Независимые и зависимые координаты. Обобщенные координаты

Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат 6<7i, в< 2.....(105) также между собой независимы. При этом каждая из величин (105) определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы. Как при всяком переходе от одной системы координат к другой, декартовы координаты Xt , у , Zt любой точки рассматриваемой механической системы можно выразить че ез обобщенные координаты зависимостями вида x =Xk qi, [c.370]

Среди этих т интегралов могут быть и зависимые, т. е. некоторые из равенств, входящих в систему (27), могут оказаться следствиями остальных. Такие зависимые первые интегралы не могут быть использованы для упрощения уравнений движения, и нас интересуют лишь системы независимых первых интегралов (27). Если т=--2п и если все равенства, входящие в систему (27), независимы, то система первых интегралов называется полной. В силу независимости функций, входящих в эту систему, полная система из т = 2п первых интегралов может быть разрешена относительно аргументов — ими являются координаты и обобщенные импульсы —и представлена в виде [c.266]

Однако всякий механизм, независимо от того в состав какой машины или прибора он входит, обладает определенными кинематическими свойствами, не зависящими от закона изменения параметров или х ведущего звена. Эти параметры мы будем называть обобщенными координатами. Не зная истинного закона изменения обобщенной координаты, можно определить зависимости кинематических параметров звеньев и точек механизма от обобщенной координаты. [c.41]

Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой, а ее движение — одним уравнением Лагранжа. За обобщенную координату можно взять, например, абсциссу дсд центра диска или угол ф отклонения маятника от вертикали, но не надо брать за обобщенные координаты обе эти величины и составлять два уравнения Лагранжа по каждой из координат, потому что обобщенные координаты должны быть независимыми друг от друга величинами, а и ф являются зависимыми и связаны соотношением = гф. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Выбор той или иной обобщенной координаты зависит от нас. Мы выберем ф. Выразим в этой обобщенной координате и обобщенной скорости ф кинетическую и потенциальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика Л1, принимаемого за материальную точку, учитывая, что по уравнению связи = гф [c.283]

Метод С. А. Чаплыгина приводит к системе уравнений с первыми N независимыми обобщенными координатами Лагранжа, Зависимые обобщенные скорости исключаются на основании уравнений связей. Если оставить в стороне частные особенности вычислений С. А. Чаплыгина, связанные с ограничениями, наложенные им на коэффициенты уравнений связей и силы, действующие на точки системы, то основными особенностями его метода является выбор независимых координат и способ исключения зависимых обобщенных скоростей. [c.164]

Левая часть (21.39) представляет собой безразмерную искомую температуру [где характерная температура i>o = r V(2X)], в правую входит независимая переменная в форме безразмерной координаты х/1 и комплексный параметр в форме числа Био. Таким образом, (21.39) представляет собой конкретную обобщенную зависимость вида (20,11) [c.212]

Для механизмов с переменным передаточным отношением и приведенный момент инерции Jn (ф) является функцией углового перемещения ф звена приведения, т. е. зависит от положения, определяемого обобщенной координатой ф. С. учетом зависимости /п(ф) уравнение (19.23) дифференцируют как функцию двух независимых переменных со и Jn- [c.379]

При анализе механизмов обычно известны их кинематические схемы и размеры звеньев, и поэтому в уравнениях, отображающих движение механизмов, известными являются коэффициенты при переменных величинах, а искомыми — эти переменные величины или функции обобщенных координат, например функции движения ведомых звеньев в зависимости от независимых переменных, определяющих движение ведущих звеньев. [c.73]

В случае голономных связей трудность первого рода разрешается введением обобщенных координат. До сих пор мы встречались только с декартовыми координатами, и система, состоящая из N материальных точек, будучи свободной от связей, имела SN независимых координат, или, другими словами, SN степеней свободы. Если на эту систему наложены голономные связи, выражаемые k уравнениями вида (1.35), то мы можем с их помощью исключить k координат из общего числа ЗЛ/ и получить, таким образом, лишь 3N — k независимых координат. В этом случае про систему говорят, что она имеет 3N — k степеней свободы. Исключение зависимых координат может быть произведено и другим путем. Он состоит в том, что вводят 3N — k независимых переменных qi, Q2.....q-iN-h, которые позволяют выразить координаты Г , Гг,. .., через эти переменные. В этом случае мы будем иметь соотношения вида [c.23]

