Разложение функции рассеяния

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ РАССЕЯНИЯ [c.135]

Предварительные замечания. Линейные дифференциальные уравнения в состоянии описать процесс колебаний лишь с определенной точностью. Если последняя недостаточна, приходится переходить к более высоким приближениям и удерживать члены более высокой степени, нежели вторая, в разложении по обобщенным координатам функции П (потенциальная энергия системы (17.80)), а также в разложениях по тем же координатам коэффициентов А (17.78) в выражении для кинетической энергии и коэффициентов В (17.79) в функции рассеяния. При этом дифференциальные уравнения, описывающие движение, получаются нелинейными. Причина нелинейности может быть и иного характера, что поясняется ниже. [c.220]

В общем случае коэффициенты зеркального отражения и интегрального рассеяния определяются формулами (2.41)— (2.44). Ограничиваясь рассмотрением изотропных поверхностей, положим в них Xi . (q — Чо) = 7ь ( ) [см. выражение (2.46)]. Кроме того, учтем естественное для рентгеновского диапазона условие й > Я (а — радиус корреляции) и используем в интеграле (2.50) разложение функций Бесселя при больших значениях аргумента аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении интегральной по ф индикатрисы рассеяния П (0) [см. формулу (2.51)]. Тогда получим следующие выражения для коэффи- [c.69]

Разложение промежуточной функции рассеяния для малых интервалов времени [c.85]

Разложение промежуточной функции рассеяния [c.92]

Яо — поток при постоянном градиенте температуры, — высоко градиентный поток (рис. 3), я поток, рассеянный волокнам. С ростом градиента температуры рассеянное поле более интенсивно затухает при удалении от межфазных границ. При умеренной концентрации волокон (( < 0,7) в разложении функций достаточно сохранить только первые члены. Обозначаем 2 = 91, = 901 = ж + iy. [c.162]

Так можно получить разложение функции Р Х,к), ограничиваясь рассмотрением только в импульсном пространстве. Подобный подход удобен тем, что здесь проще получить оценки сверху для соответствующих ядер. Подобным образом Брауну и др. [18] удалось по-новому вывести практически все описанные в данной книге аналитические свойства Р Х,к), включая и наиболее принципиальный пункт — поведение амплитуды рассеяния при больших мнимых значениях X. [c.240]

Очевидно, что приведенное разложение члена рассеяния в уравнении переноса в виде суммы полиномов Лежандра не является необходимым условием методов дискретных ординат. Можно применять и другие полиномы, полиномы плюс дельт а-функции. Кроме того, можно использовать прямое интегрирование дифференциальных сечений. Однако наиболее широко используется все таки разложение в ряд по полиномам Лежандра (или по сферическим гармони- [c.187]

Выше рассматривалось влияние прозрачности параболоида на рассеянное поле, когда на него падает плоская звуковая волна. Интерес представляет также вопрос о влиянии прозрачности параболоида на его направленные свойства. Для выяснения этого вопроса поместим в фокус источник звуковых волн в виде пульсирующей нити Яо (kR) Учитывая известное разложение функции Яо Ч ) по цилиндрическим волновым функциям [19] (в данном случае необходимость в этом разложении обусловлена тем, что нужно представить функцию Яо kR) в системе координат с центром О ), звуковые поля в частичных областях представим в виде [c.85]

Применяя метод разделения переменных, можно получить выражения для рассеянного поля в виде суммы собственных функций, которая хорошо сходится лишь для рассеивателей небольших по сравнению с X размеров. Однако, применяя преобразование Ватсона для превращения суммы в контурный интеграл, из этих рядов можно получить асимптотическое разложение. Решение, как правило, получается в виде суммы двух членов, первый из которых представляет собой геометрооптический член, а второй —дифракционный, отвечающий за образование дифракционных полей одного из четырех типов. [c.35]

Для частиц малых размеров (р 1) фактор поглощения Kt является линейной функцией параметра дифракции р, а фактор рассеяния пропорционален р . Такой характер зависимости факторов поглощения и рассеяния от р имеет место лишь при значениях р < 0,1, характерных для частиц сажистого углерода в светящемся пламени мазута и газа. В этом случае в разложениях [c.135]

При решении задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится интегрировать в полном и половинном диапазонах изменения ц различные функции нормальных мод. Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогональности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и бол е полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях [1, 2, 6, 25]. [c.402]

Он использовал метод, предложенный Чандрасекаром, и рассчитанные им Я-функции. В работе [46] рассчитана отражательная и пропускательная способности плоскопараллельного слоя рассеивающей среды (со == 1) с прозрачными границами в случае линейно анизотропного рассеяния [согласно индикатрисе рассеяния (11.155)], а в работе [47] применен метод Монте-Карло для определения отражательной и поглощательной способностей цилиндрического объема относительно диффузного излучения. Наконец, в работе [48] получено точное рещение уравнения переноса излучения методом разложения по собственным функциям и определены пропускательная и полусферическая отражательная способности слоя конечной толщины поглощающей, изотропно рассеивающей среды с отражающими границами. [c.474]

