Задача о минимальной поверхности

Описание и математический анализ некоторых нелинейных краевых задач второго порядка, таких, как задача о препятствии (и более общих задач, моделируемых вариационными неравенствами), задача о минимальной поверхности, задачи монотонного типа (гл. 5). [c.8]

Задача о минимальной поверхности [c.295]

Формулировка задачи о минимальной поверхности [c.295]

Задача о минимальной поверхности состоит в нахождении функции и, минимизирующей функционал [c.295]

Показать, что задача о минимальной поверхности равносильна формальному решению краевой задачи вида [c.304]

Для изопериметрических условий частного вида было найдено решение для множителей Лагранжа в виде интегралов, не зависящих от исходных данных задачи. Были получены необходимые условия экстремума в задаче о нахождении поверхности тела с минимальным сопротивлением в случае трехмерного обтекания. Здесь в частном случае также удалось найти интегралы для множителей Лагранжа. В результате оказалось возможным выделить класс решений, для которого количество независимых мых переменных в краевой задаче понижается до двух. При решении некоторых двухмерных вариационных задач предложен итерационный процесс численного решения. [c.243]

Коническое отверстие. Очевидно, что парабола или гипербола (1) на некотором участке мало отличается от прямой — образующей конического отверстия, поэтому для получения искомого приближенного решения задачи о напряженном состоянии в зонах конических отверстий в растягиваемых и изгибаемых пластинах достаточно из формул (3) и (4) найти оптимальные величины параметров и а затем на основании анализа дополнительных радиальных напряжений на поверхности конического отверстия установить пределы его применимости. В работе [9] показано, что при б = И tg у/Лд 1,0 (Л — толщина пластины, i o — минимальный радиус отверстия, y — угол наклона образующей отверстия по отношению к его оси) в случае растяжения и при 6 0,25 в случае изгиба пластины величина максимального дополнительного радиального давления на поверхности конического отверстия не превышает 5% от величины наибольшего напряжения и найдены соответствующие значения параметров Е и у,- [c.113]

Если полость колеблется (т.е. е / 0), однако колебаниями на свободной поверхности пренебрегаем (Л = 0), то задача сводится к исследованию одномерного движения пузырей в вертикальном направлении на интервале 5 [0 ]. В этом частном случае при фиксированных значениях е, к, I, функция 5 представляет собой однопараметрическое семейство парабол вида 3 = а 5 + 6 5 + с 5о), где коэффициенты аи Ь — постоянные, а с — функция начального положения пузыря Сбо, который рассматривается в данном случае как параметр. Несложно показать, что, поскольку а > О, минимальное значение каждой из парабол рассматриваемого семейства на рассматриваемом интервале достигается при 5 = 5- Значение 5 может быть одним из трех 5 = —Ь/2а, если —Ь/2аЕ [0 /г], и 5 =0 или 5 = = /г, если —Ь/2а [0 /г]. Учитывая выражение для 0( 50), можно показать, что минимальное значение коэффициент с принимает при 50 = С50 это значение может быть только одним из двух либо при либо при Сбо = [c.327]

Главы 4.1-4.4 посвящены построению оптимальных головных частей плоских и осесимметричных тел в рамках приближенных моделей для определения давления на их поверхности. Задача о построении осесимметричной головной части, реализующей минимальное волновое сопротивление при заданных габаритах, была решена еще Ньютоном на заре вариационного исчисления. Эту задачу назовем задачей Ньютона (ЗН). Решение ЗН, полученное Ньютоном и включенное позднее в ряд руководств по вариационному исчислению, долгие годы рассматривалось безотносительно к аэродинамике. В начале 1950-х [c.357]

Решение сложной задачи о природе разрушения поверхностей трения требует четкой и обоснованной постановки задачи, выражающейся в разграничении нормального процесса окислительного износа и патологических видов повреждаемости и в рассмотрении всего комплекса явлений. Оно должно быть выполнено на основании а) закона сохранения и превращения энергии и минимальных принципов б) современных представлений физики твердого тела о процессах деформации и разрушения в) современных представлений о физико-химических явлениях адсорбции и диффузии г) положительного опыта практики. [c.277]

