Стержни Форма колебаний

Последнее соотношение обычно используют для определения модуля упругости по резонансным частотам продольных колебаний тонких стержней. Форма колебаний определяется выражением [c.70]

Функция ф (j ), устанавливающая закон распределения максимальных амплитудных отклонений точек оси стержня, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямого стержня, как известно, бесконечное множество, и каждой из них соответствует определенное значение частоты (И, которая называется собственной частотой. Эти частоты и соответствующие им собственные формы определяют с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи. [c.573]

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ. [c.2]

Определение частот и форм колебаний стержневых элементов является одной из основных задач динамики стержней. Частоты колебаний дают возможность предвидеть воз- [c.73]

В качестве примера приведем графики компонент первых двух собственных векторов для винтового стержня (при а = 30°) с сосредоточенной массой на конце (см. рис. 4.4,а), частоты которого были определены в 4.1 (см. рис. 4.5). На рис. 4.13,а, б показаны графики изменения компонент векторов ДОо<ч и На рис. 4.14,а, б показаны графики изменения компонент векторов ДМо ) и Д1И,) ->. Формы колебаний, соответствующие первым двум частотам (компоненты векторов uo<>) uq> >, и показаны на рис. 4.15,а—г. [c.103]

Определение собственных функций (форм колебаний). Покажем определение собственных функций на примере стержней, приведенных на рис. 7.5,а, б. Определив 7оу для стержня (рис. 7.5,а). [c.181]

Численные методы определения частот и форм колебаний. При численных методах определения частот и форм колебаний более удобной является форма записи уравнений колебаний стержня в виде системы, например, (7.5) — (7.9) (при АР/ = А7 , = 0). Систему уравнений (7.5) —(7.9) [без уравнений (7.10) — (7.12)], соответствующую свободным колебаниям, можно записать в виде одного векторного уравнения [c.182]

Амплитуды этих гармоник зависят (как уже указывалось в 142) от формы колебаний, которая, как мы только что убедились, с одной стороны, для деформаций и скоростей, а с другой стороны, для разных сечений стержня оказывается различной. Вследствие этого амплитуды гармоник изменяются вдоль стержня, причем для скоростей и деформаций и для разных номеров гармоник изменяются по-разному. Однако для рассматриваемого случая однородного стержня и других подоб- [c.662]

Следовательно, в среднем сечении стержня четные гармоники деформации должны отсутствовать. И действительно, в найденном нами распределении амплитуд деформаций (рис. 436, а) амплитуды четных гармоник в среднем сечении обращаются в нуль. Подобным же образом мы могли бы проследить связь между формой колебаний и амплитудой гармоник в других сечениях стержня. Мы обнаружили бы, что, например, в сечениях стержня, делящих его на три равные части, форма колебаний скорости такова, что амплитуды скорости третьей гармоники и всех кратных ей должны обращаться в нуль. [c.666]

Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых простейших случаях продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импульса не зависит от формы и характера и.мпульса и для импульсов любого типа оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения бегущей волны, которая представляет собой од у из разновидностей импульса, совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса. Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют фазовой скоростью, с этой скоростью движется фаза распространяющегося колебания. [c.682]

На рис. 396 для ряда значений Р показаны формы колебаний стержня, причем рассмотрен случай не только сжимаю- дей, но и растягивающей силы Р. Любопытно, что при некоторых значениях Р узловые точки становятся мнимыми. [c.308]

Кинетическая энергия вычислялась по экспериментально полученной форме колебаний. На частоте 70 Гц потери в стержне составляли 20—30% от общих потерь, а на более высоких частотах не превышали 4—6%. На рис, 34 показаны зависимости потерь в контакте от амплитуды относительных перемещений штифтов. Экспериментальные точки для штифтов площадью 0,2 см при сухом контакте на 700 Гц обозначены зачерненными треугольниками, при смазанном контакте на 350 Гц — треугольниками [c.84]

