Разложение некоторых функций

Разложение некоторой функции по собственным функциям непрерывного спектра имеет вид [c.109]

Если спектр отчасти непрерывный, отчасти дискретный, то разложение некоторой функции по собственным функциям является суммой ряда [c.109]

Разложение некоторых функций 1 (1-я) — 151 [c.247]

Функции Бесселя, полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Эрмита, Лагерра представляют коэфициенты разложений по степеням z (или тригонометрических разложений) некоторых функций F(x,z), называемых производящими функциями. [c.142]

Разложения некоторых функций в степенные ряды [c.151]

В большинстве случаев эта операция применяется к результатам разложения некоторой функции в ряд по полиномам Фабера. Реализована эта операция следующим образом. Пусть [c.148]

Покажем теперь, что многочлены Лежандра являются коэффициентами разложения некоторой функции в ряд Тейлора, а именно покажем, что справедлива следующая формула [c.164]

Теперь покажем, что величина Ih x) может рассматриваться как коэффициент разложения некоторой функции по степеням независимой переменной, которую обозначим через г. Напишем для этого формулу (11.63) в таком виде [c.556]

Приводимые ниже разложения некоторых функций в тригонометрические ряды по кратным и особенно полезны в тех случаях, когда при интегрировании дифференциальных уравнений возмущенного движения за независимую переменную принимается истинная аномалия (см. ч. IV, гл. 3, 4). [c.241]

Метод разложения некоторых функций г и / в периодические ряды [c.48]

Разложения некоторых функций от г и М в ряды, содержащие / [c.56]

Некоторое неудовлетворение оставляет, может быть, то обстоятельство, что для рассмотрения получившегося периодического воздействия мы все же прибегали к математической операции разложения периодической функции на синусоиды. Можно, однако, и здесь пойти более физическим путем. Мы имели дело с обычной (щелевой) решеткой, т. е. решеткой, состоящей из периодически [c.222]

Для линейной колебательной системы справедлив принцип суперпозиции. Поэтому негармоническое внешнее воздействие на систему мы можем рассматривать как сумму гармонических воздействий как влияет на систему отдельное гармоническое воздействие, мы уже знаем. И если мы знаем, как представить негармоническое воздействие в виде суммы гармонических, то мы сразу получим ответ на интересующий нас вопрос. Математические методы разложения любой функции в ряд гармонических функций (ряд Фурье) хорошо известны. Мы не будем, однако, рассматривать эту математическую задачу в полном объеме, а воспользуемся некоторыми качественными соображениями, пояснив их на конкретных примерах. [c.616]

Вообще всякую периодическую, но негармоническую функцию с частотой и можно разложить в спектр, т. е. представить в виде ряда гармонических функций с частотами со- 2о>,, 3(0i,. .. (вообще пщ, где п — номер гармоники), кратными основной частоте. Чем сильнее отличается от гармонической разлагаемая функция, тем богаче ее спектр, тем больше обертонов содержится в разложении и тем больше амплитуды этих обертонов. В общем случае спектр периодической функции содержит беско-. нечный ряд гармонических обертонов (т. е. имеющих частоты, кратные частоте основного тона), амплитуды которых, вообще говоря, убывают (но не всегда монотонно) с увеличением номера обертона. Чем более плавной является разлагаемая функция, тем быстрее убывают амплитуды обертонов. Хотя разложение периодической функции в гармонический ряд дает в общем случае бесконечный спектр, но вследствие того, что обертоны спектра обычно быстро убывают, практически приходится принимать во внимание наличие только некоторого конечного (и небольшого) числа обертонов. [c.617]

Из сказанного следует, что анализ критического состояния, основывающийся на представлении термодинамических функций в окрестностях критической точки в виде рядов, является в некоторой степени спорным его применение может быть оправдано только совпадением теоретических выводов с данными опыта. Это совпадение, наблюдающееся в ряде случаев, и надежда на то, что и некоторые другие выводы будут подтверждены опытом, собственно, и являются основанием для использования метода разложения термодинамических функций в окрестностях критической точки в ряд. [c.243]

С помощью уравнений (8.19), т. е. зная форму пограничной кривой, можно далее выяснить, насколько правомерно применяемое в некоторых теориях критического состояния разложение термодинамических функций на кривой фазового равновесия в ряд по степеням (о — оИ, (Т—Тц). [c.245]

