Лагранжа состояния

Согласно теореме Лагранжа состояние равновесия консервативной механической системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна [40]. Необходимое условие минимума полной энергии записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа [c.41]

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. [c.379]

При соответствующем обобщении понятий, функции, аналогичные функции Лагранжа, описывают состояние других физических систем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнитного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (129) играют важную роль в ряде областей физики. [c.379]

Пусть состояние голономной механической системы с п степенями свободы задается 25 переменными Лагранжа q , <7,- (/ = 1, 5) и 2 (п - 5) [c.21]

Так, например, на рис. 223, а и (5 изображен физический маятник в состоянии равновесия, но в положении, изображенном на рис. 223, а, потенциальная энергия маятника минимальна и равновесие устойчиво, а на рнс. 223, б потенциальная энергия максимальна и равновесие неустойчиво. Такой маятник является механической системой с одной степенью свободы. Колебания систем со многими степенями свободы складываются из простых колебаний около положения устойчивого равновесия. Указанный Лагранжем метод изучения колебаний (см. 62) имеет громадное применение в различных отраслях науки н техники и, в частности, в теории вибрации машин. [c.401]

Другим более общим определением устойчивости состояния равновесия в рамках первой элементарной концепции является определение Лагранжа. По Лагранжу исходное состояние упругой сис-318 [c.318]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Применительно к двум названным состояниям уравнение принципа Лагранжа (равенство нулю суммы работ всех внешних и внутренних сил действительного состояния на фиктивных бесконечно малых перемещениях) имеет вид [c.70]

Эйлера координаты x k точек пространства и время t используются, например, в гидромеханике. В теории упругости обычно применяется способ Лагранжа, позволяющий определить перемещение фиксированной материальной точки М (Хй), которое она получает из начального состояния в результате внешнего воздействия на тело.. [c.8]

Закон сохранения массы позволяет получить полезное для последующих преобразований соотношение. Вспомним сначала понятие субстанциональной производной. Это понятие соответствует методу описания движения сплошной среды по Лагранжу. Пусть индивидуальная дифференциально малая масса вещества в момент времени t находится вокруг точки x (t) пространства. В следующие моменты времени контрольная масса занимает другие области пространства, причем X/ (t) могут всюду рассматриваться как координаты контрольной массы. Если состояние вещества характеризуется величиной В (плотность, внутренняя энергия, температура и т.д.), то для лагранжевой контрольной массы [c.21]

Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что j = О, = О, xi е 5т. Значения, которые принимают величины 8ац на части поверхности 5ц, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5ац удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения щ ж соответствующие [c.259]

Теорема о нижней оценке несущей способности. Пусть а , Vi — неизвестное нам истинное решение задачи о предельном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил Г(, jj —некоторое допустимое напряженное состояние, соответствующее поверхностным силам Т . Напомним, что для допустимого напряженного состояния выполняются уравнения равновесия и условие F a j) 0. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа как для истинного, так и для допустимого состояния, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле скоростей (заранее неизвестное), [c.491]

Для описания состояния сплошной среды пользуются двумя способами Эйлера и Лагранжа. [c.9]

Первый способ состоит в следующем. Вводится система координат, не связанная со средой, и исследуется поведение величин, характеризующих состояние среды, в фиксированной точке пространства в зависимости от времени. В способе Лагранжа рассматривается фиксированная частица среды, а величины, характеризующие состояние среды, соответствуют этой частице. При этом координаты частицы являются функциями лагранжевых переменных и времени. Эйлеровы переменные будем обозначать через х , лагранжевы — через аК [c.9]

Суть этого метода заключается в том, что для определения предельной нагрузки рассматриваются кинематически возможные состояния системы, совместные со статическим состоянием. Затем для кинематически возможного состояния применяется принцип возможных перемещений Лагранжа и из уравнения работ определяется предельная нагрузка. [c.309]

При применении кинематического метода нет необходимости в решении статически неопределимой упругой задачи. Как бы многократно статически неопределимой ни была задача в упругой области, при определении предельной нагрузки необходимо рассмотреть лишь кинематически возможные предельные состояния, а затем, применяя принцип Лагранжа, найти соответствующую предельную нагрузку. Таким [c.310]

Рассмотрим двухпролетную балку, показанную на рис. 10.17. Для кинематически возможного состояния (рис. 10.17, е) применим принцип Лагранжа [c.311]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Критерий Лагранжа— Дирихле является достаточным (но не необходимым) условием устойчивостн состояния покоя системы в поле консервативных сил. [c.336]

