределения определяется прежде всего быстротой сходимости выбранных рядов, так как для получения практически приемлемой системы уравнений моментов необходимо получить наилучшую аппроксимацию при оставлении минимально возможного числа членов ряда. Однако, как мы увидим в дальнейшем (см. 4.2, 5.1, 6.5), очень часто функция распределения разрывна по скоростям в каждой точке течения. В этом случае ряды (в частности, и ряд (3.1) по полиномам Эрмита), представ-ляюш,ие функцию распределения, если и сходятся, то сходятся медленно. [c.118]

Здесь первое слагаемое представляет собой возмущённую взаимодействием нейтрона и протона 5о-волну непрерывного спектра второе слагаемое представляет собой D-волну в разложении в ряд по полиномам Лежандра. Эту волну мы считаем невозмущённой действием ядерных сил. Функция о вне области действия ядерных сил имеет вид [c.118]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Более того, в 3.3 и 3.8 мы видели, что для произвольных немаксвелловских молекул из тринадцати- и двадцатимоментных уравнений нельзя получить даже уравнения Навье — Стокса с правильными значениями коэффициентов переноса (значения коэффициентов вязкости и теплопроводности могут быть найдены лишь в первом приближении в смысле Энскога, см. 3.8). Как показано в 3.3, максвелловские молекулы являются исключительными, так как для них при малых числах Кнудсена (Кп = —>0) высшие моменты (точнее, коэффициенты (лг) разложения функции распределения в ряд по полиномам Эрмита, являющиеся линейной функцией моментов) имеют порядок и выше. Для произвольных же молекул вся бесконечная цепочка моментов (точнее, коэффициентов в( >) имеет порядок е, как и Pij и qi. Поэтому, хотя в практических приложениях обычно интересуются лишь первыми тринадцатью моментами, мы не имеем права при выборе определяющих параметров ограничиться только этими моментами, а необходимо учитывать бесконечное число определяющих параметров даже для получения функции распределения в навье-стоксовском приближении, и, следовательно, в скобку выражения (16.11) необходимо добавить бесконечное число [c.236]

Известные методы расчета коэффициентов переноса, например метод Гиршфельдера и др. [2], позволяют определить парциальные коэффициенты переноса газовой смеси в первом приближении, т. е при учете в разложении функции распределения в ряд по полиномам Сонина первого члена для вязкости и двух первых члено для теплопроводности. Первое приближение Гиршфельдера явля ется достаточным для обеспечения нужной точности при низки температурах (т. е. когда ионизация отсутствует). Этот выво следует из многочисленных сравнений результатов расчетов п( формулам Гиршфельдера с экспериментом. Для частично ионизо ванной плазмы расчеты показали, что парциальные коэффи циенты теплопроводности и вязкости нейтральных компонентов рассчитанные по первому и второму приближению, отличаются Н( [c.348]

Для нахождения напряженного состояния при перекатывании упругих тел Калкер [131] ищет функцию напряжения в виде разложения в ряды по полиномам Лежандра. Предполагается, что тела обладают одинаковыми упругими характеристиками и зонй сцепления находится на стороне движения тел. При полном Сцеплении предполагается сингулярность напряжений на уходящей из контакта стороне. [c.323]

На основании приведенного, анализа представляется возможность решить задачу о разложении в ряд по полиномам Лежандра некоторой функции от X (=008 0), распределенной извe тнiaм образом по сфере в пределах х от- -1 ДО — 1. Такая функция (например, радиальная скорость г колебаний частички на сфере радиуса г)>п]редставляется рядом [c.364]

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. [c.157]