При рассмотрении приложений метода Лагранжа было видно, что существование циклических координат обусловливает постоянство величин, которые иногда, на основании предварительных сведений, можно отождествить с компонентами количества движения (компонентами импульсов). Однако надо особенно подчеркнуть, что выражение количества движения никогда не фигурирует в явном виде в связи с трактовкой Лагранжа. Основная черта метода Лагранжа состоит в том, что независимыми переменными являются время и обобщенные координаты. Производные по времени от обобщенных координат также явно входят в уравнения, но в конечном счете всегда будут зависимыми переменными. Это обстоятельство иллюстрируется использованием для представления движения системы понятия траектории в пространстве конфигураций. [c.56]

Независимые координаты получаются, например, путем исключения одной из координат (17.8) при помощи зависимости (17,9), но можно поступить и иначе — сразу принять в качестве независимых пяти координат (обобщенных [c.13]

Общие формулы. Пусть имеется среда, в которой могут существовать п независимых волн с постоянными распространения к[, /с2,..., кп. Примеры таких сред рассмотрены в главе 5. Продольные волны в стержне согласно теории Бернулли соответствуют случаю п = 1. Для его изгибных и крутильных колебаний п = 2. Для стержней несимметричных профилей п может равняться шести и т. д. Волновое движение такой среды описывается п обобщенными смещениями ui, U2,.. Un, являющимися функциями времени и пространственной координаты х. Ограничиваясь гармоническими процессами, в которых все величины имеют множитель ехр —iat), зависимости между ними удобно записывать в векторной форме. Обозначив через и (х) вектор-столбец, име- [c.169]

Среди переменных параметров один параметр, а именно а.2 или flj, является независимым (обобщенная координата д механизма), а остальные - зависимыми. Независимый параметр считается известным, а зависимые параметры неизвестны и подлежат определению при анализе механизма. [c.419]

Исследовать устойчивость системы, определяемой выражениями (31) и (32), практически неудобно из-за множества обобщенных координат. Вместо этого здесь применен метод, заключающийся в отыскании эквивалентной системы с числом степеней свободы, равным числу, независимых главных координат. Если добиться, чтобы амплитудно-частотные соотношения (или зависимости амплитуда—фазовая ско- )ость), соответствующие установившемуся движению обеих систем, совпали, то, как доказано в работе [15], характеристики устойчивости этих систем будут одинаковыми. [c.68]

Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре. При выводе уравнений движения из принципа Гамильтона предполагалось, что независимыми являются только координаты ди д2,. .., ди- Обобщенные скорости и импульсы предполагались зависимыми. Относительно вариаций координат предполагалось а) вариации б9i обращаются в нуль на концах интервала времени (при t=to и t = il) , б) вариации б , произвольны и независимы внутри интервала ( 0, ). Французский математик и механик А. Пуанкаре [c.466]

X независимыми, а обобщенные скорости у — зависимыми только потому, что у выражаются через х с помощью соотношений (41), понимая чистую условность такого определения. Относительно и х п)-матрицы М(х, у) будем предполагать, что она непрерывно дифференцируема по входящим в нее обобщенным координатам. [c.442]

Уравнения Лагранжа (28.11) были получены из принципа Даламбера (28 2) путем исключения зависимых виртуальных перемещений с помощью формул (28 3), представляющих собой преобразование радиусов-векторов материальных точек системы к ее обобщенным координатам да Следует иметь в виду, что сам выбор обобщенных координат системы неоднозначен. Для одной и той же системы всегда можно указать несколько наборов независимых параметров, однозначно определяющих ее положение в пространстве и удовлетворяющих уравнениям связей. Последнее означает, что обобщенные координаты да какого-нибудь одного набора можно задать с помощью однозначных функций х параметров да и времени составляющих другой возможный набор обобщенных координат [c.164]