Резонансные свойства резинового массива начинают проявляться начиная с частот 200—250 Гд. Резонансная частота /= =а 2к=280 Гц соответствует форме колебаний с максимальной амплитудой сдвига в средней части столбика. На частоте 500 Гц максимума достигает потенциальная энергия продольных деформаций. Расчетная модель в виде стержней дает удовлетворительное совпадение с экспериментом примерно до 700 Гц. На более высоких частотах потери повышаются за счет поперечных деформаций резинового массива. [c.91]

Задачу о колебаниях составных стержней и рам при действии гармонического возбуждения можно свести к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Элементами матрицы являются суммы гиперболических и гармонических функций, зависящих от размеров стержней и частоты. С увеличением длины участка стержня и частоты аргументы функций растут, что при расчете на ЭЦВМ с ограниченным количеством значащих цифр приводит вначале к замене гиперболических функций экспонентами, а при дальнейшем росте аргумента — к потере гармонических функций. При этом матрица системы вырождается и получить удовлетворительное решение не представляется возможным. Например, на ЭЦВМ типа Минск вычисления производятся с семи значащими цифрами, поэтому при расчете колебаний опертой балки, начиная с третьей формы, гиперболические функции заменяются экспонентами, а расчет форм колебаний выше пятой практически осуществить не удается, так как теряются гармонические функции. [c.107]

Таким образом, предлагаемый алгоритм расчета составных стержней на ЭЦВМ целесообразно применять в области высших форм колебаний, когда сумма показателей экспонент превышает 2,3q, где q — число значащих цифр при расчете. [c.111]

На этом весьма простом положении построены некоторые методы определения собственной частоты поперечных колебаний стержня. Оказывается, что для определения низших частот собственных колебаний в некоторых случаях достаточно приближенно определить форму колебаний, причем кривая прогибов должна удовлетворять хотя бы наиболее важным граничным условиям. Эти условия бывают двух видов геометрические и динамические. Геометрические условия отражают способы закрепления концов стержня (шарнирное опирание, защемление и т. п.), динамические условия учитывают силы и моменты, которые действуют на концах во время колебаний. Наибольшее значение имеют геометрические условия. [c.70]

Очевидно, что у стержня имеются сечения, амплитуда колебаний которых всегда равна нулю, т. е. узлы. Количество их равно/г. Функцию X (5. 04) будем называть формой собственных колебаний, которая определена с точностью до постоянной А . Форма колебаний зависит от начальных условий стержня. Так, например, при / = 0, получаем [c.227]

Рассмотрим форму колебаний недеформируемого демпфированного стержня, когда возбуждающая сила меняется с частотой, определяемой равенством (5.43). Как известно, в этом случае не будет максимальных амплитуд колебаний стержня. При максимальных амплитудах частота несколько ниже. Однако в случаях, имеющих практическое значение, различие невелико. [c.250]

При определении характеристик исследуемого материала не следует использовать первую форму колебаний консольной балки. Это предупреждение необходимо, поскольку высокие амплитуды, которые обычно возникают при колебаниях первой формы, могут исказить результаты экспериментов за счет нелинейных эффектов. Кроме того, допущения, сделанные при построении представленной здесь теории трехслойных стержней, не вполне подходят к этой форме колебаний. [c.324]

Если для практических расчетов ограничиться учетом только первой формы колебания стержня (/ = 1), то система уравнений (2.102) приводится к виду [c.121]

Уравнения (2.110) соответствуют движению системы с двумя степенями свободы и служат для определения перемещений точек Л и 5 стержня. Решение этих уравнений удобно искать в виде разложения по нормальным формам колебаний. Этот метод позволяет окончательное решение для дисперсии упругих колебаний свести к квадратурам, которые вычисляют по таблицам. [c.132]

Лучшие результаты получаются, если воспользоваться вторым вариантом и принять в формуле (11.30) за фиктивную нагрузку вес балки q х) = т х) g, а вместо сил Р,- — веса m g сосредоточенных грузов. Этот вариант соответствует предположению о том, что форма колебаний совпадает с формой статического изгиба, вызываемого весом самого стержня и связанных с ним грузов. При этом формула (11.30) записывается в виде [c.37]