Эти соотношения приводят к той же самой зависимости а"—и , и —п от Тк—Т, что и основные уравнения (8.19) (при этом коэффициенты при Тк—Т в обоих выражениях должны быть равны). Из этого можно сделать вывод, что разложение некоторых термодинамических функций (в частности, давления) в области критической точки в ряд по степеням V—п и Т— является правомерным. [c.246]

Теперь получим аналогичное разложение весовой функции g2i(i), представляющей собой отклик объекта на импульсное воздействие в виде б-функции, подаваемое на вход второго канала. Функция W2i p) имеет еще более сложный вид, чем Wn p). Для того чтобы найти оригинал, произведем некоторые преобразования в (4.1.41). Разложим дробно-рациональный сомножитель на простейшие дроби [c.127]

Формула (17.1.8) определяет некоторую функцию от оператора К, заданную в виде ряда. Этот ряд был получен в результате разложения левой части соотношения (17.1.7). Аналогичным образом может быть определена произвольная функция [c.584]

Разложим производную у ( , х) в ряд вида (2.13) по собственным функциям краевой задачи (4.2). Из (4.1) — (4.3) вытекает, что коэффициенты разложения удовлетворяют уравнениям типа (3.9). Обозначим через Х,, минимальное положительное собственное значение краевой задачи (4.2) ). Ясно, что есть некоторая функция величин Р а g. Полагая в системе (3.9) функцию старения <р (т) = Со, получаем, что условие устойчивости в этом случав имеет вид [c.269]

Некоторые другие виды разложений по функциям Бесселя см. на стр. 241. [c.267]

Ниже приведены приближенные формулы для некоторых выражений, встречающихся особенно часто, получающиеся из разложения соответствующей функции в ряд. Значения предельной относительной погрешности даны [c.70]

Простота разложения передаточной функции Ф (р) не достигается без потерь. Использование такого разложения приводит к ошибкам в определении переходных процессов. Однако эти ошибки не превышают, как будет показано ниже, 10—20% и в некоторых крайних случаях 30% от текущих значений координат или от характерных параметров кривых. Такие ошибки можно считать допустимыми, тем более, что обычно значения выбираемых параметров систем соответствуют таким сочетаниям значений [c.61]

Пусть Xi, 2,. . ., — координаты подвижных грузов па роторе. Для решения поставленной задачи нужно подобрать такие функции Xi(/), x t),. . ., Xn t), которые бы минимизировали функцию качества. Представим Xj,. . . , в виде разложения по некоторым функциям ф1 (О, Ф2 t).....Ф, (0 [c.131]

В следующих параграфах мы о помощью этих теорем решим различные задачи теплопроводности. Некоторые из них были уже решены другими методами, но при решении их мы каждый раз допускали, что возможно такое разложение произвольной функции, которое требуется задачей. В излагаемом сейчас методе нет необходимости в таком допущении. [c.191]

Некоторые функции, разложенные в ряды [c.37]

Далее, необходимо найти конформное отображение кольцеобразной области на кольцо в плоскости -гю (см. рис. 40). Это отображение при заданном годографе ско-< рости произвольной формы получается при помоши численных методов или с применением электрического моделирования. Ввиду практических трудностей численного отображения возможно также проведение указанных выше преобразований в обратном порядке, т. е. построение теоретических годографов некоторых специальных форм. В качестве простейшего способа построения теоретических годографов двухрядных решеток можно указать следующий. Путем дробно-линейного преобразования кольцо из плоскости w переводится в эксцентричное кольцо в плоскости С, из которого затем преобразованием типа Жуковского может быть получен теоретический годограф. Наличие свободных параметров, которыми можно распорядиться для вариации формы годографа и удовлетворения указанных выше условий положения критических точек и замкнутости профилей решетки, обеспечено возможностью выбора эксцентриситета кольца в плоскости С, положения в нем точек -5 = 1, w и а также величины циркуляции Г. Теоретические годографы общего вида можно получить, задавая коэффициенты разложения отображающей функции [c.141]

Из вида формулы (68.8) ясно, что операторы пк = Ок имеют смысл операторов числа частиц в к-м состоянии. Соотношение а ак = = пк несколько напоминает разложение некоторой волновой функции (г) по произвольному ортонормированному базису (рк(> ), где квадраты модулей представляют собой вероятности нахождения системы в состояниях (рк )- [c.351]