Напомним, что в методе Лагранжа независимыми переменными считаются обобщенные координаты и время Производные по времени от обобщенных координат (т. е. обобщенные скорости д )тоже явно входят как в лагранжиан I, так и в уравнения Лагранжа (29.2), однако, несмотря на это, переменные считаются зависимыми. Это обстоятельство в методе Лагранжа находит свое отражение в том, что для описания движения системы вводится понятие о ее траекториях в конфигурационном пространстве. Такой способ описания движения не лишен некоторых недостатков. Действительно, задание какой-нибудь точки в таком пространстве дает только з начальных условий, и, следовательно, для того чтобы полностью определить движение системы, требуется задать еще з [c.187]

Лагранжиан (48.3) записан в зависимых координатах х, у, г. Чтобы перейти к независимым (обобщенным) координатам, введем цилиндрические координаты р, ф и г, где р = АВ и ф — угол между координатной плоскостью хАу и мгновенной плоскостью качания маятника АВВ (см. рис. 48.1). [c.273]

Теория катастроф Во многих физических системах положения равновесия находят исходя из потенциала приравнивая нулю производные потенциала по обобщенным координатам. Теория катастроф занимается изучением зависимости числа положений равновесия от параметров задачи, например от нагрузок в упругих системах. Теория катастроф предсказывает, что вблизи некоторых критических значений таких параметров число положений равновесия изменяется заранее известным образом и что эти изменения носят универсальный характер для некоторых классов потенциалов. Основателем теории катастроф принято считать французского математика Рене Тома. В строительной механике независимо развивался свой частный вариант теории катастроф, занимавшийся изучением чувствительности критических нагрузок с дефектами структуры. [c.273]

Введение обобщенных импульсов полностью изменяет точку зрения. Как было установлено выше, метод Лагранжа рассматривает координаты системы как независимые величины, определяющие положение системы. Зависимость каждой из этих переменных от времени находится из решения системы дифференциальных уравнений второго порядка, известных под названием уравнений Лагранжа. Другой подход состоит в том, что в качестве независимых величин рассматриваются как. координаты, так и импульсы. Тогда конечной целью любой задачи является нахождение всех этих величин в виде явных функций времени. [c.58]

Резз льтаты опытов [Л. 234 и 235] показаны на рис. 8-6 в виде зависимости фактора переноса массы ja от критерия Рейнольдса. В этих координатах каждая псевдоожиженная система характеризовалась своей линией зависимости, в то время как неподвижный слой характеризовался единой линией для всех диаметров частиц. С увеличением размера частиц линии для псевдо-ожиженного слоя сдвигаются вправо. Однако, построив график зависимости jd от модифицированного числа Рейнольдса Re/(1—т), Чу и соавторы получили единую линию, показанную на рис. 8-7. Как утверждает Чу [Л. 234], эта обобщенная зависимость применима к неподвижному и псевдоожиженному слоям независимо от рода среды (газа или капельной жидкости). К сожалению, как видно из рис. 8-7, в области высоких Re разброс точек для [c.273]

Прекрасные результаты Пуанкаре и Четаева разрабатывались и обобщались во многих работах [7-23]. В частности, уравнения Пуанкаре и Четаева были применены для систем с бесконечным числом степеней свободы и распространены на неголономные системы. Дано также обобщение этих уравнений на замкнутые системы преобразований, когда структурные коэффициенты переменны. Показано, что обобщенные уравнения Пуанкаре и Четаева включают уравнения движения как в независимых, так и в зависимых переменных, как в голономных, так и в неголономных координатах (квазикоординатах) для голономных и для неголономных систем, и в этом смысле являются общими уравнениями аналитической динамики. [c.4]