В этом можно убедиться на простейшем примере свободных колебаний консольно закрепленного стержня постоянного сечения. Пусть левый конец стержня закреплен (совместим с ним начало координат), а правый — свободный. Примем, что форма колебаний описывается функцией / (х) = ах , где х — координата сечения а — постоянная (ее значение несущественно, так как в окончательных выражениях сокращается). Эта функция удовлетворяет геометрическим краевым условиям и может быть положена в основу вычислений как по формуле Рэлея, так и по формуле Граммеля. [c.39]

На двух концах стержня получается четыре условия подставляя в эти условия выражение функции X, получаем четыре однородных уравнении для коэфнциентов А, В, С, D. Эти уравнения имеют отличные от нуля решения только тогда, когда определитель равен нулю. Это даёт трансцендентное уравнение для р, корни которого определяют собственные частоты колебаний стержня й, а также главные формы колебаний, даваемые фундаментальными функциями краевой задачи [c.247]

Компонентывекторов (4.115) представляют собой формы колебаний стержня с учетом промежуточных опор и сосредоточенной массы. [c.105]

Потребуем, чтобы сумма работ номинальных внешних сил, сил инерции и соответствующих им внутренних сил на возможных перемещениях био, б о и работы возможных вариаций внутренних усилий бАОо, бАМо на номинальных перемещениях и, б для всего стержня в целом была равна нулю. Вариации сил и перемещений, соответствующие каждой из форм колебаний, можно представить в виде (4.129) [c.110]

В предыдущих главах, посвященных изложению основных теоретических положений динамики стержней, были даны методы вывода уравнений движения пространственнокриволинейных стержней, нагруженных переменными во времени распределенными и сосредоточенными силами. Наряду с мертвыми силами расс.матривались и другие возможные силы, которые могут зависеть от линейных и угловых перемещений и их первых производных по независимым аргументам. Были получены уравнения малых колебаний и изложены численные точные и приближенные методы определения частот и форм колебаний пространственно-криволинейных стержней. [c.164]

После того как найдено распределение амплитуд различных гармоник скоростей и деформаций вдоль стержня, можно конкретными примерами пояснить высказанное выше общее соображение о том, что амплитуды гармоник в разных сечениях стержня оказываются различными вследствие того, что форма колебаний в этих сечениях различна. Сопоставим для этого амплитуды гармоник скоростей и деформаций в среднем сечении стержня с формой колебаний в среднем сечении. Последовательность импульсов скоростей в среднем сечегп и стержня (рис. 434, б) такова, что вся картина повторяется через промежутки времени Ti/2, т. е. в этом сечении период колебаний вдвое короче, чем в других сечегн1ях, и соответственно угловая частота (наинизшей гармоники) со -== 2ojj, где j — угловая частота наиниз-шей гармоники в других сечениях. [c.665]

Проведем теперь аналогичное рассмотрение для амплитуд деформаций в среднем сечении. Последовательность импульсов деформаций в среднем сечении (рис, 434, а) такова, что картина повторяется через промежуток времени а не Т /2, как в предыдущем случае, и следовательно, нечетные гармоники не должны обращаться в нуль, но зато в среднем сече[гии стержня должны обращаться в нуль четные гармоники амплитуд деформаций. В самом деле, форма колебаний деформации в среднем сечении стержня такова, что одинаковые по величине импульсы деформаций чередующегося знака расположены на равр[ых расстояниях друг от друга (рис. 434, а). [c.665]

Г]гс. 12.8. Колоиаиин стержня постоянного сечения а — расчетная схема б — две первые формы колебаний [c.399]

Расчет частот и форм колебани покажем па ггримере ь олсбапи 1 консольного стержня. Задаемос сначала некоторым значением частоты р тогда все элементы матрицы /1 становятся известными. [c.403]