Предположим, что волновые функции падающего на голограмму излучения и излучения, рассеянного объектом, представлены в виде разложения по плоским волнам, и выделим по одной компоненте и фо из этих разложений [c.700]

Мы начнем с подхода к кинетической теории, основанного на последовательном разложении кинетического уравнения по степеням плотности. Этот подход, получивший название групповых разложений, аналогичен хорошо известному методу вириаль-ных разложений термодинамических величин в равновесной статистической механике неидеальных газов [124]. Для простоты будем считать, что частицы не обладают внутренними степенями свободы. Мы не будем также рассматривать связанные состояния или составные частицы, которые могут образовываться благодаря притягивающей части потенциала взаимодействия. Строго говоря, подобная модель описывает только инертные газы (гелий, аргон и т.д.), но в некоторых случаях возможно ее обобщение на молекулярные газы путем введения дополнительного аргумента у одночастичной функции распределения, учитывающего внутренние состояния молекулы [78]. Проблема связанных состояний в кинетической теории значительно более сложна, поскольку при рассмотрении многочастичных процессов рассеяния нужно, вообще говоря, учитывать квантовые эффекты [105]. [c.164]

Необходимо отметить, что п-й член в разложении функции рассеяния содержит дельта-функцию б (е — пЯщ) и, таким образом, соответствует передаче п колебательных квантов осциллирующему атому с потерей энергии нейтроном, равной nfiido- Разложение, описываемое уравнением (7.58), известно поэтому как фононное разложение, так как п-й член описывает образование п фононов в кристалле (см. разд. 7.1.3). [c.272]

Во всех представленных выше моделях рассеяния aJs оказывается функцией только к- и е, а не вектора х. Так было для всех сечений неупругого рассеяния, основанных на некогереитном приближении, и для всех сечений упругого рассеяния поликристаллических твердых тел и молекулярных жидкостей, за исключением монокристаллов. Это означает, что дважды дифференциальные сечения обычно являются функциями начальной и конечной энергий нейтрона и косинуса угла рассеяния Хц = й й, а не углов О и й отдельно. Следовательно, необходимые компоненты разложения функции рассеяния (между любыми двумя энергиями Е и Е) в ряд по полиномам Лежандра, например [c.287]

Несмотря на то обстоятельство, что вычисления собственной части Оа г, ) или 5неког К, со) корреляцион-ной функции Ван Хова еще незавершено, конечно, вычисления когерентной функции рассеяния значительно труднее. Поэтому кратко обсудим выгодное физическое приближение, предложенное Виньярдом [84] и затем рассмотрим его связь с методом разложения для малых значений времени, который обобщает приближение п.4 настоящей главы. [c.90]

Чтобы установить некоторую связь между, по-види-мому, точным разложением и физическим приближением Виньярда, подытожим результаты разложения промежуточной функции рассеяния, приведенной в п. 4 для автокоррелятивной функции. [c.92]

Вопросы моделирования р( ), (10 можно ренлать и не обращаясь к функции рассеяния. Общие критерии выбора оптимальной аппроксимации зависимости коэффициентов обмена от угла падения анализируются в [1]. С учетом требований простоты, эффективности и универсальности выделяются разложения [c.457]

Нелинейный анализ граничных условий для моментных уравнений одноатомного газа при произвольной функции рассеяния выполнен в [17]. На основе принципа сочетания физической и математической замкнутости постановки задачи сделан вывод о необходимости в обндем случае согласования функции рассеяния V с представлением f через моменты. Исследованы форма и характер этой связи, указан широкий класс функций рассеяния, допускаюнхих замкнутую постановку задачи при разложении / по полиномам Эрмита в полном пространстве скоростей. Для структурных газов граничные условия изучаются в работах [П1.44, П1.46, П1.55, П1.56, П1.59 ]. [c.458]

Еще один вид асимптотик — разложение функций по малому параметру у/1 — Л при рассеянии, близком к консервативному [76. [c.99]

В работах [14, 77, 78, 37, 38] были получены выражения для коэффициентов разложения функции g г) по степеням плотности. Хендерсон [37] вычислил несколько коэффициентов этого разложения для потенциала Леннарда-Джонса. Рашбрук и Скоинс [78] рассмотрели также разложение по степеням плотности для функции рассеяния рентгеновских лучей. [c.33]