Перейдем от п независимых декартовых координат к каким-то п независимым обобщенным координатам по определенным формулам перехода, т. е. выразим независимые декартовы координаты через п тоже независимых между собой обобш.енных координат Затем благодаря уравнениям связей (3) выразим и остальные зависимые декартовы координаты через эти же обобщенные координаты. В результате окажется, что если на систему точек наложено I голономных связей, то все декартовы координаты точек системы могут быть выражены при помощи конечных соотношений через какие-то подходящим образом выбранные обобщенные координаты, число которых равно п = ЗЫ — / [c.323]

Таким образом, выявляется существенное различие между системами с голономными связями и с неголономными. При голономных связях в системе все обобщенные координаты являются независимыми между собой переменны. и величинами. Между их приращениями ие суищствует никаких заранее данных зависимостей. Могут существовать любые комбинации этих приращений, например можно мыслить такое возможное иере.мещение системы, которое происходит вследствие того, что одна толь о координата 1 получает приращение 6q , а приращения остальных координат равны нулям [c.327]

Следовательно, п дифференциалов и п вариаций 6 / связаны между собой I услогит-тми (линейными). Это означает, что независимых вариаций обобщенных координат имеется п — I = р. Зависимые дифференциалы или вариации выражаются через независимые р = п — I дифференциалов или вариаций [c.378]

Подставляя в (111) и в (111 ) выражения дифференциалов зависимых обобщенных коордгтнат п их вариаций, получаем выражения df j и бгу через диффырепциалы dpa п вариации bq независимых обобщенных координат причем линейные выражения относительно дифференциалов и вариаций с какими-то коэффициентами, являющимися функция.мн от всех значений <7 н t, имеют вид п [c.378]

В качестве примера применения разработанного метода построения моделей механических систем рассмотрим одноступенчатую зубчатую передачу на упругих опорах (рис. 62). В этом случае при выбранной системе координат Oxyz для прямозубой цилиндрической передачи реакции связей зубчатых колес с корпусом передачи действуют в плоскости г/Oz. Движение упруго-опертого корпуса при колебаниях мояшо охарактеризовать тремя обобщенными координатами двумя смещениями s , его центра масс вдоль осей 0 / и Oz и малым поворотом корпуса относительно оси Ох. Предполагается, что начальное положение абсолютной системы координат Oxyz определяется положением центра масс корпуса передачи в состоянии статического равновесия. При рассматриваемой плоской схеме перемещений корпуса зубчатой передачи каждая упругая опора Kopnjxa в зависимости от конструктивного исполнения схематизируется в виде одного или двух одномерных независимых упругих элементов, расположенных вдоль главных направлений жесткости опор. [c.175]

Кинематическая гипотеза (2.8) уже не является независимой ( paBHine с независимыми гипотезами (1.1), (1.2), сформулированными в гл. 1). Если внимательно проследить за всем ходом рассуждений, то можно видеть, что формулы (2.8) следуют из статической гипотезы (2.1), уравнений закона Гука и деформационных соотношений. Гипотезу (2.8) в дальнейшем будем называть обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко. Она позволяет, в отличие от кинематической гипотезы типа Thmouioiko (1.1), описать нелинейную зависимость тангенциальных перемещений от поперечной координаты z. [c.34]

При изучении колебаний системы разделяют по числу стеш-ней (яободы. Под числом степеней свободы понимают число независимых переменных, обобщенных координат, необходимых и достаточных для описания положения системы в любой момент времени. Каждая реальная система обладает бесконечным числом степеней свободы, так ках дня описания ее положения в произвольный момент времени необходимо бесконечное число параметров. Однако в зависимости от задачи, которую приходится решать, можно реальную систему представить в виде расчетной схемы с конечным числом степеней свободы. Поясним сказанное на примере. На рис. 13.7, а изображен вал с насаженным на шго диском. Прв рассмотрении колебаний вала во многих случаях можно пртнебречь его массой. Диск, в свою очередь, можно считать абсолютно жестким. Тогда перемещение любой точки вала будет определяться шестью величинами — тремя поступательными перемещениями центра массы диска в направлении координатных осей и тремя углами поворота диска относительно этих же осей. В этом случае получим систему с шестью степенями свободы (рис. 13.7, б). Если считать, что вся масса диска сосредоточена в его центре в точке О, то перемещения точек вала будут зависеть от трех поступательных перемещений центра массы диска и система будет иметь три степени свободы фис. 13.7, в). Наконец, рассматривая только изгибиые колебания в вертикальной плоскости, получим сис му с одной степенью свободы (рис. 13.7, г). [c.350]