Положение несколько изменилось в связи с привлечением к исследованиям ЭЦВМ. Появилась возможность уточнять решения, увеличивая число степеней свободы оболочки. В результате в ряде работ [7.13, 7.41, 7.43, 7.50] было найдено, что нижняя критическая нагрузка уменьшается с увеличением числа членов, удерживаемых в разложении искомых функций. Величина ее для случая осевого сжатия оболочки составляет сотые доли величины верхней классической нагрузки, причем соответствующие ей прогибы имеют большую величину, при которой под сомнение ставится корректность применения исходных уравнений. Более того, в некоторых работах получены отрицательные значения нижней критической нагрузки. Эти, а также некоторые экспериментальные работы [7.56, 7.57], в которых было дано обоснование нелинейной теории, изменили прежнюю точку зрения на нижнюю критическую нагрузку как на характеристику устойчивости оболочек. [c.10]

Величина 6 определяется из соответствующих разложений Тейлора функции в окрестности некоторой точки с глобальными координатами Эо при So-i -ЭiS, S- где 2 б - характерный размер элемента, т.е. имеем [c.36]

Существует много математических методов приведения трехмерных уравнений теории оболочек к некоторой последовательности систем двумерных уравнений, описывающих напряженное состояние тонких оболочек. С этой целью применялись разложения в степенные ряды по толщине (72, 159], разложения по функциям Лежандра (15, 105, 106, 140], а также энергетические подходы (88]. Метод, изложенный в этой главе, можно назвать асимптотическим. Он развивался в последние годы рядом авторов для изотропных однородных оболочек [3, 12, 20, 34, 54, 55, 75, 76, 144—147, 171, 172, 179], для анизотропных оболочек (1, 2] и, наконец, для слоистых пластин (65—68, 150]. Обзоры работ, посвященных проблеме сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек, можно найти в [34, 58, 157, 158]. [c.408]

Если функция Грина известна, то решение задачи теплопроводности для заданной области, при заданных граничных условиях и начальной температуре, являющейся произвольной функцией пространственных координат, можно сразу же записать при помощи формул данного раздела. Некоторые из этих решений были уже получены другими методами, но при этом мы каждый раз допускали, что возможно такое разложение произвольной функции, которое требуется задачей. В излагаемом сейчас методе нет необходимости в подобном допущении ). [c.350]

В работах Б. П. Соколова [32, 33] и Ч. Г. Мустафина [20, 22, 33] сделана попытка найти распределение усилий между зубьями елочного замка в стадии деформации ползучести. Решение этой задачи основано на использовании левых прямолинейных частей диаграмм напряжение—деформация , относящихся к малым деформациям. Этот прием обосновывается тем, что область работы реальных деталей ограничивается допустимой деформацией за весь срок их службы, для рабочих лопаток и дисков турбин, составляющей 0,1—0,2% (хвостовые соединения рассчитываются на длительный срок службы около 100 ООО часов) . При этом, однако, совершенно не учитывается тот факт, что в зубцах елочных замков возникают значительные местные напряжения и деформации, превышающие средние расчетные величины, вследствие чего указанный выше прием недопустим при расчете. Кроме того, в работе [32] используется метод разложения некоторой функции в ряд по степеням малого параметра , каковым здесь является tg р, где р — угол наклона хвостовика лопатки. Автор ограничивается линейными членами этого разложения между тем tg р не является малым параметром, так как р = 10- 20°. Таким образом и этот прием также не оправдан. По тем же причинам нельзя согласиться с методом определения теоретических величин зазоров между опорными поверхностями зубьев, обеспечивающих линейное распределение нагрузки между зубьями елочного замка, в работах [20, 22], не говоря уже о том, что вопрос этот, при существующей точности изготовления елочных замков, практически мало интересен. [c.7]

Приведем разложения некоторых функций эллиптического движения в тригонометрические ряды по кратным эксцентрической аномалии Е. Ряды по кратным Е представляют интерес, особенно в тех случаях, когда при решении уравнений возмущенного дзиже.чия (см. ч. IV, гл. 3, 4) в качестве независимой переменной принимается эксцентрическая аномалия. [c.239]

Ниже приведены приближенные формулы для некоторых выражений, встречающихся особенно часто, получающиеся из разложения соответствующей функции в ряд. Значения предельной относительной погрешности Ощах ДЭны в таблице везде с избытком (например, вместо 11,1 принято 12 и т. д.). [c.70]

В системе (31) некоторые угловые переменные (h, Q я,) включены в вектор медленных переменных х, хотя классические разложения небесной механики указывают на то, что X, Y являются 2л-периодичпыми по Ла. Поэтому наиболее привычное разложение возмущающей функции R, для задач небесной механики записывается в форме [7] [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...