Гиперповерхность характеристическая

Если гиперповерхность (4.10) и заданные на ней функции v ,. .. таковы, что (4.15) обращается в нуль, система (4.14) может допускать лишь неопределённые решения. Чтобы эти решения оставались конечными, необходимо при этом потребовать обращения в нуль всех определителей, составленных путём последовательного введения правых частей (4.14) в столбцы определителя системы. В таком случае многообразие (4.10) называется характеристическим многообразием (характеристической гиперповерхностью) или просто характеристикой. Заметим, что при вычислении старших производных нам придётся иметь дело вновь только с определителем (4.15). Таким образом, если в задаче Коши есть характеристическая поверхность, то, если и существует решение задачи Коши, оно может не быть единственным. Это значит, что могут найтись два различных решения, принимающих на одни и те же значения, у которых, однако, уже первые производные на <3 различны таким образом может оказаться, что с разных сторон от движение представляется разными законами, а на самой гидродинамические элементы обоих движений (но не их производные) совпадают. Но в таком случае мы назвали бы <5 перемещающейся поверхностью слабого разрыва. В самом деле, не представляет никакого труда убедиться, что условие равенства нулю (4.15) будет совпадать с одним из условий (4.9). Для этого стоит лишь ввести скорость распространения б характеристики [c.27]

Н. Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка. Пусть — контактное многообразие, — гиперповерхность в Контактная структура М определяет на Е некоторую геометрическую структуру, в частности — поле так называемых характеристических направлений. Анализ этой геометрической структуры позволяет свести интегрирование общих нелинейных уравнений с частными производными первого порядка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.335]

Таким образом, на гиперповерхности Е в контактном многообразии М возникает поле характеристических направлений. [c.335]

Но a = О, так как характеристический вектор принадлежит контактной плоскости. Следовательно, на имеем L a = гцо. Но 1-форма i tu равна нулю на пересечении касательной плоскости к с контактной плоскостью (ибо на контактной плоскости i tu == Ф, а на касательной йФ = 0). Позтому на касательной к плоскости i tu = са. Итак, на гиперповерхности Е [c.336]

Интегральные кривые поля характеристических направлений на гиперповерхности называются ее характеристиками. Многообразие характеристик наследует из исходного многообразия симплектическую структуру. [c.447]

Определение 3. Пусть дано некоторое решение Ф. Гиперповерхность Г С Д"(х), в каждой точке которой касательная гиперплоскость имеет характеристическое направление на решении Ф, называется характеристической поверхностью (кратко характеристикой) системы (1) на решении Ф. [c.53]

Можно показать, что если граница Г(а. о) области ii(wo) является гладкой гиперповерхностью (класса i), то на ней (3) выполнено со знаком равенства, т. е. она есть характеристика системы (3.16) на решении U. В частности, если для некоторой точки Р = (х, I), где t > О существует характеристический коноид К... Р), направленный в сторону dt < О (см. 6) и пересекающий гиперплоскость i = О по области uq, го этот коноид совпадает с областью f](wo). [c.69]

Рис. 7. Характеристическое направление я характеристики на гиперповерхности в симплектическом пространстве

Части касательной к этой Аз-кривой и характеристического направления объемлющей послойно выпуклой гиперповерхности в точке типа, лежащие в одной и той же области, ограниченной полой конуса, могут быть разделены или не разделены н ашей 2-плоскостью (ядром лагранжевой проекции). Соответственно, мы различаем следующие два случая (Г> , капля) и ( ) , треугольник) (рис. 24). [c.51]

Замечание 1. Условия общности положения теоремы 4 могут быть сформулированы в терминах поля характеристических направлений гиперповерхности Я. В точках I характеристическое направление касается Ь. Таким образом, мы получили на I поле направлений (касающихся Ь). Условия общности положения триады в теореме 4 требует общности этого поля оно должно приводится к локальной нормальной форме д/дх диффеоморфизмом многообразия Ь, отправляющим I в гиперповерхность [c.237]

Гиперповерхность I образована точками L, в которых формы из этого семейства равны нулю. В точках I направления поля являются характеристическими для Я. [c.238]

Если эти задачи имеют нетривиальные ответы, то подобные проблемы интересны для расслоений над В. Можно предположить, что наличие точек нестрогой гиперболичности необходимо для реализации некоторых классов, и что можно использовать особенности световой гиперповерхности для определения характеристических классов гиперболических вариационных принципов. [c.284]

При изменении со от —оо до +оо уравнением (5.30) в пространстве коэффициентов характеристического уравнения определяется гиперповерхность, разделяющая это пространство на области значений коэффициентов, которым соответствует различное число корней слева и справа от мнимой оси. Переход из одной области значений коэффициентов в другую приводит к изменению числа корней, расположенных слева от мнимой оси. Если существует область значений коэффициентов, которой соответствует п корней слева от мнимой оси, то этой областью определяются все возможные значения параметров системы, при которых она устойчива. Выделение в пространстве коэффициентов областей, которым соответствует различное расположение корней на комплексной плоскости, называется D-разбиением. [c.98]

Дана каноническая система с характеристической функцией H(p q), не зависящей от t, выберем в фазовом пространстве Фги любую изоэнерге-тическую гиперповерхность Н=Е и, предположив, что Н содержит, по крайней мере, одно из р, например р , представим себе уравнение Н=Е разрешенным относительно Рп в виде [c.366]

