Тензор упругостей изотропной среды

Тензор упругостей изотропной среды [c.116]

ТЕНЗОР УПРУГОСТЕЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ [c.117]

На первом этапе поликристаллический материал с микродефектами моделируется при помощи некоторой сплошной, но регулярно неоднородной среды, например i), при помош,и однородной упругой изотропной среды со сферическими анизотропными включениями. Таким образом, модель первого этапа —это композитный материал. Далее выделяется так называемый характерный объем ). Это минимальный объем, содержаш,ий такое число включений, которое позволяет считать, что тело в рассматриваемом объеме макроскопически однородно. Последнее понятие трактуется так. Если на поверхности макроскопически однородного тела в рассматриваемом объеме задать нагрузки, которые в абсолютно однородном теле вызвали бы однородное напряженное состояние, то длина волны флуктуаций полей тензоров напряжений и деформаций должна быть пренебрежимо мала по сравнению с линейными размерами тела, имеющего обсуждаемый объем. [c.594]

Исключив теперь из выражений (1.14), (1.22) и (1.27), приходим к представлению тензора напряжений Т в упругой изотропной среде [c.11]

При расчете девяти компонент тензора податливости по методике, приведенной в работах [44, 69], характеристики слоя и прослойки принимаются заданными. Согласно рассматриваемой модели эти характеристики определяются свойствами компонентов и геометрической структурой материала. В частном случае из соотношений для данной модели вычисляют упругие характеристики среды, армированной изотропными слоями. При этом рз =0, 1 = 2 = = 1, tii= п.2= п. Vi = Vj = Va-Тогда при вырождении компонент ма- [c.133]

Упругие константы трансверсально изотропной среды /, п, к, G . и G определяются через компоненты тензора упругих модулей С [c.105]

Как следует из 8 гл. 1, можно дать и другую постановку задачи теории упругости в напряжениях. Для изотропной среды нужно решить шесть уравнений относительно шести независимых компонент тензора напряжений [c.79]

Основные особенности расчета искажений оптического пути Л/, в кристаллических средах заключаются в методике определения зависимости изменения показателя преломления вследствие температурных напряжений и деформаций. Для кристаллов вид тензора пьезооптических коэффициентов является более сложным, чем для изотропной среды, и зависит, как уже было сказано, от взаимной ориентации кристаллографических осей, связанных с активным элементом, и осей координат, в которых производится расчет. Некоторые ориентации, однако, допускают приближенный или даже точный расчет изменений оптического пути с введением термооптических характеристик, выражаемых через р = dn/dT и упругие и фотоупругие константы материала [31, 116, 141, 142]. [c.43]

В рамках теории упругости главные оси тензоров напряжений и деформаций для изотропной среды совпадают. [c.29]

В формулах (1.4.1)-(1.4.4) функция х в обш,ем случае анизотропной среды представляется в виде скалярной функции, зависящей от компонент одного из тензоров деформации, меры деформации или градиента места. В случае изотропной среды упругий потенциал представляется как функция инвариантов соответствующих тензоров. В зависимости от того, какие инварианты и каких тензоров используются в представлении потенциальной энергии, имеют место различные формы закона состояния гиперупругой среды. [c.21]

Материал Мурнагана. При исследовании задач для изотропных сред широко используется предложенное Мурнаганом представление упругого потенциала в виде кубической функции инвариантов тензора деформации Коши-Грина Ik = /f (S), к = 1, 2, 3) [191] [c.25]

Участвующий в представлениях (1.4.1)-(1.4.4)упругий потенциал в общем случае для анизотропных сред представляется в виде скалярной функции (1.4.5), которая зависит от компонент тензора градиента места, тензора меры деформации или тензора деформации Коши-Грина. Для изотропных сред используется представление через инварианты тензора одной из мер деформации или тензора деформации. [c.28]