Исследуем, пользуясь критерием Лагранжа — Дг. рнхле, устог гчнь ость состояния покоя системы в этнх двух положениях в зависимости от веса грузов Р н Q. [c.339]

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое дока-аательетво того, что для любой материальной системы (в консервативном силавом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы, находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ). [c.42]

На основании теоремы Лагранжа — Дирихле нельзя, например, утверждать, что отсутствие минимума потенциальной энергии в положении равновесия системы обозначает неустойчивость состояния равновесия. Также нельзя на основании этой теоремы утверждать, что положению устойчивого равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии, т. е. существует теорема, обратная теореме Лагранжа — Дирихле. [c.219]

Устойчивость состояния равновесия консервативной системы можно исследовать без составления уравнений движения. Для итого достаточно записать выражение для потенщшльиоп энер-гпи системы в возмущенном движении и истребовать выполнения условий ее минимума в исследуемом положеини равновесия (критерий Лагранжа). Неустохиивость устанавливается с помощью теорем Четаева (см. библиографические ссылки па стр. 268). [c.269]

Здесь ii-tii - фиксированный И1ггервал времени между двумя разными состояниями тела с растущей трещиной. Функцию Лагранжа можно принять в виде [171.182] [c.323]

Рассмотрим первое состояние, в котором варьируются параметры, онрелелягошие контурную линию области излома. Поскольку вариация размеров трсшины изохронна, то внешние нагрузки остаются без изменения. Находим, что вариация функционала (42.6) представляет собой искомую вариацию - 5А + 8W рассматриваемого первого состояния. Дополнив это выражение энергией разрушения, согласно (42.2) получаем вариацию функции Лагранжа [152] [c.325]

Следовательно, при ф = Фз условие устойчивости (16) также не выполняется. Таким образом, теорема Лагранжа — Дирихле не позволяег судить о харак- тере состояний покоя при ф1==0 и фа = я. [c.330]

Если первая не равная нулю производная имеет нечетный порядок, то теорема Лагранжа —Дирихле не позволяет судить о характере состояния покоя [c.331]

Задание Д-22. Определение условий устойчивости заданного состояния покоя (равповесия) консервативной механической системы с одной и двумя степенями свободы (по теореме Лагранжа—Дирихле) [c.332]

По теореме Лагранжа —Дирихле состояние покоя рассматривае-май системы являются устойчивым, если наряду с равенством (1) выполняется условие [c.336]

По теореме Лагранжа—Дирихле состояние покоя рассматриваемой системы является устойчивым, если наряду с равенствами (1) выполняются два условия Сильвестра [c.341]

Как известно, уравнение Софи Жермев — Лагранжа как раз выражает условие равновесия элемента пластизгы Ах, с1г/, что и подчеркивается записью (8.41). Следовательно, L (w) — это интенсивность неуравновешенной суммарной нагрузки, возникающей по области интегрирования А (площади пластины) при задании прогибов в виде суммы (8.35). Удержание N членов в нем означает, что действительную систему заменили системой с N степенями свободы, в которой а (i = 1, 2,. . ., Л ) — это обобщенные перемещения, каждому из которых отвечает деформированное состояние, определяемое функцией fi (х, у). Для того чтобы дискретная система находилась в равновесии но принципу Лагранжа, падо, чтобы j работа всех элементарных сил системы, т. е. [c.251]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Сравнивая начало возможных перемещений Лагранжа и начало виртуальных изменений напряженного состояния упругого тела Кастильяио, следует отметить, что первое заменяет собой уравнения равновесия (внутри тела и на его границах), а второе — уравнения совместности деформаций. [c.49]

Следующим этапом после установления кинематически возможного состояния является нримепенпе принципа Лагранжа. [c.310]

Более ста последуюш их лет развитие науки о равновесии и движении жидкости происходило по двум различным направлениям. Одно направление развивалось по линии строгих математических решений, используя уравнения Эйлера и принимая при этом ряд допущений (Лагранж, Лэмб, Навье, Стокс, И. С. Громека и др.). Однако наличие ряда существенных упрощений не позволило использовать полученные этим методом результаты для решения конкретных практических задач. Это заставило ученых и инженеров прибегать к экспериментированию и на основании опытных данных создавать расчетные формулы для решения разнообразных гидравлических задач, выдвигавшихся бурно развивавшейся техникой (Шези, Буссинек, Дарси, Базен, Вейсбах, Дюпюи и др.). Таким образом, независимо от аэрогидромеханики практическая гидравлика продолжала свое развитие как опытная наука, опережая первую в целом ряде областей. Однако без наличия серьезного математического аппарата она, естественно, не в состоянии была обобщить данные сложного эксперимента. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...