Обсуждаются различные обобщения теоремы диагностирования вопросы применимости полученных алгоритмов диагностики при использовании вектора диагностирования меньшей чем вектор состояния размерности и в случае непрерывной экс-пресс-диагностики без применения поверхности контроля, задача о выборе минимального времени диагностирования, задача диагностирования неисправностей, происшедших в окрестностях опорных невырожденных неисправностей и не предусмотренных априорным списком, рассмотрены другие функционалы, решающие задачу диагностирования. [c.18]

Г.Г. Черный внес серьезный вклад в решение проблемы оптимизации аэродинамических форм. В [16, 17] впервые решена задача построения головной части с минимальным волновым сопротивлением при ее гиперзвуковом обтекании с использованием для давления на поверхности формулы Ньютона - Буземана. Было показано, что в такой постановке концевая часть оптимального контура оказывается участком краевого экстремума - границей применимости формулы Ньютона-Буземана, где давление газа равно нулю. В [18], в рамках закона сопротивления Ньютона, решена вариационная задача о построении оптимальных пространственных конфигураций. Сопротивление найденных конфигураций со звездообразным поперечным сечением оказалось существенно меньше сопротивления эквивалентных по длине и объему круговых конусов. С тех пор построением пространственных оптимальных тел, при использовании локальных моделей для расчета не только волнового, но полного сопротивления, интенсивно занимались исследователи многих стран. Однако очевидным недостатком всех полученных решений была невозможность стыковки звездообразной головной части с осесимметричным корпусом. Первый серьезный шаг в преодолении этого недостатка сделан в работе [19]. В ней для обеспечения требуемой стыковки оптимальная поверхность строилась в классе линейчатых поверхностей, натягиваемых на переднюю крестовину из Л > 2 лучей и окружность. Преимущества построенных головных частей над эквивалентными конусами подтвердили эксперименты и расчеты. [c.6]

Одной из экстремальных характеристик в плоскости а, О является прямая а = -к 12. В работе [34] выяснено, что поверхность перехода через скорость звука, опирающаяся на некоторый контур и являющаяся одновременно характеристической поверхностью, обладает минимальной площадью среди всех поверхностей, опирающихся на тот же контур. В осесимметричном случае такими поверхностями могут быть либо плоскости перпендикулярные к оси симметрии, либо поверхности, образующие которых являются цепными линиями. Во втором случае угол 9 меняется на характеристике. Следовательно, упомянутая экстремаль в плоскости Хуу должна быть цепной линией. Однако, трудно ожидать, чтобы в окрестности всякой характеристической поверхности, на которой а = я /2, существовало решение задачи Коши или некоторой краевой задачи. Этот вопрос представляет собой предмет самостоятельного исследования. Здесь можно указать, что в осесимметричном изэнтропическом случае, когда газ является совершенным, такое решение не существует. [c.88]

Сечение рештака очерчено некоторой кривой осЬ (рис. 6. 16, а), ограничивающей заданную площадь. Требуется определить форму кривой, при которой суммарное давление сыпучего тела на рештак имело бы наименьшее возможное значение. При постоянном коэффициенте трения перемещаемого тела о металлические стенки рештака решение этой задачи эквивалентно достижению минимального сопротивления перемещению по рештаку. В произвольной точке сыпучего тела, ограниченного горизонтальной поверхностью, возникают вертикальное и горизонтальное напряжения [c.224]

Скорость г 1, с которой поверхность раздела опускается вниз после удара, примем для простоты постоянной, т. е., согласно сказанному по поводу формулы (94), поставим задачу об отыскании минимального индуктивного сопротивления. Эта скорость равна удвоенной индуктивной скорости ю (см. приближенный расчет, сделанный на стр. 285 для случая, изображенного на рис. 165). Связь между циркуляцией Г на поверхности раздела и скоростью ТО1 определяется однозначно из второй краевой задачи теории потенциала, а именно, циркуляция Г пропорциональна скорости гсг. Из соображений о размерностях можно принять, что [c.289]

Гибка труб в штампах в холодном состоянии с наполнителями и без наполнителей представляет сложную технологическую задачу, так как обычно в местах гибки появляются морщины и складки. Чтобы исключить дефекты такого вида, нужно создать условия, при которых трение изгибаемой трубы о поверхность рабочей части штампа будет минимальным. Этого можно достичь помещением вращающихся роликов в те части штампа, которые подвергаются наибольшему трению. Вращающиеся ролики при гибке труб используют не только в штампах, но и в приспособлениях и специальных гибочных станках. [c.228]

