Преобразование симплектическое

Замечание. Возможность использования растяжения следует иметь в виду. Однако существенного упрощения системы уравнений можно добиться лишь преобразованиями симплектического диффеоморфизма. Только ими в дальнейшем мы и будем заниматься. [c.333]

А. Симплектические матрицы. Рассмотрим линейное преобразование симплектического пространства 5 Пусть Ри , Рп1 Яи Яп — симплектическая система координат. В этой системе координат преобразование задается матрицей 5. [c.197]

Ввиду каноничности преобразования (34) матрица А должна быть симплектической, т. е. она должна удовлетворять также и такому матричному уравнению [c.318]

Так как преобразование фазового пространства, задаваемое движениями гамильтоновой системы, является унивалентным каноническим преобразованием, то (см. п. 171) матрица Х( ) фундаментальных решений системы (3) является симплектической, т. е. при всех t справедливо равенство [c.548]

Показать, что существует симплектическое преобразование [c.240]

Мы видим, что в этом примере производящие функции 51 и 5г не существуют для симплектического преобразования [c.298]

Рассмотрим каноническое преобразование L = —pi p2i G — P2 Pi, qi = —I — g, Q2 = g — I. В новых симплектических координатах [c.90]

Для доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим результатом симплектической топологии в некоторой окрестности и каждой точки лагранжева подмногообразия Л симплектического многообразия (М, Г2) найдутся канонические координаты р, д, в которых = (/р Л ( 5, и множество Л П 7 задается уравнением р = О [13]. Папример, пусть лагранжева поверхность Л задана ура в-нением у = дЗ/дх (см. 2 гл. II). Тогда координаты р, д вводятся каноническим преобразованием д = х, р = у - дЗ/дх. [c.256]

Согласно теореме Пуанкаре — Ляпунова, собственные значения Aj,..., Х2П-2 симплектического преобразования д разбиваются на пары Aj = А . .., А 1 = поэтому в гамиль- [c.364]

Симплектические преобразования. Рассмотрим линейное преобразование В SR " SR векторов симплектического пространства. [c.308]

Лемма. 1) Если В - симплектическое преобразование, то набор (fj, 2, 2от) - симплектический базис. [c.308]

Пусть и - два вектора симплектического пространства, переводимые один в другой преобразованием В [c.310]

Упражнение 1. Докажите свойства 2-4, не опираясь на матричное представление оператора В. Вместо свойства 1 докажите невырожденность симплектического преобразования В. [c.311]

Определение. Преобразование f будем называть симплектическим диффеоморфизмом (или кратко симплектическим), если [c.311]

Для любого стандартного симплектического диффеоморфизма можно указать такую функцию 5(q, р), для которой выполнено условие (13) и преобразование (р = р(р, q), q = q(p, q)) представимо в виде (14). [c.318]

Рассмотрим линейное преобразование 1 = , 2,...,п, пространства определяемое преобразованием векторов симплектического базиса 82т по следующим формулам [c.319]

В координатном представлении относительно симплектического базиса это преобразование имеет вид [c.319]

Для доказательства следует вспомнить, что преобразование Ж - невырожденное и симплектическое [c.321]

Примеры симплектических преобразований [c.325]

Доказательство, а) Если (3) - симплектический диффеоморфизм, то матрица Якоби этого преобразования удовлетворяет соотношению [c.329]

Нетрудно показать, что при Ф 1 преобразование (7) не является симплектическим диффеоморфизмом. Действительно, [c.330]

Теорема 2. О канонических преобразованиях. Произвольное автономное каноническое преобразование является суперпозицией симплектического диффеоморфизма и преобразования растяжения . [c.330]

Таким образом, преобразование z = f(z ) - автономное симплектическое преобразование, и теорема доказана. [c.333]

Лемма 2. Преобразование - симплектическое. Доказательство легко получается проверкой симплектичности базиса [c.320]

Что произведение двух симплектических преобразований симплектическое — очевидно. Чтобы оправдать термин симплектическая группа, нужно только доказать, что симплектическое преобразование невырождено, тогда ясно, что обратное также симплек-тично. [c.193]

Другие доказательства теоремы Якоби. В 25.1 мы привели дока.зательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований ( 24.2 и 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся по-пезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы М ( 24.13) оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. [c.513]

Первый, предварительный этап нор мализации сводится к нахождению такой невырожденной вещественной симплектической матрицы N, что преобразование [c.229]

Пусть Н имеет натуральный вид Г + V и каноническая замена р, q —> j/, х является расширением точечного преобразования q = /(х), у = df /дх) р. Если в некоторых новых симплектических координатах х, у исходная гамильтонова система решается методом разделения переменных, то тогда эта система имеет полный набор инволютивных интегралов, квадратичных по импульсам (см. п. 4). Обсуждение возможности разделения переменных в системах с квадратичными интегралами содержится в работе [143]. Задача о наличии полного набора полиномиальных интегралов гамильтоновых систем будет рассмотрена в гл. УП1. [c.100]

В приложениях функция Я обычно зависит еще от некоторых параметров е D [D — область в К" ). Будем считать, что функция H z,e) аналитична по z,e, и Я (0, е) = О для всех е. Если при всех е собственные числа линеаризованной системы чисто мнимы и различны, то подходящим линейным симплектическим преобразованием, аналитическим по е, форму Яг можно привести к нормальному виду (11.1). Ко.эффициенты а, будут, конечно, аналитичны по е. Следующая теорема является незначительным усилением результата Рюссмана—Вея. [c.129]

Задача о полиномиальных инвариантах групп симплектических преобразований изучалась С, Л. Зиглиным в работе [64]. Ниже излагаются его основные результаты. [c.364]

Определение. Преобразование В назовем симплектическим, если оно сохраняет кососкалярное произведение любых векторов TI1G SR " [c.308]

Теорема 2. Преобразование В будет симплектическим тогда и только тогда, когда матрица преобразования удовлетворяет следуюгцему уравнению [c.310]

Обозначим через 8р(2т) множество симплектических преобразований (матриц). Справедливы следуюгцие свойства [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...