Потери в конструкциях. Выше говорилось о потерях в материалах и в отдельных однородных упругих элементах. Рассмотрим теперь потери в конструкциях, которые составлены из многих элементов, изготовленных из различных материалов. Очевидно, что общие потери в конструкции складываются из потерь в ее составных элементах. Однако вклад этих элементарных потерь в общие потери различен и существенным образом зависит от формы колебаний конструкции в целол1. Так, потери машины, установленной на амортизаторы, зависят от того, насколько близко к пучностям или узлам собственной формы колебаний машины расположены амортизаторы. Потери в простейшей конструкции — однородном стержне — зависят от того, совершает он из-гибные, продольные или крутильные колебания. На одной и той же частоте потери этих трех форм движения различны, так как обусловлены разными физическими механизмами демпфирования. Для расчета общих потерь в конструкции, таким образом, требуется знать не только потери в отдельных ее элементах, но и форму колебаний всей конструкции. Ниже приводятся примеры расчета потерь в двух типичных составных машинных конструкциях и обсуждаются полученные результаты. Такие расчеты необходимы при проектировании машинных конструкций с оптимальными демпфирующими свойствами. [c.218]

Колебания волочимого изделия. При изучении колебаний изделия на станах бухтового волочения рассмотрены его перемещения в продольном и поперечном направлениях, вызванные тем, что фактическая форма тянущего барабана отклоняется от цилиндрической, а при рассмотрении колебаний изделия на цепных станах изучены лишь продольные колебания (1, 2]. Волочимое и.чделие представлено в виде стержня, имеющего закрепление концевых сечений, определяемое особенностями рассматриваемого случая. Так, при изучении продольных колебаний рассмотрен стержень, имеющий кинематическое перемещение, определяемое тянущим органом стана. При определении собственных частот колебаний использовали волновое уравнение, применили разложение по собственным формам колебаний и из граничных условий нашли час- [c.132]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

В.место кривой прогибов, которая образуется при действии сосредоточенного груза, можно применить и другую кривую, по возможности удовлетворяющую всем граничным условиям. Если принятая кривая удовлетворяет только некоторым из этих условий, то полученные результаты могут быть весьма неточными. В качестве примера предположим, что у защемленного одним концом призматического стержня (фиг. 29) первая форма колебаний может быть выражена при помощи параболической зависимостп [c.71]

Выше было указано, что на границе устойчивости решение дифференциального уравнения равновесия стержня при заданных граничных условиях приводит к равенству V=L, если У и L определяются из действительной формы колебаний, функциональная зависимость которой соответствует уравнению равновесия. Если мы применяем приближенную форму колебаний, удовлетворяя хотя бы наиболее важным граничным условиям, то условие L=V не выполняется и получаем L—1/=б. При этОлМ б является определенной постоянной. Если в выражении формы колебаний оставить несколько свободных параметров, например, 2 и т. д., то всегда можно эти параметры подобрать так, чтобы разность 6 была минимальной. Это означает, что [c.72]

Нормальные формы колебаний некоторых механических систем не являются ортогональными. Таковыми, например, являются резонансные формы струн и стержней, к концам которых присоединены зависящие от частоты импедансы, нормальные волны в твердых волноводах и другие. Неортого-нальность создает дополнительные трудности при расчете этих систем на вынужденные колебания и не дает возможности точно решить ряд практически важных задач. [c.6]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Для вычисления демпфирующих характеристик стержневой системы необходимо в процессе экспериментального исследования онределить резонансную частоту и амплитуду свободного конца стержня при различных формах колебания. Это проще всего сделать путем анализа амплитуднофазовых характеристик системы. Были выбраны такие способы измерения, которые исключают непосредственный контакт колеблющейся си- [c.176]

Резонансные частоты и формы колебаний стержня, контактирующего с опорным столом, существенно зависят от величины инерционного сопротивления стола. Например, когда стол был присоединен к массивному фундаменту, все точки по длине стержня колебались в одной фазе и наименьшие перемещения были посредине его. Резонансная частота составила 70 Гц и приблизительно совпала с собственной частотой колебаний защемленного посредине стержня. С подвешенным столом резонансная частота системы увеличилась до 80,8 Гц, а стержень колебался по двухузловой форме. [c.77]

Каждой частоте собственных колебаний соответствует определенная форма колебаний, т. е, распределение отклонений масс от положения равновесия. На фиг. 18, й пока.зана одгга n i фор.м продольных колебаний стержня с распределенной массой. Амплитуды продольных колебаний а, совершаемых точками стержня вдоль осп х, отлол епы на фиг. 18 для удобства изобра> ения по оси ординат. Анл- [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...