Здесь l — градиент деформации места, характеризующий НДК, S — тензор деформации Коши-Грина, х — упругий потенциал, который полагается дважды непрерывно дифференцируемой функцией своих переменных. Далее рассматриваются изотропные среды, имеющие упругий потенциал [c.44]

Нелинейные свойства таких сред, как и вообще упругой среды, можно охарактеризовать связью между компонентами тензоров напряжений Oik и деформаций Щк- Дпя плоской продольной волны в изотропной среде напряжение а и деформация s определяются скалярными величинами [c.28]

Известно [133, 134], что модули упругости анизотропной среды в общем случае образуют тензор четвертого ранга и имеют 21 независимую постоянную. При существовании в среде элементов симметрии число независимых упругих модулей уменьшается. Так, в случае ортогонально-анизотропной (ортотропной) среды число упругих постоянных уменьшается до девяти, для трансверсальной изотропной — до пяти и для изотропной— до двух. [c.98]

Трансверсально-изотропная среда сравнения. В частном случае, если среда сравнения обладает трансверсально-изотропными упругими свойствами и диэлектрической проницаемостью (гз — ось симметрии) и зерно неоднородности Уо — волокно с круглым поперечным сечением, ориентированное вдоль оси Гз, то ненулевые компоненты тензора (2.121) [c.49]

Изотропная среда сравнения. В другом частном случае, когда среда сравнения обладает изотропными упругими свойствами и диэлектрической проницаемостью и зерно неоднородности Уо — шар, компоненты тензора рассчитываются по формуле (2.129) через компоненты [c.50]

Тензор термоупругости a j является симметричным тензором, что следует из (13.1) ввиду симметрии тензора напряжений. Число независимых компонент aij уменьшается, если тело обладает симметрией. Например, для кубических кристаллов и изотропных сред тензор aij сводится к одной величине а. Таким образом, закон Гука для изотропных упругих тел с учетом изменения температуры можно представить в форме [c.552]

В основе моментной теории упругости лежит идеально упругая (изотропная или анизотропная) модель сплошной среды, взаимодействие между элементами которой осуществляется при помощи центральных сил (напряжений) и внутренних моментов (моментных напряжений). При этом тензоры напряжений и моментных напряжений являются несимметричными. [c.340]

Обсудим для каких сред справедливо равенство (2.22). Отметим прежде всего изотропные среды. Для них упругий потенциал должен зависеть от тензора компонент деформаций ij через его скалярные инварианты [c.132]

Функция я ( 1, 2) может рассматриваться как упругий потенциал некоторой эквивалентной несжимаемой упругой среды, в которой волны Римана являются чисто поперечными. Об этом подробнее в 7.1. В равенстве (3.18) и далее индекс 1 у коэффициента / опущен. Для изотропных сред, у которых упругий потенциал выражается через инварианты тензора деформаций и представлен в виде (2.25), [c.166]

В нелинейной теории упругости роль тензоров F и Q отводится надлежащим образом определенным тензорам напряжения и деформации. Возникает (для изотропной среды) обратная задача нз соотношения [c.462]

Аналогично, но с другими индексами, записываются модули сил, приложенных к площадкам dS и dS3. Полная сила, действующая на выделенный объем, зависит как от ориентации площадок, ограничивающих этот объем, так и от внутренних напряжений в той области, где находится рассматриваемый объем. Эти напряжения описываются совокупностью девяти величин стц (i, к = 1,2,3), которые составляют тензор напряжений. В упругих телах деформации пропорциональны соответствующим напряжениям. Таким образом, сложные деформации упругих тел описываются системой линейных дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора деформаций и тензора напряжений. Материальные свойства изотропных сред представлены, как правило, коэффициентом Пуассона д. (1.4) и модулем всестороннего сжатия к (1.29). Анализ такой системы уравнений позволяет не только рассчитать деформацию тел, но и ответить на вопрос, устойчивы эти деформации или нет. [c.22]