При этом параметры дисперсно-кольцевого потока разделяются на два типа. Первый тип — шесть параметров Х дифференциальные уравнения для них имеют характеристический вид без особенностей. Второй тип — пять параметров У- К Исходные дифференциальные уравнения сохранения п состояния для них содержат производные двух и более переменных пз числа После разрешения этих уравнений относительно производных получаются уравнения с особенностями в точках, где Д = 0. Последнее условие определяет в пространстве Г - совокупность параметров смеси, или гиперповерхность, в точках которой градиенты Г - вдоль оси 2 равны бесконечности и меняют знак, за исключением особых точек этой гиперповерхности, где кроме Д = О пмеет место Д -" = 0 (У = 1, 2,. .., о). Для трехскоростной трехтемпературной схемы потока эта гиперповерхность определяется уравнением 1 1 = С/, где [c.288]

Характеристика на гиперповерхности в симплектическом многообразии — это интегральная кривая поля характеристических направлений, т. е. поля косоортогональных дополнений ж касательной плоскости гиперповерхности. Иными словами, характеристика гиперповерхности — это лежащая на этой гиперповерхности фазовая кривая уравнений Гамильтона с функ-тцией Гамильтона, имеющей на этой гиперповерхности нуль первого порядка. [c.438]

В математической литературе в настоящее время при рассмотрении функциональных пространств, а также введенного в гл. 8 пространства динамических систем, используется понятие коразмерность . Не давая точного определения, поясним смысл этого понятия. В элементарном случае евклидова трехмерного пространства коразмерность 1 —множество точек (гладкая поверхность), задаваемое функцией Ф(ж, г/, г) = 0 с градиентом, не равным нулю коразмерность 2 соответствует трансвер-сальным (без касания) пересечениям двух гладких поверхностей коразмерность 3 соответствует точке. В ге-мерном пространстве коразмерность 1 задается одним условием—Ф( ь Ж2,. .., ж ) = 0—это гладкая гиперповерхность с числом измерений и—1 коразмерность 2 — гладкая гиперповерхность с числом измерений п — 2 и т. д. Таким образом, в евклидовом пространстве понятие коразмерности не вносит ничего нового по сравнению с числом измерений. Когда рассматривается функциональное пространство, точками которого являются, например, динамические системы, о числе измерений, как правило, говорить уже невозможно. Однако можно (по аналогии с конечномерными) ввести понятия гладкое функциональное соотношение , гладкая гиперповерхность , удовлетворяющая одному функциональному соотношению между элементами этого пространства, а также понятие трансверсальное пересечение. Тогда множество элементов этого пространства, удовлетворяющее одному функциональному соотношению,— это множество коразмерности 1. Множество элементов, удовлетворяющих п функциональным соотношениям, определяющим п гладких гиперповерхностей, пересекающихся трансверсально,— множество коразмерности п. Пусть у динамической системы х — Р, у = Q есть единственный негрубый элемент — простое состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями и не равной нулю первой ляпуновской величиной. Если рассматривать всевозможные системы х = Р, у = Q, близкие к данной, на которые накладывается единственное требование сохранения чисто мнимых корней для близкого состояния равновесия (т. е. требование Р + = 0)> то динамические системы, удовлетворяющие этому условию, лежат на гиперповерхности коразмерности 1 в пространстве динамических систем ( гладкость этой поверхности устанавливается с использованием понятия обобщенный градиент ). На гиперповерхности коразмерности 2 лежат, напри- [c.182]

Отыскание характеристик основано на том, что гиперповерхность Г с уравнением /г(х) = onst является характеристикой на решении Ф, если и только если вектор — Vh удовлетворяет характеристическому уравнению (5), т. е. уравнению [c.53]

Определение. Характеристическим направлением в точке гиперповерхности называется косоортогональное дополнение к её касательному пространству (в этой точке) (рис. 7). [c.7]

Косоортогональное дополнение к гиперплоскости лежит в этой гиперплоскости, следовательно характеристическое направление касается гиперповерхности. Таким образом гиперповерхность снабжена полем характеристических направлений. [c.7]

Характеристическое направление в точке гиперповерхности симплектического пространства может быть определено как единственное направление, инвариантное относительно симплектоморфизмов (сим-плектических диффеоморфизмов), сохраняющих эти гиперповерхность и точку. Как мы скоро увидим, для доказательства достаточно рассмотреть некоторую специальную гиперповерхность — скажем гиперплоскость, заданную в координатах Дарбу уравнением Р1 = О — так как все гиперповерхности в симплектическом многообразии локально симплектоморфны. [c.8]

Доказательство. Световая гиперповерхность находится в пространстве проективизованного кокасательного расслоения РТ К — над плоскостью пространства-времени. Слои этого расслоения являются лежандровыми подмногообразиями. Касательная прямая к слою в вершине конуса принадлежит контактной плоскости. В эллиптическом случае эта контактная плоскость ( 2 = 0) пересекается с вещественным конусом только в вершине. Следовательно, некоторые из близлежащих слоёв не пересекают световую гиперповерхность в некоторой окрестности особой точки, тогда как другие слои пересекают её дважды. Таким образом, характеристическое уравнение должно иметь комплексные корни в некоторых точках пространства-времени, то есть система не гиперболична. [c.289]

Имя Джона Милнора хорошо известно нескольким поколениям математиков, имеющих отношение к геометрии и топологии. Его перу принадлежат несколько монографий, по которым вот уже три десятилетия в университетах всего мира изучаются теория Морса, характеристические классы, /i-кобордизмы, особые точки комплексных гиперповерхностей и другие разделы современной математики. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...