Дифференциальные Способ последовательных решени

Заключение. В частных задачах интегрирование дифференциального уравнения (32.2) может быть достигнуто тем или иным способом последовательных приближений. Имеется решение задачи [c.131]

Как правило, под такими методами подразумевают прежде всего какие-либо способы представления решений некоторого класса дифференциальных задач с начальными условиями или краевыми условиями в виде математических объектов с простой структурой в виде аналитической формулы, в виде некоторого интеграла от известной функции — квадра,туры, достаточно быстро сходящегося или носящего асимптотический характер ряда с последовательно вычисляемыми коэффициентами. В первых двух случаях, пользуясь стандартными методами численного анализа, можно при любом фиксированном наборе входных параметров получить решение с заданной степенью точности за очень малое время ЭВМ, иногда это удается сделать и в третьем случае. Часто в первых двух случаях или в случае сходящегося ряда говорят о построенных точных решениях. В последнее время под термином получено точное решение понимают и ситуацию, когда задача сведена к интегрированию системы небольшого количества обыкновенных дифференциальных уравнений при условии отсутствия особенностей (конечный промежуток интегрирования, достаточно гладкие коэффициенты и т. п.). Такого типа задачи можно практически с произвольной точностью (снова при фиксированном наборе входных параметров) решить на ЭВМ с помощью стандартных численных методов за сравнительно короткое время. [c.14]

Метод Вайнштейна ). В частном случае пластинки, защемленной по контуру, можно сперва искать решение дифференциального уравнения Д Дш, = qlD для заданной нагрузки q и для граничных условий = О, Д , = О, отличающихся от условий, заданных в действительности. В 24 было показано, что этот последний способ эквивалентен последовательному решению двух задач, относящихся к равновесию нагруженной мембраны. [c.390]

В нашем случае, т. е. когда величина е весьма малая, можно применить способ разложения, указанный в моей статье О применении способа последовательных приближений к нахождению решения некоторых дифференциальных уравнений колебательного движения (Изв. Акад. Наук, 1933), развивая в ряд совместно как частоту колебаний, так и самый вид решения. По этому способу полагаем [c.173]

В работе П. И. Семенова [6 ] рассматривается аналитический способ приближенного решения задачи, основанный на разложении в ряд записанного в форме Ясинского дифференциального уравнения изгиба (в относительных координатах). Расчеты ведутся методом последовательных приближений. Способ пригоден для подсчета перемещений средней величины. В другой работе того же автора [5] рассматривается методика графического определения больших перемещений изгиба. [c.56]

Крылов А. Н. О применении способа последовательных приближений к нахождению решения некоторых дифференциальных уравнений колебательного движения. Изв. АН СССР, стр. 1 (1933). [c.908]

Заключительные замечания. В частных задачах интегрирование дифференциального уравнения (29.2) может быть достигнуто тем или иным способом последовательных приближений. Имеется решение задачи о концентрации напряжений, вызванной мелким пазом на поверхности скручиваемого стержня 1 ]. В ряде случаев приближенное решение можно построить при помощи вариационного метода (см. 68). [c.130]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

Для числовых расчетов стационарного потока в пограничном слое очень важным моментом наряду с положениями теории пограничного слоя является наличие области неустойчивости. Настоящая задача пограничного слоя, как соответствующая задача с начальными значениями точнее, краевая задача с начальными значениями), определяется сугубо приближенным способом решения — методом последовательного продолжения профиля скорости. Очень важное значение для расчета каждого профиля имеют начальные условия. Причем возникающая неточность в расчете, неизбежная в приближенных методах, передается на последующие профили таким же образом, как и собственные возмущения на распределение скоростей. А именно, неточность возрастает, если дифференциальные уравнения неустойчивы, и, наоборот, приближенный метод может уменьшить числовую неточность, если дифференциальные уравнения устойчивы. [c.285]

В рамках метода эволюции по константе связи, использовавшегося ранее для описания лишь упругих процессов, предлагается новый способ рассмотрения неупругих многоканальных процессов обш его типа. Дифференциальные по константе связи уравнения для амплитуд упругих каналов дополняются простыми алгебраическими уравнениями для неупругих переходов, что в совокупности дает полное и однозначное решение задачи с соблюдением условия унитарности на каждом этапе последовательных приближений. Метод иллюстрируется на примере задачи о рассеянии частицы на связанном комплексе, имеюш ем несколько уровней возбуждения. [c.310]