Сложная задача раскрытия природы внешнего трения требует четкой и обоснованной ее постановки. Для решения этой задачи необходимо разграничить процессы нормального внешнего трения и сопротивления различным видам повреждаемости поверхностей контакта, рассмотреть природу, причины и механизм трения с позиций фундаментальных представлений о трансформации энергии внешних силовых воздействий в энергию внутренних процессов с анализом энергетических соотношений и минимальных принципов, с позиций современных представлений физики твердого тела (теории дислокаций) о напряженно-деформируемом состоянии, о физико-химических явлениях адгезии, адсорбции и диффузии, а также учитывая положительный опыт практики. [c.63]

При электроэрозионном шлифовании, так же как и при механическом, на грубом высокопроизводительном режиме стремятся снять наибольший припуск, хотя ему соответствует низкий класс чистоты поверхности, а затем производят переход к заданной чистоте поверхности, снижая жесткость режима (при неизбежном уменьшении производительности). Возникает вопрос о том, как наиболее целесообразно произвести переход от поверхности низкой чистоты (например, у5) к поверхности с более высокой чистотой (например,у9)- Решение задачи на минимум (затрачиваемого на обработку времени) показывает, что смена режимов обработки должна быть непрерывной, т. е. на последующем режиме с бесконечно мало уменьшенной силой тока / з должен быть снят бесконечно малый слой металла. В этом случае время обработки будет минимальным. Если это время принять равным 100%, то легко найти относительное время обработки при различном числе переходных режимов. Как видно из приведенного на рис. IV. 28 графика, при 15 режимах это время составит 110%, при 10 — 120"о, при 5 — 135%, при 2 — 300%, при 1 около 900%. Таким образом, число режимов должно быть возможно большим. Но это связано с усложнением и удорожанием установки. Малое же число режимов значительно увеличивает длительность обработки. По нашим наблюдениям, достаточно наличие в станке 5—б режимов, [c.205]

В качестве примера проверки общесплавной сети в период сухой погоды рассмотрим задачу 176, все исходные данные которой, необходимые для подсчета расчетных расходов бытового водоотведения, сведены в табл. 29, Эти данные качественно существенно отличаются от тех, которыми задаются при расчете новой сети. В них нет отметок поверхности земли и минимальных глубин заложения лотков коллекторов, зато даются диаметры труб и отметки лотков. Эти исходные данные дополняются сведениями о стандартных диаметрах труб, но без экономических параметров. Пакет исходных данных состоит из перфокарт 176.1-176.24 31—322 (см. 5.1). [c.80]

Вслед за автоматической станцией "Марс-2" стартовала в сторону Марса АМС "Марс-3" (28.05.71). При подлете к Марсу от АМС "Марс-3" (рис. 1.13) был отделен СА (02.12.71), который совершил мягкую посадку на поверхность планеты, что и было главной задачей полета. Решение ее осложнялось тем, что атмосфера Марса очень разрежена. А сведения о ее составе и плотности недостаточно достоверны. На планете возможны сильные ветры, рельеф поверхности Марса изучен мало, характер грунта почти не был известен. Конструкции аэродинамического конуса, парашютов и двигателя мягкой посадки были выбраны исходя из минимальной массы и их надежной работы в широком диапазоне возможных условий спуска и характеристик марсианской атмосферы. [c.33]

В этом разделе мы сделаем следующие иредиоложения Множество Q выпукло и имеет непрерывную но Липшицу границу, а функция Н ,--след на Г функции (обозначаемой по-прежнему щ) из пространства (Q). Далее для последующего анализа будет удобно считать, что задача о минимальной поверхности состоит в нахождении такой функции и, что [c.296]

При решении различных задач на топографической поверхности допускают, что прямая линия (например, АВ или D на черт. 411), соединяющая две точки смежных горизонталей, всеми своими точками расположена на поверхности. Очевидно, что чем меньше разность отметок горизонталей, тем меньше погрешность в указанном допущении. Из всех прямых, соединяющих данную точку А поверхности с точками смежной горизонтали, наибольший уклон будет у той, заложение которой минимально. На черт. 412 построена линия наибольшег о ската, проведенная через точку А по топографической поверхности. Для этою и i гочки Ату как из центра проводят дугу окружности, касающуюся ближайшей, 26-й горизом-гали из точки касания проводят вторую дугу, когорая касается следующей, 25-й горизонтали и г. д. Соединяя точки касания, получают искомую линию. [c.188]