Используя установленные свойства тензора модулей упругости, запишем обобщенный закон Гука (7.18) для трансверсально-изотропной среды [c.149]

Простейшим примером уравнения состояния может служить обобщенный закон Гука для модели линейно-упругой изотропной сплошной среды, формулирующий связь между компонентами тензора деформаций (2.3) и компонентами тензора напряжений (2.9) в виде линейных зависимостей [c.25]

Упругая сплошная среда. Линейно-упругая изотропная сплошная среда характеризуется уравнением состояния в виде закона Гука и представляет собой одну из наиболее простых классических моделей сплошных сред. Свойство упругости означает полную обратимость процесса деформирования при освобождении от нагрузки приобретенная упругим телом деформация исчезает. Математически это выражается формулировкой уравнения состояния в виде конечных однозначных функций (2.11), связывающих компоненты тензоров напряжений и деформаций. Если в формулах [c.25]

В однородной изотропной линейно упругой среде тензор напряжений Xij (хц — Tjt) связан с тензором деформаций законом Гука [c.393]

Рассмотрим теперь модель, в которой принимается, что точечный дефект находится в анизотропной упругой среде. Упругие свойства такой среды характеризуются уже пе двумя независимымп параметрами (например, X п ц) изотропной среды, а тензором модулей упругости число независимых компонент которого в общем случае равно 21. Будем рассматривать дефект как точечный источник деформаций и напряжений. Тогда в отсутствие объемных сил система трех уравнений равновесия такой анизотропной среды имеет вид [c.49]

Здесь Gij] l и К1щ — тензоры четвертого ранга. Величины Gijkl образуют тензор упругих податливостей, а функции Кцх1 представляют собой ядра ползучести. Б общем случае число независимых компонент тензора упругих модулей и тензора ядер ползучести] не превосходит 21. При наличии в теле плоскостей симметрии и осей симметрии различного порядка число независимых компонент тензоров и Gij l сокращается. В случае изотропной среды тензоры и не изменяются при преобразованиях симметрии и поворота системы координат. Из общего вида изотропного тензора четвертого ранга вытекает, что [c.18]

Анизотропные свойства сплошной среды описывают тензорными величинами в неоднородной А. с, они меняются от точки к точке. Среды, анизотропные для одного класса явлений, могут вести себя как изотропные по отношению к др, классу. Так, механич. свойства кристаллич, поваренной соли Na l анизотропны (её упругость различна вдоль рёбер и диагоналей кубической решётки), тогда как тепловые и оптич. свойства изотропны с высокой степенью точности. В изотропной среде соответствующие тензоры сводятся к единичным. [c.84]

Компоненты ijmn тензора коэффициентов упругости линейноупругой изотропной среды согласно (1.150) можно выразить через модули всестороннего сжатия Ко и сдвига Gq. [c.71]

С учетом (1.5)-(1.7), (1.33) и (1.34), параметры повреждаемости 0Jki2i П1 Gi2 < G13 рассчитываются через компоненты тензора [9], упругие константы трансверсально-изотропной среды [c.16]

Упругое взаимодействие зерен при их произвольной форме учтено Э. Кренером [28] с помощью введеного Эшелби понятия упругой поляризуемости . Сначала Э. Кренер определил упругую поляризуемость анизотропного шарика в изотропной среде, т. е. тензор определяющий дополнительное стеснение, вызванное формой шарика и различием упругих постоянных шарика и среды. Далее он отметил, что вычисленный тензор упругой поляризуемости не связан с формой зерна, а определяет некоторый упругий диполь, который одинаков для различных форм зерна. Переход к расчету упругих констант поликристалла производится при предположении, что в пределах идеального, т. е. однородного и изотропного, поликристалла суммарная упругая поляризуемость (интеграл тензора упругой поляризуемости по всем возможным ориентациям) равна нулю. [c.391]