Внося зависимости (23) в уравнение (5), получим дифференциальное уравнение прогиба ш это будет нелинейное уравнение четвертого порядка, переходящее при т = 1 в классическое уравнение (21). Решение этого нелинейного уравнения наталкивается на большие трудности и реализуется численными способами или методом последовательных приближений (метод упругих решений ). [c.621]

В дальнейшем рассмотрим способы построения некоторых поверхностей контроля в той постановке и в той последовательности, в которой они возникали при решении задач дифференциальной диагностики. [c.55]

Для решения отдельных задач измерений температуры применяются р азличные способы соединения термоэлектрических термометров. Наиболее распространенные из них — термобатарея и дифференциальная термопара. Для увеличения коэффициента преобразования термоэлектрического термометра применяют последовательное включение нескольких термопар (термобатарею) (рис. 5.5). При этом термо-ЭДС, развиваемая термопарами. [c.26]

Строгие решения дифференциального уравнения продольного изгиба известны лишь для простейших задач. Поэтому инженерам приходится часто довольствоваться лишь приближенными решениями. Идя навстречу такого рода запросам, Энгессер предложил метод ) вычисления критических нагрузок способом последовательных приближений. Чтобы получить приближенное решение, он рекомендует задаться некоторой формой изогнутой кривой, удовлетворяющей граничным условиям. Эта кривая является вместе с тем и эпюрой изгибающих моментов, из которой, пользуясь методом моментных площадей, мы имеем возможность вычислить прогибы. Из сравнения вычисленной таким путем кривой прогибов с первоначально принятой можно получить уравнение для определения критического значения нагрузки. Чтобы прийти к лучшему приближению, Энгессер принимает вычисленную кривую как новое приближение для упругой кривой продольно изогнутого стержня и повторяет расчет, аналогично проделанному такой прием воспроизводится несколько раз. Вместо того чтобы оперировать с аналитическим выражением для первоначально принятой упругой кривой, можно исходить из ее графического представления и последовательные приближения находить графическим методом ). [c.358]

В связи с попытками решения проблемы приведения вариационными методами следует отметить постановку задачи о наилучшем варианте системы дифференциальных уравнений для определения основных напряженных состояний. Обычно структура уравнений задана (например, в случае изгиба пластинки требуется, чтобы разрешаюш,ее уравнение было четвертого порядка), иш ется наилучшее в энергетическом смысле и постоянное по срединной поверхности распределение перемеш,ений и напряжений ло толш ине, выраженных через одну (искомую) функцию от % (Л. Я. Айнола, 1963). Задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений способом последовательных приближений. [c.263]

Способ поэтапного интегрирования для кусочнолинейных систем. Как мы видели выше, в нелинейных системах с кусочно-линейными характеристиками удобно разделить весь процесс движения на последовательность интервалов, в каждом из которых дифференциальное уравнение линейно и легко решается в замкнутом виде. Тогда задача сводится к последовательному решению нескольких дифференциальных уравнений и п р н-пасовыванию найденных решений путем согласования значений координаты и скорости на границах интервалов. [c.209]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводится к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобный способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показьшает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

Оба указанных способа дают возможность построить (путем последовательных приближений) решение для эллиптической и тe. ы из двух нелинейных уравнений в строгой постановке по методу прямых, не решая совместно систему 2N дифференциальных уравнений (Л/ — число сечений), так как в каждом приближении решаются системы из двух уравнений изолированно в каждом сечении. Возможность такого построения решения для рассматриваемой эллиптической системы (т. е. сходимость приближений) обусловливается в методе решения выбором расчетной сетки (близкой к естественной) и сглаживающим воздействием уравнения неразрывности в интегральной форме, чем, по существу, и учитывается эллиптичность этой системы даже при использовании разностей назад. [c.333]

