Теорема об инвариантном многообразии

Пусть такое поле соответствует нулевому значению параметра семейства. Тогда для семейства справедливы заключения Г и 2° теоремы п. 4.3 только аттрактор в утверждении 1° нужно заменить на инвариантное многообразие М1 , оно не является ни аттрактором, ни репеллером. А [c.118]

Теорема. Пусть v — гладкое векторное поле, М — его отрицательно инвариантное многообразие с краем. Як и Ят — соответствующие показатели, и натуральное г удовлетворяет условию [c.154]

Доказательство теоремы. Поскольку первые уравнения — (7) — задают инвариантные многообразия (при любых произвольно зафиксированных ai,...,an), достаточно показать, что последние п равенств (8) обладают тем же свойством (при любых произвольно зафиксированных ai,...,a , pi,...,p тогда их совместный уровень будет иметь размерность 2п+ —п—л=1, т. е- окажется фазовой траекторией). В самом деле, [c.140]

Теорема 5.5. Периодическое движение Г " " переходит в рр-1,9+3 Одновременно с этим, в зависимости от знака Кеа(0)т 0, либо с ним сливается тороидальное инвариантное многообразие Т либо от него отделяется инвариантное тороидальное многообразие ГР+ - +2 (рис. 5.13, б). [c.114]

Следующие полезные сведения дает общая теорема о конечности числа синхронизмов прп наличии диссипации. Численный счет позволяет выявить, как происходит исчезновение синхронизмов и какие синхронизмы остаются. У сохраняющихся синхронизмов неподвижные точки типа центр становятся устойчивыми фокусами, седла сохраняют свой тин, а их инвариантные многообразия могут образовывать сложные гомоклинические структуры. [c.201]

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

Доказательство этой теоремы (а также более общей) можно найти в [119]. Основная техника, используемая в доказательстве - это метод инвариантных многообразий. Суть доказательства лежит в применении теоремы о неявной функции. [c.71]

Теорема 3. Предположим, что система (7.1) уравнений с интегрирующим множителем л имеет п — 2 первых интеграла Рг,. .., Рп-2- Пусть на инвариантном многообразии Мс = ж е К -Р (ж) = с , 1 < в < п—2 функции Рг, , Рп-2 независимы. Тогда [c.76]

Другое интересное замечание состоит в том, что мы фактически получаем непрерывную зависимость многообразий W и W от семейства отображений / . Так как главным ингредиентом доказательства теоремы Адамара — Перрона 6.2.8 было получение инвариантных многообразий и их касательных распределений как неподвижных точек сжимающего оператора, построенного по семейству f , мы можем с помощью предложения 1.1.5 показать, что инвариантные многообразия зависят непрерывно в С -топологии от семейства диффеоморфизмов. [c.262]

Справедлива следующая теорема о представлении регулярно заданное уравнениями (14) неособое инвариантное многообразие фуппы С может быть задано системой уравнений [c.322]

Инвариантные многообразия и теорема сведения [c.61]

Теорема. Пусть V—С> + -гладкое векторное поле с особой точкой О и линейной частью Ах, г<оо. Пусть Г, Г и Г — плоскости, соответствующие оператору А, как описано в пункте 4.1. Тогда дифференциальное уравнение x = v x) имеет инвариантные многообразия W и W , гладкие класса С и С, проходящие через О и касающиеся в нуле плоскостей Т , Г и Г соответственно. Фазовые кривые этого уравнения на многообразиях W , ведут себя так же, как в теореме Адамара—Перрона поведение фазовых кривых на многообразии определяется нелинейными членами. [c.62]

Теоремы об аналитическом устойчивом (неустойчивом) инвариантном многообразии сформулированы в 4 главы 3. Аналогичные теоремы справедливы для голоморфных векторных полей [18 31]. Формулируемые ниже теоремы о локальных инвариантных многообразиях голоморфных векторных полей позволяют находить аналитические инвариантные многообразия, содержащие особую точку вещественно аналитического поля и не принадлежащие ни устойчивому, ни неустойчивому многообразию этой точки. [c.81]