В кристаллах кубической системы (таких, как каменная соль Na l, флюорит Сар2, алмаз Сит. д.) все три главных направления диэлектрического тензора физически эквивалентны, поэтому главные значения в , Еу и в. одинаковы. Это значит, что тензор b вырождается в скаляр (векторы Е и D всегда совпадают по направлению) и кристаллы кубической системы в отношении оптических свойств ведут себя как изотропная среда. В отношении других свойств, выражаемых тензорами более высокого ранга (например, упругих), кубические кристаллы анизотропны. Оптическая анизотропия кубических кристаллов появляется только при учете очень слабых эффектов пространственной дисперсии, описываемых тензором четвертого ранга (см. 2.9). [c.183]

Панравление главных осей тензора деформаций получают из соотпошепий, аналогичных (1.11), (1.12). В рамках теории упругости главные оси тензоров напряжений и деформаций для изотропной среды совпадают. [c.35]

Сначала будем изучать поведение упругого потенциала изотропной среды, когда его можно рассматривать как функцию инвариантов hihih тензора деформаций, которую также будем разлагать в ряд по своим аргументам. Для линейных задач [c.134]

Линейную изотропную среду представляют первые два слагаемые. В формуле (2.25) мы ограничились только первым (линейным) членом с изменением энтропии 5 — So. Это можно сделать при изучении волн, распространяющихся по однородному фону, поскольку изменение энтропии в слабых ударных волнах имеет порядок не менее третьего по величине скачка (см. 1.7 и 1.11), а при непрерывных движениях упругой среды энтропия вообще не меняется. Поэтому учет членов с более высокими степенями S — So или с произведением S — So на инварианты тензора деформаций не повлияет на поведение и, и Vi в упомянутых волнах в рассматриваемом диапазоне точности. Тем не менее иногда употребляют модели, в которых Ф содержит еще члены следующего порядка малости, а именно Ii S - Sq) и /2(5 - So) (Bazer and Eri son [1974]). Эти слагаемые необходимы при вычислении зависимости температуры от деформации по формуле роТ = дФ/oS. Поскольку температура нас в дальнейшем интересовать не будет, то эти члены для краткости опустим. [c.135]

Рассмотрим линейную теорию магнитоупругости изотропных идеальных проводников в ее полной трехмерной форме, но в отсутствие тепловых эффектов линеаризация считается доведенной до конца. Это означает, что уравнения для магнитного поля также линеаризованы относительно постоянного поля Во, а В будет обозначать малое отклонение магнитной индукции. Линеаризация проводится в предположении, что невозмущенное состояние среды не имеет скоростей и напряжений. Плотность ро и коэффициенты Ламе Я и jx могут изменяться в пространстве. При таких условиях уравнения (5.4.1)з, (5.4.17), (5.4.2) и определяющие уравнения для тензора упругих напряжений переписываются в виде (от последнего взята производная по времени) [c.287]

ЭТИХ энергий. Рассмотрим вакансию как сферическую полость радиуса п, вырезанную в недеформированной безграничной изотропной упругой среде, которая потом ре-лаксировала к радиусу го, т. е. в ней появилось поле смещений (3,8), имеющих на границе с вакансией (при г = Г1) величину С/о (3,28). При этом возникло и поле тензора деформации е. (3,13). Из теории упругости известно, что плотность ТР упругой энергии в каждой точке изотропного тела определяется формулой [c.92]

Изотропными упругими средами будем называть среды, в которых тензоры деформации и напряжений соосны (п. 1.12). Кубик, выделенный из такой среды, одинаково деформируется под действием приложенных сил при любой ориентации ребер. Из теоремы Кейли — Гамильтона следует, что два соосных тензора связываются Друг с другом квадратичной зависимостью вида (I. 12.4). Одним из затруднений нелинейной теории упругости является указание той из мер деформации, которой должен быть сопоставлен тензор напряжения. В линейной постановке задачи оно отпадает, а квадратичная зависимость заменяется линейной вида [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...