Так как в упругопластической области исходные дифференциальные уравнения становятся нелинейными, а коэффициенты переменными, методы их решения существенно усложняются. Однако в данной работе применен способ разбиения интервала интегрирования на участки, в пределах которых коэффициенты уравнений считаются постоянными. При этом использование решения в матричной форме метода начальных параметров также дает существенное преимущество [11]. Поскольку соответствующая этому способу физическая дискретизация конструкций, состоящей из разнородных оболочек, пластин и колец, не отличается, по существу, от случая упругого расчета, то матричный метод расчета, изложенный в работе [9], и составленная на ого основе сомпактная программа расчета для ЭЦВМ оказываются полностью пригодными для упругопластического расчета составных конструкций из элементов оболочек, пластин и колец. Эффективность предлагаемого метода упругопластцческого расчета определяется не только этим удобством. Выполненные расчеты показа-, ли значительно более быструю сходимость последовательных приближений по сравнению с методами, основанными на замене дифференциальных уравнений интегральными [3]. Еще в большей мере, чем при упругих расчетах, сказывается экономичность предлагаемого метода расчета на Э1],ВМ по сравнению с методами численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. , [c.124]

Способам выбора коэффициентов турбулентной диффузии для конкретных задач и методам решения соответствующих полуэмпирических уравнений турбулентной диффузии посвящалось очень большое количество работ советских и зарубежных авторов. Большая часть из них касается плоскопараллельных течений, в которых обычно коэффициенты Ки можно считать функциями одной лишь вертикальной координаты 2, Одной из первых работ, в которой полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии применялось к решению метеорологических задач (касающихся приземного слоя воздуха), была работа А, А. Дородницына (1941), предположившего, что К (г) 1 — ехр —г/Ь). Позже Д. Л. Лайхтман (1944, 1947 и др.) широко использовал допущение о том, что в приземном слое атмосферы профиль ветра й ) и коэффициенты турбулентной диффузии можно аппроксимировать степенными функциями от высоты 2. Укажем также на обширную работу по полуэмпирической теории турбулентной диффузии А. С. Монина (1956), в которой устанавливается статистический смысл полуэмпирического уравнения диффузии (являющегося фактически дифференциальным аналогом разностного уравнения, правильно описывающего эволюцию последовательности координат диффундирующей частицы в дискретные моменты времени, разделенные интервалами, превышающими характерный лагранжев масштаб времени) и даются формулировки и методы решения основных задач для этого уравнения. [c.479]

Изложив ватем вкратце методу Хилля, А. М. Ляпунов дает свой совершенно оригинальный способ решения основных дифференциальных Уравнений, рассметренных Хиллем, причем анализом необыкновенной проницательности и строгости доказывается сходимость процесса последовательных приближений, примененного Хиллем, и равномерная сходимость рядов, которыми он пользуется, если только [c.208]

В предыдущем параграфе иы видели, что аналитическое решение этого уравнения, как правило, громоздко или даже невозможно. Во многих практических случаях, в частности, когда отнесенная к единице массы восстанавливающая сила p f[x) определена только графически, может оказаться необходимым прибегнуть к какому-нибудь методу последовательного принасовывания. Выло предложено несколь- <0 приближенных графических способов решения дифференциальных уравнений мы начнем со способа, предложенного Кельвином ) и являюихегося хронологически, вероятно, одним из первых. [c.135]

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных классическими способами, т. е. интегрированием с соответствующими граничными условиями, для большинства основных задач невозможно. Поэтому для приведения непрерывной задачи к дискретному виду и ее решения требуются методы численного анализа. Значения неизвестных определяются на большом, но конечном числе узлов как в пространстве, так и по времени, чтобы получалось по возможности точное решение уравнений. В программе FIELDAY используются метод конечных элементов для уравнения Пуассона комбинированный метод (конечно-разностный/ко-нечных элементов) для уравнений непрерывности [16.10]. Скорость изменения плотности подвижных носителей во времени аппроксимируется по методу Эйлера. Полученные уравнения линеаризуются затем одним из двух методов. Первый предусматривает разделение системы трех дискретных уравнений уравнения решаются последовательно [16.11]. Применение второго, более сложного метода подразумевает одновременное решение всех уравнений с линеаризацией по методу Ньютона [16.12, 16.13]. Оба метода приводят к матричным уравнениям большой размерности с сильно разреженными матрицами для получения окончательного результата эти уравнения необходимо решать многократно. [c.464]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...