Так как не удается решить совместно гидродинамическую задачу о росте пузырька и нестационарную задачу теплопроводности, то можно поступить следующим образом. Считаем, что рост пузырька описывается формулой (6.6) или (6.8), (6.9) в зависимости от того, какое из неравенств (6.10), (6.11) выполняется. Температура жидкости, окружающей пузырек, усредняется по его высоте. Радиус пузырьков, полученный в таком приближении для тепловой модели, обозначим <г>. Рост пузырька в равномерно прогреваемой жидкости при заданной скорости повышения температуры происходил бы быстрее, т. е. <г>/г 1. Отношение <г>/г характеризует замедление роста пузырька из-за охлаждающего действия недогретой жидкости. Величина <г>/г определяется условиями обтекания пузырька. Если пузырек поднимает над собой .папку горячей жидкости, то (г>/г— 1. Минимальное значение этого отношения соответствует случаю, когда пузырек идеально раздвигает жидкость (изотермические поверхности остаются плоскими). Тогда [c.176]

В начале 1960-х годов А. Л. Гонор в рамках закона сопротивления Ньютона впервые поставил и решил ряд вариационных задач о построении оптимальных пространственных конфигураций. Решение задачи построения двумерной поверхности тонких гомотетичных тел минимального волнового сопротивления удалось свести к решению, двух связанных через константы одномерных задач определения оптимальных продольного и поперечного контуров ([8] и Глава 4.5). Для конических тел без ограничения на толщину аналогичной получилась задача определения оптимального поперечного контура ([9] и Глава 4.6). Сопротивление построенных оптимальных конфигураций со звездообразным поперечным сечением оказалось существенно меньше сопротивления эквивалентных по длине и объему круговых конусов. Более полное изложение соответствующих результатов заинтересованный читатель найдет в статье А. Л. Гонора и Г. Г. Черного [10], а подтверждающие эти исследования экспериментальные результаты в написанной А. Л. Гонором первой части обзора [11. [c.360]

Кроме того, с увеличением параметра з/Л теплообмен уменьшается незначительно (см. рис. 15.5), а сопротивление уменьшается в несколько раз. Следовательно, для увеличения теплообмена при минимальном возрастании сопротивления целесообразно выполнять шероховатость с /г = Лщт и большими значениями з//г, естественно не превышающими значение з/Л = 12. При решении задачи о тепловой защите поверхности желательно обеспечить условия, при которых тепловой поток от горячей среды в поверхность уменьшается. С этой целью целесообразно сделать поверхность гидравлически гладкой, т. е. такой, неровности которой не приводят к увеличению теплообмена. Допустимая высота шероховатости которая не вызывает увеличение теплообмена, определится из условия Ке р = tг/I p/vI п = ЮО, где VIJп определяется по температуре газа во впадине. [c.378]

О>вокупности внутренних параметров проектируемого механизма, при которой целевая функция Ф1 принимает минимальное значение /х, соответствует определенное значение /2 целевой функции Ф,. В системе координат Ф1Ф2 эти два значения /х и /2 определят точку а, характеризующую вектор внутренних параметров механизма. Аналогично, если определить минимальное значение /2 целевой функции Ф2, то можно найти соответствующее ему значение /] целевой функции Фх. Е5 системе координат ФхФг эти два значения /2 и /1 определят точку Ь, характеризующую другой вектор Ха внутренних параметров механизма. Эти два решения при двух критериях Фх и Фа равнозначны. Аналогично можно получить бесконечное количество решений, лежащих на кривой аЬ, называемой линией безразличия. При трех критериях Фх, Ф2, Фа равнозначные решения будут находиться на поверхности безразличия аЬс (рис. 25.1, 6). Для однозначного решения задачи синтеза многокритериальную задачу следует свести к однокритериальной, определив комплексную целевую функцию. Этот процесс носит название свертки векторного критерия. [c.315]

Решение. Задача сводится к отысканию поверхности минимальной площади, образованной вращением вокруг прямой г = О кривой 2 = г(г), имеющей концы в двух заданных точках А и В. Площадь иоверхностн вращения есть [c.338]

Основным допущением, которое вводится при решении различных задач, является предположение о рационально-уравновешенном характере течения (и= Эв/Эг=0Х Это позволяет рассматривать два произвольных сечения сопла (например, входное и минимальное), около которых его профиль близок к цилиндрической поверхности (квазицилиндрическое приближение). Измене- [c.106]