Теорема об инвариантном многообразии. Рассмотрим росток аналитического векторного поля в особой точке О, линейная часть которого имеет инвариантную плоскость. Исследуется вопрос, имеет ли росток аналитическое инвариантное многообразие, касающееся в нуле этой плоскости. [c.81]

Теорема 15. Многообразие является инвариантным для канонических уравнений Гамильтона с гамильтонианом Н х,у,1) тогда и только тогда, когда поле (8.1) удовлетворяет уравнению [c.84]

Из теоремы 15 можно вывести ряд полезных следствий. Рассмотрим, например, распространение света в неоднородной изотропной среде. Световые лучи описываются каноническими уравнениями с гамильтонианом Н = у /п х), где и — показатель преломления. Кроме того, на действительных траекториях Н = 1. Рассмотрим систему лучей в = х она порождает векторное поле скоростей световых частиц у х). Этой системе лучей отвечает трехмерное инвариантное многообразие в шестимерном фазовом пространстве Е хЖ = х,у . Соответствующее поле импульсов и х) находится из уравнений [c.89]

Инвариантное многообразие у = Ах + Ь системы (8.15) является потенциальным только в том случае, когда матрица А симметрична. Легко показать, что если матрица А, удовлетворяющая уравнению Риккати, симметрична в какой-то момент времени, то = А для всех значений 1. Этот простой результат является частным случаем общей теоремы Лагранжа о потенциальности решений уравнений Ламба (см. гл. II). Таким образом, если матрица Ах несимметрична, то указанное инвариантное многообразие будет вихревым. [c.92]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Теорема. Многообразие L является инвариантным для исходной канонической системы, т. е. как бы соткано из решений если начальная точка (р°, q°, °)eL, то соответствующее решение уравнений (1) целиком лежит на L. [c.138]

Замечания. 1°. Возможность применения метода функций Ляпунова к проблеме построения инвариантных множеств динамических систем рассматривается в работе A.A. Бурова и A.B. Карапетяна [1990] при этом дается также обобщение теоремы Рауса (и ее модификаций) об устойчивости стационарных движений. В этой же работе можно найти пример устойчивого инвариантного множества, не являющегося многообразием. [c.273]

Теорема Нетер. Теорема Нетер (по поводу доказательства см. [14, р. 176-178]) устанавливает закон сохранения, соответствующий однопараметрической группе преобразований, не изменяющих величину действия (или изменяющих таковую, но на бесконечно малую величину порядка, высшего чем е) любой 4-области пространственно-временного многообразия. Другими словами, инвариантность действия (вариационная симметрия действия) относительно однопараметрической группы преобразований [c.668]

Гамильтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия. На симплектическом многообразии действует группа симплектических диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время). [c.142]

Эта теорема позволяет немедленно распространить на все Симплектические многообразия любое утверждение локального характера, инвариантное относительно канонических преобразований и доказанное для стандартного фазового пространства (К , со = Д йд). [c.201]

Сохранение и гладкость инвариантных многообразий (по Феничелю) [144]. Формулируемая ниже теорема утверждает, что притягивающее инвариантное многообразие сохраняется при малом возмущении, если скорость приближения траекторий, к многообразию извне больше, чем скорость сближения траекторий на самом многообразии. Числа, характеризующие эти скорости, называются показателями типа ляпуновских и определяются следующим образом. [c.153]

Теорема 3. Орбиты конрисоединенного представления группыв дуальномк алгебре пространстве являются инвариантными многообразиями для потока в этом пространстве, заданного уравнением Эйлера. [c.292]

Предложение 6.2.21. Инвариантные многообразия (с С -mono логией), существование которых устанавливает теорема Адамара — Перрона 6.2.8, непрерывно зависят от семейства / , в С -топологии, определенной следующим образом семейства /, е и считаются С -близк [c.262]

Гомеоморфизм, линеаризующий векторное поле в окрестности гиперболической особой точки, ие всегда можно выбрать гладким. Например, этому препятствует резонансность линейной части. Тем не менее, между уравнением и его линеаризацией в особой точке сохраняется значительное сходство, выражаемое формулируемыми ниже теоремами об инвариантных многообразиях. [c.61]