Некоторые авторы [28, 29] рассматривают противоположный предельный случай 5- ОО. В этом случае функция рассеяния состоит из основного члена, соответствующего рассеянию на свободной частице (или рассеянию на идеальном газе), и поправок, пропорциональных возрастающим степеням 1/д. Необходимо отметить, что при больших q важны только малые смещения (и, следовательно, короткие промежутки времени). Это делает еще более полезным разложение р t) при малых t кроме того, становится еще более очевидной важная роль, которую играет величина (уЩ). Первая поправка к функции рассеяния идеального газа просто выражается через эту величину. Члены высших порядков оказываются, однако, более сложными, так как они содержат негауссовы поправки. С другой стороны, при больших q значительную роль играет когерентное рассеяние, вклад которого в результаты не так просто отделить от когерентной части. Последнее утверждение относится также к используемым ниже экспериментальным данным. [c.224]

Как и в 6.3, разложение функции (7) около точки синхронизма позволяет определить частотно-угловую форму наблюдаемого спектра через групповые скорости и, й я углы рассеяния О, Наприлмер, зависимость Л (ю) определяется производной [c.216]

Прямой аналитический подход был использован Артманом (1950). Исходя из эвристических соображений, сходных с приведенными в разд. 17.21, он дает полное решение задачи о рассеянии идеально проводящим круговым цилиндром. Если пе считать разницы в обозначениях, это решение тождественно решению, приведенному в разд. 15.33. Для больших расстояний и малых углов дифракции сделаны приближения, а суммирование по п за1менено интегрированием. Из этого интеграла выделена часть, дающая обычную дифракцию, и часть, дающая краевую волну. Главная трудность заключается в оценке последней части интеграла с помопхью асимптотических разложений функций Ханкеля для больших кЯ и для значений кЯ — п , которые [c.411]

Вместо использования многогрупповых методов энергетическую зависимость можно представить в виде разложения в ряд по полной системе энергетических функций, таких, как полиномы Лягерра. В этом направлении была проделана значительная работа главным образом с очень приближенными функциями рассеяния [1061. [c.298]

Уравнения (1.45) и (1.46) решают путем разложения в виде рядов по собственным функциям в принятой системе координат. Ввиду плохой сходимости решений задач рассеяния упругих волн на отражателях протяженностью более нескольких длин волн следует применять метод высокочастотной асимптотики. [c.35]

Для очень малых значений х точная формула Ми упрощается, если использовать разложения в степенные ряды сферических функций Бесселя относительно коэффициентов Ми и Ьт-Разложения в степенные ряды относительно этих коэффициентов применили Хюльст [27] и Пендорф [32а]. В таких разложениях первый член выражает закон рассеяния Рэлея. Разложение решения Ми в степенные ряды относительно малых х дается в виде [27] . [c.93]

Коэффициенты разложения произвольной функции по собственным функциям могут быть определены с помощью свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки. В данном разделе рассмотрены интегралы нормировки для д 1скретных и непрерывных собственных функций и изотропного рассеяния. Отдельно будут рассмотрены случаи изменения (А в полном диапазоне (—1 л 1) ив половинном диапазоне (О < < 1). [c.392]

Авторы работ [24, 25] использовали соответственно метод единичного возмущения и приближенный интегральны - метода для исследования влияния излучения на теплробмен при свободной ламинарной конвекции на вертикальной пластине, а в [26] использован метод разложения по собственным функциям для получения точного решения этой задачи с учетом рассеяния. [c.525]

В плоскости диффузно отражающего (или пропускающего) объекта рассеиваемая им волн описьгоается функцией амплитудного отражения (пропускания) Т х, у). Тогда на некотором расстоянии z = z от объекта (или от его резкого изображения) поле может быть представлено с помощью разложения рассеянной предметом волны на плоские волны [133-134] [c.94]

Эти граничные условия имеют смысл в предположении, что амплитуда колебаний поверхности сферы очень мала и можно считать Го = onst. Аналогично формулам (9,3) и (9,4) при рассеянии плоской волны с амплитудой р , падающей по направ лению отрицательной оси х на сферу, расположенную в начале координат, получим выражения для давления и скорости в падающей и рассеянной волнах в форме ряда, разложенного по сферическим функциям [c.273]

Для коротких волн становится непригодным анализ по методу разложения в ряд по функциям Более сложные методы анализа приводят к заключению, что для коротких волн половина рассеянной энергии (равная на единицу длины цилиндра рассеивается по законам геометрического отражения, преимущественно по всем угловым направлениям, идущим навстречу падающей волне, и имеет кордиоидную характеристику направленности. Вторая половина рассеянной энергии сосредоточивается почти целиком в направлении ср = 0 и создает тене-образующий луч, ограниченный в ближней зоне сечением цилийдра и дальше постепенно расходящийся он имеет интенсивность /о, но обратную фазу по отношению к падающей волне. Вследствие этого за цилиндром возникает зона тени. На границе зоны тени возникают дифракционные явления, дающие многочисленные максимумы и минимумы в характеристике направленности. [c.304]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...