В настоящей работе предлагается один из подходов к решению задачи выбора области, содержащей компромиссные решения, найденные в соответствии с определенной схемой компромисса. Речь идет о минимизации виброшумов ткацкого станка при минимальном расходе вибродемпфирующих материалов [1, 51. За основу решения задачи принята математическая модель виброшумов ткацкого станка, предложенная в [6, 7J и представляющая собой систему линейных алгебраических уравнений. Эта система уравнений описывает передачу энергии виброшумов от г-й к у-й подсистемам станка (i, у = 1,.. 6). В эти уравнения в качестве конструктивных параметров входят коэффициенты внутренних потерь Tij, от величины которых зависит уменьшение (или увеличение) энергии излучения Wj в /-й подсистеме (узле) станка. Величины T]j могли варьироваться в зависимости как от свойств применяемого вибропоглощающего материала, так и от геометрических характеристик покрытия (толщины и площади поверхности покрытия). [c.63]

Но даже и в случае быстрого получения хорошеге согласия уравнений с результатами наблюдений может оказаться, что они справедливы только для локальной поверхности исследования, и при небольшом удалений от нее поверхность отклика будет описываться другим уравнением, следовательно, надо снова ставить эксперименты для нахождения этого уравнения. Поэтому целесообразнее уже на первой стадий эксперимента оценить, какой эффект — линейный, квадратичный или кубический — оказывает- каждый фактор и их взаимодействие на протекание процессов в изделии. Зная это, можно с большей определенностью решать вопрос о характере уравнения поверхности отклика. Для решения такой задачи необходимо определить минимальное количество уровней факторов, испытания на которых позволят оценить указанные эффекты. Для определения линейного и квадратичного эффектов необходимо иметь не менее трех уровней факторов X/, Если фактор меняется-на четырех уровнях, то можно выделить линейный, квадратичный и кубический эффекты, подбирая особым образом коэффициенты для [c.96]

Задача 121. Какова минимальная скорость движения мотоциклиста по Еертикальнон стене, если коэффициент трения покрышек о поверхность стены / = 0,5, а радиус [c.185]

Поскольку в действительности потеря устойчивости происходит именно с образованием четко выраженной поверхности скольжения, то естественным образом возникает идея получить числовые оценки, задав-шить правдоподобными очертаниями этой поверхности и полагая, что на ней нормальные и касательные напряжения связаны условием предельного равновесия (условием типа Кулона). При таком подходе задача обычно состоит либо в определении предельно допустимых нагрузок, либо в оценке коэффициента устойчивости, в некотором смысле выясняющего, насколько допустимая нагрузка больше действующей. Фактическое решение этой задачи заключается в том, что вводится в рассмотрение семейство поверхностей скольжения заданной формы (плоскости, круглоцилиндрические поверхности и т. д.), для каждой из них определяются условия равновесия массива, ограниченного снизу этой поверхностью, и находится величина предельной нагрузки или коэффициента устойчивости. Затем выбирается та поверхность из рассматриваемого семейства, для которой критическая нагрузка или коэффициент устойчивости минимальны. Полученные таким образом величины позволяют в какой-то мере судить о действительной несущей способности массива (по величине предельной нагрузки) или о близости системы к предельному, в смысле устойчивости, состоянию (по коэффициенту устойчивости). Исследования в этом направлении "развивались в работах С. И. Белзецкого (1914), Н. М. Герсеванова (1923), М. М. Гришина (1951), М. И. Горбунова-Посадова и В. В. Кречмера [c.215]

Основной задачей теории О. п. является исследование взаимного расположения лучей, вышедших из ряда светящихся точек (предмета) и прошедших через оптич. центрированную систему, а также и выяснение такого подбора и расположения элементов системы, при к-рых лучи, вышедшие из каждой освещенной точки предмета, по прохождении через систему дали бы изображение минимальных размеров, расположение жо самых изображений было бы подобно расположению точек. Эта задача вообще чрезвычайно слолша и па практике почти всегда решается с известным приближением, зависящим в большинстве случаев от величины сферических поверхностей по отношению к их радиусу кривизны. Наиболее просто решается эта задача, когда отношения поперечников сферич. поверхностей к их радиусам кривизны, а также углы лучей с осью системы настолько малы, что их квадратами и высшими степенями можно пренебречь. [c.71]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...