Для исследованияс течений в пограничных слоях ГДЛ и химических лазерах необходимо знать коэффициенты переноса. Последние определяются аналогично [1] из решения соответствующих интегральных уравнений путем разложения функции распределения в ряды по многомерным полиномам. Получены выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности, причем им еется несколько различных коэффициентов теплопроводности из-за того, что разным модам колебаний соответствуют разные колебательные температуры. Подученные результаты применены к конкретным течениям многоатомных газов, в частности к течениям сжатия, для исследования эффекта инверсии населенностей в типичных лазерных смесях СОа -J- N2 -f HgO (Не) за сильной ударной волной и в энтропийном слое при обтекании клина [3]. [c.106]

Трусделл, 1962) было высказано предположение, что во втором приближении матрица несимметрична (другими словами, по мнению Трусделла соотношения Стефана-Максвелла (2.3.29) не носят универсального термодинамического характера, а являются математическим феноменом, присущим лишь первому приближению теории Чепмена-Энскога). Позднее, в работе Макенфус, 1973) предпринималась попытка получить соотношения (2.3.28) из кинетической теории газов в любом приближении, но был сделан неверный вывод о том, что поправочные множители к бинарным коэффициентам диффузии (учитывающие высшие приближения при разложении возмущенных функций распределения отдельных компонентов в ряды по полиномам Сонина-Лаггера) зависят только от числа приближений теории Чепмена-Энскога и числа N (количество компонентов в системе), но не зависят от самих взаимодействующих компонентов кроме того не был получен явный вид этой поправки. Обобщенные соотношения Стефана-Максвелла и формулы для поправок к бинарным коэффициентам диффузии в любом приближении коэффициентов молекулярного переноса были выведены для частично ионизованных смесей впервые в работе Колесниченко, 1979) (в которой был рассмотрен предельный случай нулевого магнитного поля) и в работах Колесниченко, 1982 Колесниченко, Маров, 1982) (с учетом сильного магнитного поля, вносящего анизотропию в коэффициенты переноса). Там же была показана симметрия коэффициентов сопротивления в полном согласии с соответствующим результатом термодинамики необратимых процессов Колесниченко, Тирский, 1976). [c.99]

Задача нахождения плотности вероятности р (/г Я, Т) числа пересечений п (Я, Т) принципиально может решаться в неасимптотической постановке на основе использования различных приближенных методов. Хорошо известно, например, что многие функции р (л ) можно представить в впде разложения в ряд по ортогональным полиномам. Следовательно, зная асимптотические свойства распределения случайной величины п (Я, Т) и выбрав [c.121]

Во всех представленных выше моделях рассеяния aJs оказывается функцией только к- и е, а не вектора х. Так было для всех сечений неупругого рассеяния, основанных на некогереитном приближении, и для всех сечений упругого рассеяния поликристаллических твердых тел и молекулярных жидкостей, за исключением монокристаллов. Это означает, что дважды дифференциальные сечения обычно являются функциями начальной и конечной энергий нейтрона и косинуса угла рассеяния Хц = й й, а не углов О и й отдельно. Следовательно, необходимые компоненты разложения функции рассеяния (между любыми двумя энергиями Е и Е) в ряд по полиномам Лежандра, например [c.287]

Вместо использования многогрупповых методов энергетическую зависимость можно представить в виде разложения в ряд по полной системе энергетических функций, таких, как полиномы Лягерра. В этом направлении была проделана значительная работа главным образом с очень приближенными функциями рассеяния [1061. [c.298]

На практике используют разложения в ряд Фурье, по полиномам Чебышева, кандра, Лагерра, Эрмита 17, 8, 12] по разрывным функциям Хаара и Уолша [c.83]

Преобразование основного уравнения. Уравнение (8.89) можно решать прямым методом, изложеяиым в разд. 7.7, с помощью разложения искомой функции в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода. Здесь, однако, будет изложен способ решения методом регуляризации уравнения, как это сделано в работе(20). [c.363]

Это определение коэффициентов разложения функции ф п полиномам Эрмита, очевидЕЮ, совпадает с определением (3.10), Представим ф в виде ряда по полиномам Эрмита подобно ряду (3.11) [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...