Теорема. Пусть о—С -гладкое векторное поле с гиперболической особой точкой О и линейной частью Ах в нуле,. Г и Г — плоскости, соответствующие оператор А. Тогда дйф-ференщ1альное уравнение х = у(х) имеет два С -гладких инвариантных многообразия W и проходящих через О и касающихся в нуле плоскостей Г и Г соответственно. Решения с начальными условиями на экспоненциально стремятсл [c.62]

Теоремы об инвариантных- - многообразиях- -и множествах, охватывающие и вырожденные системы, анонсированы А. Д. Брюно [18] ( [40], [42], [43], [46]), но нх доказательства пока не опубилкованы. [c.82]

Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов, Для отображений справедливы теорема Адамара—Перрона, теорема о центральном многообразии и принцип сведения Шошитайшвили (см. 4, гл. 3). [c.106]

Теоремы об инвариантных многообразиях в окрестности замкнутых фазовых кривых аналитических векторных полей анонсированы А. Д. Брюно [18 42]. В силу теоремы п. 1.2, они переносятся на локальную теорию аналитических диффеоморфизмов. [c.107]

Теорема 15 содержит как частный случай теорему Пуанкаре из 7. Действительно, пусть потенциальное поле импульсов и = 88/дх порождает инвариантное многообразие. Тогда rotгt = О и из (8.2) получаем уравнение [c.85]

Попутно мы доказали, что в предположениях теоремы Нехорошева исходные дифференциальные уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. Действительно, мы конструктивно строим (и - й)-мерные инвариантные многообразия и указываем в явном виде и - fe независимых касательных полей, которые попарно коммутируют между собой. Среди этих полей имеется исходное гамильтоново векторное поле. Остается воспользоваться теоремой Ли об интегрируемости в квадратурах системы уравнений, допускающей полную абелеву группу симметрий. [c.191]

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого mсистемы Морса—Смейла, а при-закритических — принадлежат Я. [c.152]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Ковекторное поле и назовем потенциальным, если rot и = 0 локально и = dif/dx, где ip — функция от х и i. Справедлива теорема Лагранжа если при i = О ковекторное поле u(x,t) потенциально, то оно будет потенциальным при всех t. В этом случае интеграл (2.6) будет равен нулю для любого замкнутого контура 7, стягиваемого по N в точку. Теорема Лагранжа — простое следствие этого замечания и теоремы Томсона. Инвариантное п-мерное многообразие I = у = и с потенциальным полем и называется лагранжевым. [c.68]

Лагранжева механика описывает движение механической системы при помощи конфигурационного пространства. Конфигурационное пространство механической системы имеет структуру ди ференцируемого многообразия. На дифференцируемом многообразии действует группа диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы лагранжевой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных координат) инвариантны относительно этой группы ). [c.52]

Теорема 5.1.13. Предположим, что (М, П) —многообразие с формой объема U и f М- М —сохраняющий ориентацию диффеоморфизм. Если множество Jf"( x) п Z ограничено для почти всех хеМ, то существует такая борелевская функция w М — что w 1/J/ и форма IVI2 является /-инвариантной. Если множество Jf ix)] neZ равномерно ограничено для всех х и п, то форма ш ограничена. [c.197]

Теорема 5.5.16 (теорема Нётер). Пусть М, ш) — симплектическое многообразие, Н М К —гладкая функция, Хц. ш = Н и ф =Хд. Если функция Н инвариантна относительно некоторого однопараметрического семейства симплектических преобразований, порожденного гамильтонианом /, то / — первый интеграл потока <р . [c.232]

Теорема 6.5.5. Пусть М представляет собой гладкое многообразие, множество U С М открыто, отображение f U- M является вложением upeU — гиперболическая неподвижная точка с соответствующей ей трансверсальной гомоклинической точкой д. Тогда в произвольно малой окрестности точки р существует подкова для некоторой итерации отображения /. Кроме того, гиперболическое инвариантное подмножество этой подковы содержит некоторую итерацию д. [c.282]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...