Кинематические передаточные функции (КПФ) — это функциональные зависимости между угловыми и линейной координатами, скоростями и ускорениями точек и звеньев механизма. К КПФ относятся функции положения, аналоги скоростей, аналоги ускорений точек и звеньев механизма, а также передаточные отношения. Например, аналог скорости точки А = (38д/с1ф = Уд/ , передаточное отношение (1фус1ф . Кинематические передаточные функции не зависят от времени и характеризуют кинематические параметры механизма независимо от закона изменения обобщенной координаты. КПФ определяются только кинематической схемой механизма и положением его звеньев. [c.219]

Это оказывается возможным, если воспользоваться тем обстоятельством, что лаграь жиан (или гамильтониан) системы не зависит явно от времени, и поэтому из уравнений можно исключить время. Это значит, что роль времени тогда должна играть какая-либо из координат q, например, Qi. В результате интегрирования таких уравнений остальные координаты должны быть выражены как функции этой специально выделенной координаты, а их зависимость от времени вводится затем отдельно при помощи одной квадратуры, определяющей зависимость выделенной координаты <7i от t. Далее будет показано, как, используя этот прием, можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение консервативной и обобщенно консервативной систем, на два и ввести независимую квадратуру. [c.326]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

По существу, дело так и обстоит при истолковании и обобщении экспериментальных фактов, касающихсй быстрых движений, и формулировке законов этих движений можно обойтись без применения теории относительности, пока не ставится вопрос о переходе к другим системам координат, движущимся по отношению к той исходной системе координат, для которой эти законы сформулированы. Исторически же дело обстояло совсем иначе когда возникла теория относительности, было известно еще очень мало экспериментальных фактов о движениях быстрых электрически заряженных частиц. Между тем уже в первой работе А, Эйнштейна по теории относительности (появившейся в 1905 г.) были теоретически выведены законы быстрых движений со всеми характерными их чертами (зависимость массы от скорости, связь между энергией и массой, различие между нормальным и тангенциальным ускорением и т. д.). Таким образом, хотя по существу законы быстрых движений являются обобщением опытных фактов и могут быть установлены независимо от теории относительности, открытием этих законов наука обязана теории относительности. Тем самым изложение законов быстрых движений вне связи с теорией относительности является отступлением от исторического хода развития механики теории относительности. [c.240]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Как было отмечено в 3-2, число взаимно непреобразуемых безразмерных комплексов получается на единицу меньшим числа физически разнородных членов используемого уравнения. Разумеется, не все эти комплексы обязательно являются критериями подобия. Если в состав комплекса входит хотя бы одна из размерных переменных, будь то независимая (координата, время) или зависимая переменная, то комплекс не получает роли критерия подобия, а образует попросту обобщенную переменную. В зависимости от постановки конкретной задачи каждый данный комплекс может оказаться критерием подобия, но может им и не быть. [c.71]

Основным независимым параметром, относительно которого определяют изме нение прочности, принимается прочность каждого стеклопластика при времени испытания 100 сек gt = 2), которую приняли за стандартную прочность сгст. Для каждого материала находится прочность при интересующем времени испытания ст( г). Окончательный обобщенный график получается статистической обработкой координат [о ст, o( i) ], [о ст, a(ii)2] и т. д., которые служат для получения корреляционной зависимости прочности различных стеклопластиков от стст при выбранном времени испытания. Выбирая любое заданное значение времени испытания, можно получить пучок зависимостей a t)—аст-Обработанные таким образом экспериментальные результаты приведены на рис. 21, б. Там же нанесены точки, соответствующие длительным испытаниям (до 10 сек) на сжатие и растя- [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...